چرا گرداب اینقدر دوام دارد؟

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami

محل اقامت: Tehran, Qeytariyeh

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 852

سپاس: 524

جنسیت:

تماس:

چرا گرداب اینقدر دوام دارد؟

پست توسط rohamjpl »

چرا گرداب اینقدر دوام دارد؟هر چه ویسکوزیته مایع کوچکتر باشد ، گرداب نیز دوام بیشتری خواهد داشت.
ویسکوزیته اندازه گیری اثرات اصطکاک درون یک مایع است. مانند سایر اشکال اصطکاک ، ویسکوزیته انرژی را از حرکت ماکروسکوپی به حرکت مولکولی میکروسکوپی پیچیده (انرژی حرارتی) منتقل می کند. بصری ، این انتقال تدریجی انرژی از حرکت ماکروسکوپی قابل مشاهده به انرژی حرارتی نامرئی باید در نهایت باعث پراکنده شدن یک گرداب شود.
(اتفاقاً ، یک ابر مایع ایده آل دارای ویسکوزیته صفر است. در یک مایع فوق العاده ایده آل ، یک گرداب می تواند برای همیشه دوام داشته باشد.)خوب اینجا باید از نظر معادلات توضیح بدم اجازه دهید سرعت مایع را نشان دهید. این با محل x در مایع متفاوت است و ممکن است با زمان t تغییر کند. بگذارید C هر حلقه بسته در مایع باشد ، و انتگرال u را در اطراف حلقه در نظر بگیرید:
$\Gamma = \int_C d\mathbf{x}\cdot \mathbf{u}.
\tag{1}
{"mode":"full","isActive":roham hesami}$
مقدار Γ را گردش در اطراف C می نامند. فقط در صورت وجود گردش خالص (به معنای محاوره ای) مایع در اطراف حلقه ، غیر صفر است. به طور خاص ، اگر صفر را دایره کوچکی متمرکز بر گرداب بدانیم ، صفر نیست. هدف این است که بفهمیم چرا Γ ممکن است برای مدت طولانی اساساً ثابت بماند و در نهایت چه چیزی باعث می شود که به صفر برسد.

