یک سیال با معادله تداوم به سرعت نور نزدیک شود؟

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 747

سپاس: 434

جنسیت:

تماس:

یک سیال با معادله تداوم به سرعت نور نزدیک شود؟

پست توسط rohamjpl »

من برای حداکثر سرعت جریان آب در لوله ها با مقادیر مختلفی روبرو شده ام. در دانشگاه به ما گفتند که 2 متر بر ثانیه حد بالایی است که جریان آشفته می شود.
در گزارش های مختلف برنامه ریزی که اخیراً خوانده ام ، 1 متر بر ثانیه به عنوان حد بالایی بیان شده است. من می توانم سرعت دقیقی را که در آن آب در اندازه و نوع خاصی از خط لوله دیگر به صورت چند لایه جریان ندارد محاسبه کنم ، اما برای اهداف برنامه ریزی زیرساخت ، این تمرین لازم نیست. مقدار معقول برای آب آشامیدنی چه مقدار خواهد بود؟ متناوباً ، مقدار آب خام (رودخانه) چه مقدار خواهد بود؟قانون کلی نگه داشتن سرعت زیر 5 فوت بر ثانیه (1.5 متر بر ثانیه) است. گرانش (g) و شیب لوله. افزایش شیب باعث کاهش فشار ناشی از گرانش می شود. قطر لوله (D): هرچه قطر لوله بزرگتر باشد سرعت جریان کندتر خواهد بوداصطکاک (f): اصطکاک در برابر جریان سیال باعث اتلاف انرژی می شود. ضریب اصطکاک توسط پیکربندی ها یا طرح های سیستم قابل تغییر نیست و برای هر ماده در این معادله یک ثابت است.
طول لوله (L) اصطکاک به سمت جریان فشار وارد می کند و در نتیجه با افزایش طول لوله فشار از دست می رود. طول لوله همچنین فاکتورهایی در اتصالات است که ورودی "طول" معادله را افزایش می دهد.
سرعت سیال (v): با افزایش سرعت جریان ، افت فشار نیز افزایش می یابد و کارایی کاهش می یابد. قانون کلی نگه داشتن سرعت زیر 5 فوت بر ثانیه (1.5 متر بر ثانیه) است.
گرانش (g) و شیب لوله. افزایش شیب باعث کاهش فشار ناشی از گرانش می شود.
قطر لوله (D): هرچه قطر لوله بزرگتر باشد سرعت جریان کندتر خواهد بود. در صورت مشخص شدن لوله بزرگتر ، می توان بدون افزایش سرعت ، سرعت مطلوب جریان را حفظ کرد.
آیا یک سیال با توجه به معادله تداوم می تواند به سرعت نور نزدیک شود؟
مطمئناً این یک نسخه از معادله تداوم است. اما این عمومی ترین نیست. در حقیقت ، این شرایط را می توان از عدم قابلیت انعطاف پذیری سیال در حد معادله Navier-Stokes استنباط کرد:
$\rho(\partial_t + v \cdot \nabla)v + \nabla p = 0,$
جایی که ρ چگالی است ، p فشار و v میدان سرعت در سیال است ، فرض می شود $\nabla\cdot v = 0$ را برآورده کند. اما حتی اگر همه چیز را در این توصیف مورد توجه قرار دهید ، فرم گرایی اجازه می دهد مایعات دارای سرعتی بالاتر از سرعت نور باشند.دلیل این امر این است که حتی معادله Navier-Stokes محدودی از همتای نسبی آن ، یعنی حفظ تنش انرژی-تنش است:
$\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0.$
و از این معادله به راحتی می توان نشان داد که مایع شما با فرض فیزیکی بودن Tμν شما سریعتر از نور منتشر نمی شود.هنگام بحث درباره اینکه چه چیزی ممکن است یا چه کاری امکان پذیر است ، باید همه معادلات مربوطه را بررسی کرد. در این حالت ، باید معادله تکانه را که قانون نیوتن است نیز بررسی کنید و هنگامی که این کار را انجام می دهید ، می بینید که در عمل فشار مورد نیاز برای تعداد زیاد ماخ در مایعات غیرممکن است.
