پاردادوکس دالامبــر در مکانیک سیالات

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami

محل اقامت: Tehran, Qeytariyeh

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 852

سپاس: 524

جنسیت:

تماس:

پاردادوکس دالامبــر در مکانیک سیالات

پست توسط rohamjpl »

در پویایی سیال ، تناقض d'Alembert (یا متناقض هیدرودینامیکی) تناقضی است که در سال 1752 توسط ریاضیدان فرانسوی Jean le Rond d'Alembert حاصل شده است. د آلمبرت ثابت کرد که - برای جریان پتانسیل غیرقابل انعطاف و نامطلوب - نیروی کشیدن بر روی جسمی که با سرعت ثابت نسبت به سیال حرکت می کند صفر است.قضیه ای در مکانیک سیالات که می گوید هیچ نیرویی بر روی جسمی که با سرعت ثابت در یک خط مستقیم از طریق انبوهی از مایع غیرقابل انقباض و لخته که در ابتدا در حالت استراحت بود (یا در حرکت یکنواخت) حرکت می کند ، عمل نمی کند. این قضیه به ظاهر متناقض را می توان با اولین درک اینکه مایعات نامرغوب وجود ندارند درک کرد. اگر چنین مایعات وجود داشته باشد ، هیچ مکانیسم فیزیکی داخلی برای اتلاف انرژی در گرما وجود ندارد. بنابراین هیچ نیرویی نمی تواند بر بدن وارد شود ، زیرا پس از آن کار روی مایع بدون افزایش خالص انرژی در مایع انجام می شود.این پاسخ ادعا می کند که "در زاویه حمله بالا ، موتور لیفت آیرودینامیکی تولید می کند". در متن این پاسخ ، ما نگران افزایش گشتاور هستیم که دماغه هواپیما را با توجه به مرکز ثقل بالا می برد ، بنابراین باید تفسیر خود را از کلمه مبهم "بلند کردن" به عنوان جز force نیرو که عمود بر بال یا بدنه هواپیما. ما زاویه حمله را به عنوان زاویه بین بدنه و جهت جریان هوای ورودی در بی نهایت تعریف می کنیم (کلمه اختصاری "منطقی دور"). این بسیار متفاوت از زاویه بدنه ساخته شده با افقی در سرعت بالا در حالی که بسیار نزدیک به دومی در سرعت بسیار کم است. من را از دو طریق گیج می کند.
این ادعا می کند که موتور خود علاوه بر رانش موازی با بدنه و بال ، نیروی عمود بدنه نیز تولید می کند ، علی رغم اینکه رانش موتور موازی با بدنه و در نتیجه بال است. آن نیروی عمود چگونه تولید می شود؟
این ادعا می کند که بدنه عمود بدنه بدین ترتیب تولید شده به زاویه حمله وابسته است. چطور کار میکند؟
من مایلم که توضیح فنی این ادعا یا برخی منابع را که آن را تأیید یا رد می کنند ، ببینم ، بهترین راه این است که با استنباط ریاضی همراه باشد.
مشاهده می کنند که وقتی هواپیما بدون موتور روشن ، در برابر جریان هوا حرکت می کند ، بخشی از جریان هوا به سمت پایین منحنی می شود تا نتیجه گیرد که یک نیروی خالص عمود بر بدنه اعمال می شود. به آسانی مشاهده بخشی از جریان جریان نیست ، زیرا بخشی از جریان جریان به سمت بالا از نقطه جدا می شود. نیروی خالص یکپارچه سازی تمام فشار روی کل سطح است و فشار در سمت مخالف جسم در جهت مخالف فشار می آورد. در حقیقت ، در یک جریان بالقوه ، تناقض D'Alembert نشان می دهد که فشار خالص دقیقاً صفر است. البته ، جریان واقعی هوا جریان بالقوه نیست ، اما این منطق بیش از حد ساده استفاده از جریان هوا به سمت پایین برای ایجاد نیروی عمود بدنه را رد می کند.
با این حال ، هنگامی که موتور روشن است ، به ویژه در قدرت بالا. تا زمانی که جریان هوا مدتی پس از خروج از موتور به طور مداوم در جهت پایین جریان داشته باشد ، ممکن است وضعیت متفاوت باشد. حرکت جریان هوا از طریق موتور ممکن است بر سایر قسمت های جریان هوا غلبه کند. اما این استدلال باید پیچیده تر از جهت پایین حرکت جریان هوا باشد.هر چیزی ، حتی یک صفحه فلزی وقتی در زیر زاویه با جریان هوا باشد ، "بالابر" ایجاد می کند. آسانسور یک ویژگی جادویی برای "بال" نیست ، بلکه این فقط نتیجه فیزیکی قانون حفظ حرکت است: وقتی یک جریان هوا را به پایین فشار می دهید ، نیروی واکنش به سمت بالا است.