برای پاسخ به این ، ما به یک معادله نیاز داریم که وابستگی به زمان فیلد سرعت u را توصیف کند. با فرض غیرقابل انعطاف بودن مایع (که به اندازه کافی مناسب برای این سوال است) ، می توانیم از معادله Navier-Stokes استفاده کنیم
$\frac{d \mathbf{u}}{d t}
= \nu\nabla^2 \mathbf{u} -\nabla h
\tag{2}
{"mode":"full","isActive":roham hesami}$
جایی که
$\frac{d \mathbf{u}}{d t}
:=
\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}
+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}
\tag{3}
{"mode":"full","isActive":roham hesami}$
مشتق همرفتی u است ، که می گوید سرعت u در زمان حرکت در نقطه ای که با سیال حرکت می کند با چه سرعتی تغییر می کند. ضریب ν ویسکوزیته حرکتی سیال است و اصطلاح $\nabla h
$ جاذبه زمین است. برای اتصال (2) به (1) ، انتگرال (2) را در اطراف کانتور C بگیرید. انتگرال اصطلاح$\nabla h
$ در اطراف یک کانتور بسته صفر است زیرا اینتگرند گرادیان است ، بنابراین ما با
$\frac{d }{d t}\Gamma
= \nu\int_C d\mathbf{x}\cdot (\nabla^2 \mathbf{u}).
\tag{4}
{"mode":"full","isActive":roham hesami}$
این مورد خاص قضیه کلوین است. معادله (4) همان چیزی است که ما می خواهیم: با درک اینکه کانتور C با مایع حرکت می کند ، به ما می گوید که چگونه گردش Γ با گذشت زمان تغییر می کند. این آخرین صلاحیت مهم است ، زیرا می گوید اگر C را به عنوان یک حلقه در اطراف مرکز گرداب در نظر بگیریم ، پس C با محوریت گرداب باقی می ماند زیرا گرداب با هر جریان کلی ممکن است همراه باشد.
ویسکوزیته و ثبات
شهود ذکر شده در بالای این جواب با معادله (4) مطابقت دارد ، که می گوید اگر گرانروی ν صفر باشد ، پس Γ در زمان ثابت خواهد ماند (تا آنجا که سایر تقریب های ضمنی معادله (2) معتبر هستند). به عبارت دیگر ، اگر ویسکوزیته صفر باشد ، یک گرداب می تواند برای همیشه دوام داشته باشد.
تعیین علامت نسبی
اصطلاح ویسکوزیته در (4) باید باعث شود که قدرت گرداب با گذشت زمان کاهش یابد ، بنابراین علامت اصطلاح ویسکوزیته باید در مقابل علامت Γ باشد. بیایید این را با استفاده از یک مدل ساده از زمینه سرعت در اطراف یک گرداب بررسی کنیم. خارج از هسته گرداب ، فرض کنید که میدان سرعت فرم دارد
$u_j = \frac{\sum_k\Omega_{jk} x_k}{\mathbf{x}^2}
\tag{5}
{"mode":"full","isActive":roham hesami}$
برای برخی از ماتریس های غیر متقارن Ωjk ، که در آن uj جزjth است. مدل (5) تضمین می کند که سرعت از مرکز متمایل به شعاع است (متناسب با گرداب) ، و همچنین اطمینان حاصل می کند که سرعت به سمت مرکز افزایش می یابد. معادله (5) دلالت دارد
$\nabla^2 u_j = -2D\frac{u_j}{\mathbf{x}^2}
\tag{6}
{"roham }$
که در آن D = 3 تعداد ابعاد فضا است. (معمولاً D = 3 ، اما گاهی اوقات تظاهر به D = 2 برای ساختن شهود مفید است.) علامت منهای در معادله (6) صحیح بودن علائم نسبی معادله (4) را تأیید می کند: قدرت گرداب با گذشت زمان کاهش می یابد ، همانطور که انتظار میرفت.
تخمین عددی خشن
حالا که معادله کلید (4) را داریم ، بیایید چند عدد را وصل کنیم. در شرایط عادی ، ویسکوزیته حرکتی آب تقریباً است
$\nu \approx 10^{-6} \ \frac{\text{m}^2}{\text{s}}.
\tag{7}
{"roham}$
بدست آوردن اعداد برای مقادیر دیگر در معادله (4) شامل برخی حدس ها خواهد بود ، زیرا ما هیچ اندازه گیری از گرداب مشاهده شده نداریم. حلقه C را به صورت دایره ای در اطراف گرداب با شعاع 10 سانتی متر در نظر بگیرید و فرض کنید در آن شعاع ، آب با سرعت 5 سیکل در ثانیه در گردش است. (من فقط حدس می زنم.) از آنجا که ما فقط تخمین می زنیم ، می توانیم اینطور بگوییم: Δr∼10 سانتی متر مقیاس فضایی معمولی گرداب است و Δt∼1 / 5 ثانیه مقیاس زمانی معمول است.
مقدار Γ محیط است | C | دایره چند برابر سرعت آب در آن شعاع (منظورم جز the سرعت مماس با دایره است) ، بنابراین می توانیم dΓ / dt را به عنوان | C | چند برابر سرعت تغییر سرعت آب. از آنجا که ما فقط در حال تخمین زدن هستیم ، می توانیم از مدل (5) برای بدست آوردن استفاده کنیم
$\int_C d\mathbf{x}\cdot (\nabla^2 \mathbf{u})
\sim -\frac{12\pi}{\Delta t}.
\tag{8}
{"roham}$
استفاده از این اعداد در معادله (4) تخمین را می دهد
$|C|\frac{d }{d t}|\mathbf{u}|
\sim -60\pi \times 10^{-6} \ \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}.
\tag{9}
{"rohame}$
هر دو طرف را به | C | |2πΔr∼0.5 تقسیم کنید تا بدست آورید
$\frac{d }{d t}|\mathbf{u}|
\sim -120\pi\times 10^{-6} \ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}
\sim
-2\ \frac{\text{cm/s}}{\text{minute}}.
\tag{10}
$
این تخمین می گوید گردش خون به آرامی کاهش می یابد و هر دقیقه فقط چند سانتی متر بر ثانیه سرعت از دست می رود.
(ما می توانیم این تخمین را با بازگشت به معادلات اصلی بهبود دهیم تا ببینیم که منحنی C ، که همراه با مایع حمل می شود ، می تواند با گذشت زمان رشد کند. به عبارت دیگر ، گرداب می تواند گسترش یابد ، که ما از نظر بصری به عنوان ضعیف شدن گرداب درک می کنیم و ناپدید شدن در صدای امواج محیط.)
این فقط یک تخمین تقریبی است و من متخصص مکانیک سیالات نیستم ، اما به نظر می رسد تایید می کند که یک گرداب خوش فرم می تواند به طور شگفت انگیزی طولانی در آبهای آزاد دوام آورد.hope I help you I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile260 smile261
تصویر

ارسال پست