در صحبت در مورد جریان غیرقابل انعطاف ، از دیدگاه اساسی ، دستیابی به حتی 1 ماخ در مایعات "غیرقابل تراکم" امکان پذیر نیست. معیاری که می توان مایعی را غیرقابل انعطاف دانست ، این است که عدد ماخ در مربع بسیار کمتر از واحد باشد. این بدان معناست که عدد Mach باید کمتر از 0.3 باشد و بالاتر از آن ، مایعات قابل فشردن است. تغییر در چگالی آن مهم می شود. بنابراین ، می توان ادعا کرد که ممکن است سیالی غیرقابل انعطاف دارای سرعتی نزدیک به سرعت صوت در آن سیال باشد ، فقط به این دلیل که برای تعداد Mach بالاتر از حدود 0.3 باید فشرده سازی را تجربه کند.
همچنین ، وقتی اعداد را مرور می کنید ، خواهید فهمید که فشارهای زیادی لازم است تا سرعت رسیدن به تعداد زیاد ماخ ، افزایش یابد. بنابراین حتی تصور کردن سرعت هایی که به سرعت نور نزدیک می شوند ، یک خیال ناب است.نکته ای که در پاسخ های فوق به آن اشاره نشده این است که اگر مایعی واقعاً "غیرقابل فشرده" بود ، این باعث نقض نسبیت خاص می شود. این بدان دلیل است که سرعت صدا در یک سیال می تواند از معادله حالت ρ (P، T) حاصل شود که چگالی را تابعی از فشار و دما می دهد. به طور خاص ، ما داریم
$\frac{1}{v^2} = \left( \frac{\partial \rho}{\partial P} \right)_s,$،
که v سرعت صدا در ماده است و مشتق گرفته می شود در حالی که آنتروپی را ثابت نگه می دارد. اگر ρ واقعاً و واقعاً "غیرقابل انعطاف" بود ، پس با توجه به P ثابت خواهد بود و مشتق فوق ناپدید می شود. بنابراین ،$v^2 \to \infty$ ، که سریعتر از نور است چگونه می توان دبی آب را از طریق یک لوله محاسبه کرد؟13
اگر یک لوله آب به قطر 15 میلی متر و فشار آب 3 بار باشد ، با فرض اینکه لوله باز باشد ، آیا می توان میزان جریان یا سرعت آب را در لوله محاسبه کرد؟
به نظر می رسد که بیشتر محاسباتی که پیدا کرده ام به 2 مورد از این موارد احتیاج دارند: قطر ، سرعت جریان ، سرعت.
بنابراین به طور دقیق تر آیا می توانید سرعت یا سرعت جریان را از فشار آب و قطر لوله محاسبه کنید؟
جریان آرام:
اگر جریان در لوله آرام است ، می توانید از معادله Poiseuille برای محاسبه میزان جریان استفاده کنید:
$Q=\frac{\pi D^4 \Delta P}{128 \mu \Delta x}$
جایی که Q سرعت جریان است ، D قطر لوله است ، ΔP اختلاف فشار بین دو انتهای لوله ، μ ویسکوزیته پویا است و Δx طول لوله است.
اگر لوله شما آب را در دمای اتاق حمل می کند ، گرانروی آن $8.9\times 10^{-4} \, Pa\cdot s$ خواهد بود. با فرض اینکه لوله 5 متر طول داشته باشد و فشار 3bar فشار سنج باشد ، سرعت جریان برابر است
$Q = \frac{\pi (0.015)^4(3\times 10^5\,Pa)}{128(8.9\times 10^{-4} \, Pa\cdot s)(5\,m)}=0.0084 \frac{m^3}{s} = 8.4 \frac{l}{s}$
با این حال ، اگر عدد رینولدز را برای این میزان جریان محاسبه کنیم:
$V = \frac{Q}{A} = \frac{0.0084\frac{m^3}{s}}{\frac{\pi}{4}(0.015m)^2} = 48\frac{m}{s}$
$Re = \frac{\rho D V}{\mu} = \frac{(1000\frac{kg}{m^3})(0.015m)(48\frac{m}{s})}{8.9\times 10^{-4}\, Pa\cdot s}= 8\times 10^{5}$
... می بینیم که این جریان به خوبی به روش آشفته وارد می شود ، بنابراین مگر اینکه لوله شما خیلی طولانی باشد ، این روش مناسب نیست.
جریان آشفته:
برای جریان آشفته ، می توانیم از معادله برنولی با اصطلاح اصطکاک استفاده کنیم. با فرض افقی بودن لوله:
$\frac{\Delta P}{\rho}+\frac{V^2}{2}=\mathcal{F}$
جایی که F گرمایش اصطکاک را حساب می کند و از نظر یک عامل اصطکاک تجربی ارائه می شود ، f:
$\mathcal{F} = 4f\frac{\Delta x}{D}\frac{V^2}{2}$
ضریب اصطکاک f با تعداد رینولدز و زبری سطح لوله ارتباط دارد. اگر لوله مانند مس کشیده صاف باشد ، در این حالت ضریب اصطکاک حدود 0.003 خواهد بود. من این مقدار را از "مکانیک سیالات برای مهندسان شیمی" توسط de Nevers ، جدول 6.2 و شکل 6.10 دریافت کردم. من همچنین فرض کردم که عدد رینولدز حدود 105 باشد. جایگزینی معادله برای گرم شدن اصطکاک در معادله برنولی و حل سرعت:
$V=\sqrt{\frac{2 \Delta P}{\rho \left( 4f\frac{\Delta x}{D}+1 \right)}}$
اگر لوله شما مواد دیگری با سطح خشن باشد ، این تجزیه و تحلیل سرعت جریان را بیش از حد پیش بینی می کند. پیشنهاد می کنم اگر به دقت بالاتری نیاز دارید ، به دنبال جداول عوامل اصطکاک برای مواد خاص خود باشید.
مورد کلی
ابزار اصلی برای این نوع سوالات ، معادله برنولی ، در مورد آب ، برای مایعات غیر قابل فشردگی است.
$\frac{p}{\rho} + gz + \frac{c^2}{2} = const$
همانطور که به درستی بیان کردید حداقل لازم است که سرعت یک نقطه را بدانید. می توانید برنولی را با اصطلاحات افت فشار گسترش دهید یا آن را با معادله تداوم ترکیب کنید و یا بسته به پیچیدگی مسئله تعادل حرکت ایجاد کنید. برای اینکه روشن شود: من این ابزارها را ذکر کردم زیرا آنها برای این نوع مشکلات استفاده می شوند ، بدون اینکه شما پارامترهای بیشتری بدانید به شما کمک نمی کنند مشکلات خود را حل کنید.
سایر پیش نیازهای احتمالی
شما می دانید که جریان ناشی از فشار هیدرواستاتیک از یک مخزن به اندازه کافی بزرگ است
شما η و N را از پمپ مسئول جریان سیال می دانید
η≡ کارایی
نیرو
اساساً با توجه به آنچه در حال حاضر بیان کردید ، نمی توانید سرعت را دریابید.
به هر حال گرفتن برآورد
می توانید تصور کنید که فشار در ورودی ثابت است و هیچ جریانی در آنجا رخ نمی دهد. نادیده گرفتن تلفات اصطکاک و اختلاف ارتفاعی که خواهید گرفت
$\frac{p_{in}}{\rho} + gz + \frac{c_{in}^2}{2} = \frac{p_{out}}{\rho} + gz + \frac{c_{out}^2}{2}$
$\frac{p_{in}}{\rho} = \frac{p_{out}}{\rho} + \frac{c_{out}^2}{2}$
$\sqrt{\frac{2(p_{in}-p_{out})}{\rho}} = c_{out} = 20 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$
$\dot{V} = cA = 10.60 \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{min}}$
$\rho \equiv 1000\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}$
$p_{out} \equiv 1 \mathrm{bar}$
سطح مقطع لوله$A \equiv \text{cross-sectional area of the pipe}$
چگونه سرعت گاز در یک لوله را محاسبه کنیم؟$V\ =\ \sqrt\frac{2\Delta P}{{\rho (4f\frac{\Delta x}{D}\ -\ 1)}}$
فرم واریانس معادلات سیال تراکم ناپذیر اویلر؟من سعی می کنم معادلات سیال تراکم ناپذیر اویلر را از نظر یک اصل ثابت تغییر بدست آورم. با توجه به معادلات جریان اویلر:
$\frac{\partial v}{\partial t} = -\nabla p$
$\nabla\cdot v = 0$
شروع با یک لاگرانژی متشکل از انرژی جنبشی و محدودیت تداوم (سرعت آزاد واگرایی):
$\mathcal{L} = \int_\Omega{\frac{1}{2}|v|^2 - p(\nabla\cdot v)}$
آیا می توان معادلات اولر-لاگرانژ را به سادگی اعمال کرد:
$\frac{\text{d}}{\text{dt}}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial{v}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial{{x}}} = 0$
برای رسیدن به معادلات اولر؟ تا آنجا که من فهمیدم این کاملاً امکان پذیر است ، اما من دقیقاً مطمئن نیستم که چگونه می توان پیش رفت. به طور خاص ، چگونه اپراتور واگرایی را با توجه به v ، x تمایز می دهید؟
من امیدوارم که بتوان آنها را از این شکل ساده (L = T − V) ، بدون فراخوانی برخی از روشهای هندسی و انتزاعی تر ، به دست آورد:
.i hope i helped roham hesami smile260 smile261 smile072
تصویر

ارسال پست