بدنه / موتورها نیز به عنوان سطوح جزئی بلند کردن عمل می کنند: هنگامی که زیر زاویه قرار بگیرند ، به طور ناکارآمد جریان هوا را به سمت پایین هدایت می کنند.
این مورد برای موتور کمی به دلیل تعریف رانش است: معادلات رانش ورودی را در همان جهت بردار رانش در نظر می گیرند. بنابراین ورودی و کمپرسور جریان را "به سمت پایین" تحت زاویه های بالای حمله هدایت می کند. - این اثر باید جایی نشان داده شود: به عنوان نیروی بالابری که توسط موتور ایجاد می شود.هنگامی که یک موتور زیر زاویه حمله (و رانش زیاد) قرار دارد ، لیفت اضافی ایجاد می کند زیرا باعث منحنی شدن جریان هوا به سمت پایین می شود. برای هواپیمایی که با زاویه حمله زیاد مسیری افقی را طی می کند ، جریان هوا به صورت افقی به موتور نزدیک می شود و موتور را در زاویه رو به پایین و نزدیک به زاویه منفی حمله ترک می کند.
به منظور چرخش جریان به سمت پایین ، موتور باید یک نیروی رو به پایین بر روی جریان هوا وارد کند. طبق قانون سوم نیوتن ، یک نیروی مخالف بر روی موتور وجود دارد. جز مولفه این نیرو که عمود بر جریان هوای بدون مزاحم ورودی است ، نیروی بالابر اضافی ناشی از موتور است.تصویر
یکی از راه های تجزیه و تحلیل رانش موتور ، بررسی سرعت تغییر حرکت هوای جریان یافته از توربین و اطراف آن است.
مومنتوم محصول جرم و سرعت است: $\vec{p} = m \vec {V}
$ همانطور که می بینید ، حرکت یک مقدار بردار است.سرعت تغییر حرکت $\dot{\vec{p}}
$ یک جرم برابر با نیروی وارد بر جسم است.
با تجزیه و تحلیل تغییر تکانه هوای جاری در اطراف موتور ، می توان بردار رانش موتور را تعیین کرد.
در تصویر زیر ، محور موتور کاملاً منطبق با جریان ورودی هوا است. من یک حجم تخیل دور موتور را انتخاب می کنم ، به طوری که فشار استاتیک در مرز با فشار استاتیک خیلی جلوتر از موتور برابر باشد. از آنجا که فشار مرزی $p_0
$ در هر نقطه از مرز ، انتگرال فشار بر سطح حجم ، نیروی خالص حاصل از آن صفر خواهد بود.
مرزهای بالا و پایین برای امتداد خطوط اصلی انتخاب شده اند.
تصویر
مرز چپ هجوم مداوم هوا را تجربه می کند. جریان از مرز چپ یکنواخت است.
مرز درست ، یک خروج مداوم هوا است. جریان به دلیل تفاوت سرعت جریان در هسته و قسمت بای پس موتور ، غیر یکنواخت است.
هجوم جرم از مرز چپ برابر است با هجوم جرم از مرز راست. من در اینجا از سوخت سوخته غافل می شوم.
هجوم حرکت از طریق مرز چپ$\dot{\vec{p}}_{in}
$ برابر است با $\dot{m}\vec{V} = \iint_{l} \rho (\vec{V}\cdot\hat{n}) \vec{V} dA
$خروج حرکت از طریق مرز راست $\dot{\vec{p}}_{out}
$ خارج برابر است با $\iint_{r} \rho (\vec{V}\cdot\hat{n}) \vec{V} dA
$تفاوت بین جریان حرکت (نشان داده شده توسط بردار آبی رنگ در زیر رسم) و جریان خروجی حرکت (نشان داده شده توسط بردار قرمز زیر نقاشی) نیرویی است که بر حجم هوا وارد می شود. رانش (نشان داده شده توسط بردار سیاه) نیروی واکنش است.
وقتی اکنون زاویه حمله را معرفی کنیم ، حجم محدود کننده شکل تغییر می کند. همچنین هجوم و خروج از حرکت متفاوت خواهد بود. آنچه مهمتر است این است که رانش تولید شده دیگر کاملا محوری نیست. بردار رانش یکمولفه عرضی را توسعه می دهد. این همان بالابر اضافی (و کمی کشیدن) است که موتور زاویه حمله بالایی ایجاد می کند.
تصویر
هنگامی که موتور به خوبی در مقابل مرکز ثقل سوار شود ، یک زاویه حمله بالا / موقعیت رانش بالا باعث ایجاد یک لحظه فشار به سمت بالا می شود. این مورد در بوئینگ 737 MAX وجود دارد که در آن این اثر در زوایای بالای حمله باعث تغییر ویژگی های هندلینگ می شود. برای اطمینان از اینکه هندلینگ مشابه مدلهای قبلی 737 است ،
اثبات کشش صفر در جریان پتانسیل ثابت
برای جریان پتانسیل اطراف یک استوانه دایره ای در یک جریان یکنواخت ساده است.
جریان بالقوه
