SHM برای سیستم چشمه جرم عمودی قابل اجرا نیست

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami

محل اقامت: Tehran, Qeytariyeh

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 852

سپاس: 524

جنسیت:

تماس:

SHM برای سیستم چشمه جرم عمودی قابل اجرا نیست

پست توسط rohamjpl »

و این باعث شد که من در مورد معادله حرکت SHM به شرایط لازم برای SHM به طور خاص حداکثر و حداقل مقدار جابجایی فکر کنم.
منظور من این است اما مقادیر حداکثر و حداقل مانند این است. شرط SHM این است که شتاب جسم متناسب با جابجایی باشد و به صورت زیر نشان داده شود:تصویر
$a_x\propto x
$اما با کمی تأمل ، باید حداقل جابجایی و حداکثر جابجایی برای این اتفاق بیفتد.
اما با استفاده از N2L و یافتن نیروی خالص سیستم هنگام جابجایی جرم ، موارد زیر را بدست می آوریم. بنابراین اگر جرم را با جابجایی بسیار ناچیز جابجا کنم ، این لزوماً به این معنی نیست که SHM حرکت ساده هارمونیک بدست می آوریم آیا فنر عمودی SHM است؟
به عبارت دیگر ، یک سیستم جرم فنر عمودی یک حرکت ساده هارمونیکی در جهت عمودی در مورد موقعیت تعادل را تجربه خواهد کرد. به طور کلی ، اگر یک نیروی ثابت که با نیروی فنر هم خط است ، بر روی جرم (در این حالت گرانش) حرکت ساده هارمونیکی متحمل شود.، و بالعکس اگر مقدار بسیار زیادی را جابجا کنم ، این لزوما SHM نمی دهد ،
من با این وجود مشغول كاوش در میان كتابهای درسی بوده ام و هیچ كدام واقعاً به این مسئله نپرداخته است كه باعث می شود من فكر كنم كه این مسئله كاملاً واضح است و من یك فرضیه اساسی را از دست می دهم ، یا دلیلی برای پرداختن به آن وجود ندارد.
به هر حال من سعی کردم و به راهی فکر کردم که بتوانم این موضوع را کشف کنم و ضربه بزرگی به آن وارد کنم.
اگر معادله حرکت SHM را در نظر بگیرم و "x" را در قسمت k x با$x_0+\delta x
$ جایگزین کنم
$\ddot x+\frac{k}{m}x=0
$
$\ddot x+\frac{k}{m}(x_0+\delta x)=0
$
اکنون فکر کردم که شاید بتوانم به صورت دو باره این را گسترش دهم زیرا به من اطلاعاتی در مورد مقادیر حداکثر و حداقل می دهد اما اکنون فکر نمی کنم تا آنجا که می توانم ببینم این گسترش چگونه بینشی به من می دهد.
$\left(x+\delta x\right)\approx x\left(1+\frac{\delta x}{x}-\frac{\delta \:x^2}{x^2}+2\frac{\delta \:x^3}{x^3}...\right)
$
اما محدودیت هایی که در مورد آن صحبت می کنید در حرکت نوسانی وجود دارد. اما مثالی که انتخاب کردید - یک فنر به دنبال قانون هوک ، معادله دیفرانسیل SHM همیشه معتبر است ، برای همه x. با این حال ، همانطور که به طور شهودی انتظار می رود ، کشیدن بیش از حد سخت فنر پاسخی متفاوت نسبت به نوسان نوع S.H.M ایجاد می کند. به عبارت دیگر ، F = −kx دیگر قانون نیرو برای توصیف چنین سیستم تغییر شکل فنر نیست. مثالی دیگر برای نشان دادن چگونگی مشاهده چنین "محدودیتهای" S.H.M از نظر جسمی ، یک آونگ ساده را تصور کنید. به راحتی می توانید نشان دهید که حرکت آن از معادله دیفرانسیل $\ddot\theta + \frac{g}{l}\sin\theta = 0
