سوال از ترمودینامیک فنر

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami

محل اقامت: Tehran, Qeytariyeh

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 858

سپاس: 526

جنسیت:

تماس:

سوال از ترمودینامیک فنر

پست توسط rohamjpl »

سیلندر موجود تصویر دارای یک پیستون متحرک متصل به فنر است. سطح مقطع سیلندر 10 سانتی متر مربع است ، حاوی 0.0040mol گاز است و ثابت فنر 1500N / m است. در دمای 20 درجه سانتیگراد چشمه نه فشرده شده و نه کشیده شده است. اگر دمای گاز به 100 درجه سانتیگراد برسد چقدر فنر فشرده می شود؟
خوب باید بگم من به راه حل زیر رسیدم:
در هر زمان سه نیرو بر روی پیستون عمل می کنند: pA در سمت راست ، $p_{\mathrm{atmos}} A$ در سمت چپ و kx در سمت راست. وقتی سیستم در تعادل است ، $pA = p_{\mathrm{atmos}} A + kx$ در $T1 = 293K$ ، رشته نه کشیده است و نه فشرده ، بنابراین x = 0 ؛ بعلاوه ، با توجه به اینکه سیستم در تعادل است ،$p1A=patmosA, so p1=patmos=101.3kPa$ داریم ، بنابراین ، فوق الذکر می تواند مجدداًتنظیم شود.$\begin{align}
p_2 &= \frac{1}{A} (p_1 A + kx). \tag{1}
\end{align}$همچنین توجه داشته باشید که$\begin{align}
V_2 = V_1 + Ax. \tag{2}
\end{align}$سپس ، از قانون گاز ایده آل ، $p_2 V_2 = nRT_2$ ؛ جایگزینی (1) و (2) می دهد
$\begin{align*}
\frac{1}{A} (p_1 A + kx) (V_1 + Ax) &= nR T_2 \\
(p_1 A + kx) (V_1 + Ax) &= nR T_2 A \\
(Ak)x^2 + (V_1 k + p_1 A^2) x + A(p_1 V_1 - nR T_2) &= 0. \tag{3}
\end{align*}$این یک معادله درجه دوم نسبتاً بد و بی قواره اما کاملاً معتبر برای x است. ارزیابی عددی یک راه حل x = 1.0198cm بدست می آورد. جالب اینجاست که یک نقطه تعادل نیز در x = −17.3927 سانتی متر وجود دارد ، اما این طولانی تر از عمق استوانه است و بنابراین غیرممکن است.
من با استادم مشورت کردم ، و در نهایت با همان معادله (3) به پایان می رسد.
من تعجب می کنم که آن راه حل منفی اضافی برای x نشان دهنده چیست. برای من منطقی نیست که باید یک راه حل منفی وجود داشته باشد: اگر x منفی باشد ، فنر منبسط می شود و گاز فشرده می شود ، بنابراین چیزی وجود ندارد که حرکت پیستون را به سمت راست خنثی کند و سیستم را در تعادل نگه دارد ( به جز فشار اتمسفر ناكافی).
استاد من پیشنهاد کرد که بدست آوردن یک فرمول انرژی پتانسیل U (x) برای کل سیستم ممکن است نشان دهد که دستیابی به راه حل مورد نظر غیرممکن است (یعنی به نیروی بی نهایت یا چیز دیگری احتیاج دارد زیرا از مکانی گذشته است که انرژی مورد نیاز آن تقلیل یافته است) ، اما من نمی دانم چطور باید این کار را انجام دهم.
اهمیت یا معنی این راه حل چیست؟ آیا موردی وجود دارد که بتواند یک راه حل منفی داشته باشد که بیش از طول سیلندر نباشد - و بنابراین یک راه حل معتبر است؟ اگر چنین است ، چنین سیستمی چگونه خواهد بود؟
هنگام تجزیه و تحلیل سیستم ایده آل گاز و فنر
این بیان می کند که با توجه به یک سیلندر عایق بندی شده که دارای فنر و گاز ایده آل است ، شما باید کار مورد نیاز برای فشرده سازی گاز ، کار مورد نیاز برای فشرده سازی فنر ، کار انجام شده توسط فشار اتمسفر p (1 bar = p) کار انجام شده را محاسبه کنید. توسط بلوک m و نیروی کششی در پایان فرآیند. جرم پیستون بسیار ناچیز است ، فنر دارای یک ثابت فنر$ k = 200 N / cm $است. حالت اولیه گاز p1 = 0.8 bar ، ϑ1 = 20 ° C است ، بلوک توسط یک نیروی کششی F ، بلوک به سمت پیستون پایین می آید به همین دلیل باعث می شود پیستون 0.2 متر پایین بیاید ، وزن بلوک $10000 N$ است ، گاز ایده آل دارای یک نمایشگر ایزنتروپیک است $κ = 1،37 $