سه فرض اصلی در استنباط پارادوکس d'Alembert این است که جریان ثابت غیرقابل انعطاف ، نامرغوب و غیر محرک است. یک مایع نامحسوس توسط معادلات اویلر توصیف شده است ، که همراه با دو شرط دیگر خوانده می شود${\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {u}}=0&&{\text{(incompressibility)}}\\&{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}=0&&{\text{(irrotational)}}\\&{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {u}}+\left({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}=-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p&&{\text{(Euler equation)}}\end{aligned}}}{\begin{aligned}&{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {u}}=0&&{\text{(incompressibility)}}\\&{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}=0&&{\text{(irrotational)}}\\&{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {u}}+\left({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}=-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p&&{\text{(Euler equation)}}\end{aligned}}$جایی که u نشان دهنده سرعت جریان سیال است ، p فشار ، ρ چگالی ، و $∇$ عملگر گرادیان است.اصطلاح دوم را در معادله اولر داریم:${\displaystyle \left({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right)-{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right)\qquad (1)}\left({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}={\tfrac 12}{\boldsymbol {\nabla }}\left({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right)-{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}={\tfrac 12}{\boldsymbol {\nabla }}\left({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right)\qquad (1)$که در آن برابری اول یک هویت حساب بردار است و در برابری دوم از جریان ناموزون استفاده می شود. علاوه بر این ، برای هر جریان ناصحیح ، یک پتانسیل سرعت φ وجود دارد به طوری که u = ∇φ. جایگزینی همه اینها در معادله برای بازده های حفظ حرکت ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}+{\frac {p}{\rho }}\right)={\boldsymbol {0}}.}{\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac 12}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}+{\frac p\rho }\right)={\boldsymbol {0}}$بنابراین ، مقدار بین براکت ها باید ثابت باشد (هرگونه وابستگی t با تعریف مجدد φ از بین می رود). با فرض اینکه مایع در بی نهایت در حالت استراحت باشد و فشار در آنجا صفر باشد ، این ثابت صفر است و بنابراین${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}+{\frac {p}{\rho }}=0,\qquad (2)}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac 12}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}+{\frac p\rho }=0,\qquad (2)$که معادله برنولی برای جریان پتانسیل ناپایدار است حال ، فرض کنید جسمی با سرعت ثابت v از طریق مایع حرکت می کند ، که بی نهایت در حالت آرام است. سپس میدان سرعت سیال باید بدن را دنبال کند ، بنابراین از شکل $u (x، t) = u (x - v t، 0)$ است ، جایی که x بردار مختصات مکانی است ، بنابراین:${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}+\left({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}.}{\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}+\left({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}.$از آنجا که u = ∇φ ، این می تواند با توجه به x یکپارچه شود.${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=-{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\varphi +R(t)=-{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {u}}+R(t).