$ پیروی می کند ، جایی که θ زاویه ساخته شده توسط آونگ با عمود است. این یک معادله غیر خطی است. فقط برای θ کوچک می توان معادلات دیفرانسیل را با راه حل های زیبا به معادله S.H.M آشنا نزدیک کرد. برای θ بزرگ ، چنین تقریبی فیزیک آونگ را به طور دقیق توصیف نمی کند. محدودیت هایی که می خواهید پیدا کنید از خود معادله S.H.M ناشی نمی شود ، بلکه از معادلات دیفرانسیل پیچیده تر ناشی می شود ، که تحت برخی فرضیات رفتار خطی دارند.اگر یک پتانسیل V (x) دارید ، ابتدا موقعیت تعادل (یا موقعیت ها) را پیدا کنید ، که مربوط به موارد اضافی محلی پتانسیل است که در آن $dV/dx=0
$ است. فرض کنید x0 حداقل محلی است. سپس پتانسیل مربوط به این حداقل را گسترش دهید
$\begin{align}
V(x_0+\delta x)&\approx V(x_0)+\delta x \frac{dV}{dx}\vert_{x=x_0}+
\frac{1}{2}\delta x^2 \frac{d^2V}{dx^2}\vert_{x=x_0}\, ,\\
&=V(x_0)+
\frac{1}{2}\delta x^2 \frac{d^2V}{dx^2}\vert_{x=x_0} \tag{1}
\end{align}
{"mode":"full","isActive":false}$از آنجا که توسط ساخت $dV/dx=0
$ در $x=x_0
$. شرط حداقل این است که $\frac{d^2V}{dx^2}\vert_{x=x_0}>0
$. در واقع ، (1) یک سهمی نوسانی است که x0 را برای V (x) بالقوه طی می کند.
اکنون ، F = ma شکل می گیرد
$m\delta\ddot{x}=-\left(\frac{d^2 V}{dx^2}\vert_{x=x_0}\right)\delta x
$
با راه حل $x(t)=x_0+\delta x(t)=x_0+A\cos(\omega t +\phi)
$و$\omega^2=\frac{1}{m}\left(\frac{d^2 V}{dx^2}\vert_{x=x_0}\right)
$توجه داشته باشید که ، اگر $\left(\frac{d^2 V}{dx^2}\vert_{x=x_0}\right)<0
$ ، موقعیت تعادل ناپایدار است (حداکثر محلی در پتانسیل وجود دارد) و هیچ حرکت هارمونیکی وجود ندارد ، زیرا محلول ها نمایی نزدیک x0 هستند: در واقع نیرو ذره را دور می کند از موقعیت تعادل.
در حالت خاص شما ، پتانسیل تا یک ثابت $\frac{1}{2}kx^2+mg x
$ است ، جایی که x از موقعیت کشیده نشده فنر اندازه گیری می شود. اثر گرانش جابجایی موقعیت تعادل بدون تأثیر بر فرکانس نوسان است. از آنجا که پتانسیل شما همیشه درجه دوم است ، حرکتی محدودیتی ندارد اگرچه از نظر فیزیکی فنر برای مقادیر بزرگ x نمایش غیرخطی را نشان می دهد ، یعنی شما نمی توانید آن را به صورت نامحدود فشرده کنید در غیر اینصورت دوباره به دارنده آن برخورد می کند. دامنه جابجایی هایی که فنر عمدتا به صورت خطی باقی می ماند به فنر واقعی یا خصوصیات دستگاهی که نیروی بازیابی را تأمین می کند بستگی دارد (مثلاً یک خط کش پلاستیکی که کمی خم شود ، یک نیروی بازیابی خطی ایجاد می کند ، اما معمولاً در یک دامنه نسبتاً کوچک).
این استراتژی معمولاً برای هر پتانسیلی از جمله پتانسیل های مولکولی مانند مورس که از نوع A است$A (e^{-2\alpha x}-2 e^{-\alpha x})
$(که A و α پارامترهایی هستند که به مولکول بستگی دارند) کار می کند. این پتانسیل دارای نوسانات هارمونیکی نزدیک کف چاه است. حفظ شرایط بیشتر در افزایش پتانسیل منجر به اثرات آنارمونیک می شود ، یعنی نتیجه حرکات کاملاً هارمونیکی نیستhope I help you I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260
تصویر

ارسال پست