تصویر
حال ، سوال من این هست از شما
اگر من تصمیم بگیرم که اتصال سیستم خود را در اطراف فنر و گاز تنظیم کنم ، بنابراین تنها اجسامی که من در حال مطالعه هستم چرخش و گاز هستند ، استفاده از قانون اول ترمودینامیک باید این موارد را به من بدهد:
$Q_{12}=W_{12}+\Delta U + \Delta E_{ep}$
که $\Delta E_{ep}$ تغییر در انرژی پتانسیل الاستیک فنر است. چه مشکلی برای من ایجاد می کند این است که دقیقاً $W_{12}$ چیست؟
کار انجام شده توسط اسپینگ به دلیل نیروی فنر و تغییر شکل فنر:
$W_{spring}=-\Delta E_{ep}=-\frac{k}{2}(\delta_2-\delta_1)$
که در آن δ2 و δ1 تغییر شکل نهایی و اولیه چشمه است
کار انجام شده توسط گرانش در بلوک:
$W_{gravity}=-\Delta E_{gp}=-mg(z_2-z_1)$
جایی که$\Delta E_{gp}$ تغییر انرژی پتانسیل گرانشی بلوک است ، z2 ارتفاع نهایی و z1 ارتفاع اولیه با استفاده از پایین سیلندر به عنوان مرجع
کار انجام شده توسط جو:
$W_{atmosphere}=pA(z_2-z_1)$
که در آن A سطح مقطع پیستون است
درون یک استوانه عمودی عایق شده از تصویر ، یک گاز ایده آل (κ = 1،37) با حالت اولیه 0،8 بار و ϑ = 20 درجه سانتیگراد و یک فنر با مشخصه خطی وجود دارد (ثابت فنر k = 200 N / سانتی متر). از خارج پیستون هوا با فشار 1 بار وجود دارد. در حالت تعادل پیستون 50 سانتی متر از پایین سیلندر فاصله دارد. با استفاده از جرثقیل ، وزن 10000 N روی پیستون قرار می گیرد ، در نتیجه 20 سانتی متر پیستون پایین می آید. در پایان روند نیروی باقی مانده در طناب جرثقیل چیست؟ کار مورد نیاز برای فشرده سازی گاز چیست؟ کار مورد نیاز برای فشرده سازی چرخش چیست؟ جو چقدر کار کرد ، و با فشار دادن میله چقدر وزن؟
تعادل نیرو در پیستون در هر زمان از فشرده سازی توسط:
$P_gA+F-mg-kx-P_{atm}A=0$
که در آن x جابجایی رو به بالا چشمه از طول گسترش نیافته آن است. اگر این را در جابجایی دیفرانسیل (بالا) پیستون در طول فرایند $dx=\frac{1}{A}dV$ ضرب کنیم ، بدست می آوریم:
$P_gdV+Fdx-mgdx-kdx-P_{atm}dV=0$
یکپارچه سازی این معادله بین مکان های اولیه و نهایی بازده پیستون
$\int{P_gdV}+\int_{x_i}^{x_f}{Fdx}+mg(x_i-x_f)+\frac{k}{2}(x_i^2-x_f^2)+P_{atm}(V_i-V_f)=0$اصطلاح اول نمایانگر کاری است که گاز بر روی پیستون انجام می دهد ، اصطلاح دوم نمایانگر کار انجام شده توسط نیروی F بر روی پیستون است ، ترم سوم نمایانگر کار انجام شده توسط توده m بر روی پیستون است ، ترم چهارم نمایانگر کار است توسط فنر روی پیستون انجام می شود ، و ترم پنجم نشان دهنده کار انجام شده توسط جو بر روی پیستون است.
این گاز تحت یک فشرده سازی برگشت پذیر آدیاباتیک قرار می گیرد و کار انجام شده توسط این روش را می توان جداگانه با استفاده از فرمول کار در یک فشرده سازی برگشت پذیر آدیاباتیک بدست آورد. سپس می توان کار حاصل از نیروی متغیر F را با اختلاف با استفاده از معادله نهایی بالا بدست آورد.hope I help you I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260 smile260
تصویر

ارسال پست