}$نیروی F که مایع به بدن وارد می کند توسط انتگرال سطح ایجاد می شود${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=-\int _{A}p\,{\boldsymbol {n}}\;\mathrm {d} S}$که در آن A سطح بدن و n بردار طبیعی روی سطح بدن را نشان می دهد. اما از (2) نتیجه می شود که${\displaystyle p=-\rho {\Bigl (}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}{\Bigr )}=\rho {\Bigl (}{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {u}}-{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}-R(t){\Bigr )},}p=-\rho {\Bigl (}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac 12}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}{\Bigr )}=\rho {\Bigl (}{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {u}}-{\tfrac 12}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}-R(t){\Bigr )},$و${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=-\int _{A}p\,{\boldsymbol {n}}\;\mathrm {d} S=\rho \int _{A}\left({\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}-{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right){\boldsymbol {n}}\;\mathrm {d} S,}$با سهم R (t) به انتگرال برابر صفر است.${\displaystyle F_{k}=\rho \int _{A}\sum _{i}({\tfrac {1}{2}}u_{i}^{2}-u_{i}v_{i})n_{k}\,\mathrm {d} S.\qquad (3)}$بگذارید V حجم اشغال شده توسط مایع باشد. قضیه واگرایی این را می گوید${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{A}\sum _{i}u_{i}^{2}n_{k}\,\mathrm {d} S=-{\frac {1}{2}}\int _{V}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)\,\mathrm {d} V.}{\frac 12}\int _{A}\sum _{i}u_{i}^{2}n_{k}\,{\mathrm {d}}S=-{\frac 12}\int _{V}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)\,{\mathrm {d}}V.$سمت راست یک انتگرال در یک حجم نامحدود است ، بنابراین این نیاز به برخی توجیهات دارد ، که می تواند با توسل به نظریه بالقوه ارائه شود تا نشان دهد سرعت شما باید به عنوان r − 3 کاهش یابد - مربوط به یک میدان پتانسیل دو قطبی از یک بدن سه بعدی با محدودیت محدود - که در آن r فاصله تا مرکز بدن است. انتگرال در انتگرال حجم را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)=\sum _{i}u_{i}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}=\sum _{i}{\frac {\partial (u_{i}u_{k})}{\partial x_{i}}}}{\frac 12}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)=\sum _{i}u_{i}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}=\sum _{i}{\frac {\partial (u_{i}u_{k})}{\partial x_{i}}}$که در آن ابتدا از برابری (1) و سپس از غیر قابل انعطاف بودن جریان استفاده می شود. جایگزینی این دوباره به یکپارچه سازی حجم و کاربرد دیگری از قضیه واگرایی دوباره. این نتیجه می دهد${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\int _{V}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)\,\mathrm {d} V=-\int _{V}\sum _{i}{\frac {\partial (u_{i}u_{k})}{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} V=\int _{A}u_{k}\sum _{i}u_{i}n_{i}\,\mathrm {d} S.}-{\frac 12}\int _{V}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)\,{\mathrm {d}}V=-\int _{V}\sum _{i}{\frac {\partial (u_{i}u_{k})}{\partial x_{i}}}\,{\mathrm {d}}V=\int _{A}u_{k}\sum _{i}u_{i}n_{i}\,{\mathrm {d}}S.$و${\displaystyle F_{k}=\rho \int _{A}\sum _{i}(u_{k}v_{i}n_{i}-v_{i}u_{i}n_{k})\,\mathrm {d} S.}$سرانجام ، کشش نیرویی است در جهتی که بدن حرکت می کند ، بنابراین${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {F}}=\sum _{k}v_{k}F_{k}=0.}$از این رو درگ ناپدید می شود. این پارادوکس d'Alembert است.hope I help you I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260
تصویر

ارسال پست