تفاوت تابع گوسی و لورنتسی

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
zahraaa

نام: zahra

عضویت : سه‌شنبه ۱۴۰۰/۱/۱۷ - ۱۳:۱۲


پست: 6



جنسیت:

تفاوت تابع گوسی و لورنتسی

پست توسط zahraaa »

تفاوت تابع گوسی و لورنتسی چیست؟

نمایه کاربر
Player

عضویت : چهارشنبه ۱۳۹۹/۱۰/۱۷ - ۰۲:۴۳


پست: 15

سپاس: 5

Re: تفاوت تابع گوسی و لورنتسی

پست توسط Player »

دنبال چه جور تفاوتی هستید؟ جفتشون توزیع هستند، فقط گاوسی شیبش بیشتر است. یک تابع دیگر که شبیه این دو تابع می باشد، سکانت هایپربولیک است. در فیزیک تمام این توزیع ها را می توان به عنوان تابع موج اولیه سیستم فرض کرد چون خاصیت بهنجار پذیری دارند. تابع گاوسی در فیزیک آماری زیاد ظاهر می شود. مثل توزیع بولتزمان در یک دمای خاص. توزیع لورنتسی معمولا در اپتیک ظاهر می شود.

منبع: ویکی پدیا
تصویر

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 615

سپاس: 390

جنسیت:

تماس:

Re: تابع گوسی و لورنتسی

پست توسط rohamjpl »

شایان ذکر است که یک لورنتس چیزی غیر از تبدیل فوریه یک نوسان در حال فروپاشی نمایی نیست. Gaussian همیشه به نوعی از توزیع احتمال مربوط می شود (به عنوان مثال سرعت های مختلف مولکول ها منجر به گسترش داپلر می شود. مثالها بی پایان هستند.)من می خواهم تفاوت بین عملکرد گاوسی و تابع لورنتسی را بدانم. به طور خاص ، آیا درست است که بگوییم دومی از اولی که شکل زنگ مانند صاف تری دارد ، اوج بیشتری (تیزتر) دارد؟ در واقع ، همچنین در اینجا می گوید که توزیع لورنتزی دارای درجه دم بسیار کمتری نسبت به توزیع گاوسی است. آیا واقعیت دارد؟ آیا می توانید این را با برخی از روابط بین FHWM Gaussian و FHWM لورنتزی ثابت کنید؟تصویر
سوال من از این واقعیت ناشی می شود که من باید دو منحنی بدست آمده از داده های آزمایشی (آنهایی که در تصویر ضمیمه می کنم) قرار دهم و فکر می کردم که آیا قله تیزتر با عملکرد لورنتسی و منحنی شکل زنگ مانند تر با یک fuction گاوسی نتایج دقیق تری از پارامترهایی را که من در جستجوی آنها هستم (با توجه به موردی که برای هر دوی آنها معادله گاوس استفاده می کنم) می دهد.
در واقع ، من منحنی قرمز را با استفاده از معادله لورنتسی و آبی (صاف تر) با معادله گاوس متناسب کردم تا مقدار X مربوط به قله های دو منحنی را پیدا کنم (به عنوان مثال ، برای منحنی قرمز ، من نوشتم کدی که در آن معادله Lorentzian را قرار داده و پارامتری را که مورد علاقه من است آزاد گذاشتم تا اتصالات مقدار آن را به من بدهد).تابع لورنتسی نسبت به یک تابع گاوسی مربوط به آن دم های بارزتری دارد و از آنجا که این شکل طبیعی حل معادله دیفرانسیل توصیف کننده یک نوسان ساز هارمونیکی میرا است ، فکر می کنم باید در تمام فیزیک های مربوط به چنین نوساناتی ، یعنی خط طبیعی استفاده شود عرض ، نوسانات پلاسمون و غیره
گوسیان شکل خط گاوسی شکل استانداردی دارد ، متغیر فرعی x ، به همان روشی که برای شکل لورنتزی تعریف شده است. هر دو این تابع و Lorentzian حداکثر مقدار 1 در x = 0 و مقدار 1/2 در x = ± 1 دارند.شایان ذکر است که یک لورنتزی چیزی غیر از تبدیل فوریه یک نوسان در حال فروپاشی نمایی نیست. Gaussian همیشه به نوعی از توزیع احتمال مربوط می شود (به عنوان مثال سرعت های مختلف مولکول ها منجر به گسترش داپلر می شود. مثالها بی پایان هستند.)
توابع گاوسی، نوع خاصی از توابع نمایی هستند که در بیان بسیاری از پدیده‌ها کاربرد دارند. معمولا نمای توابع گاوسی به صورت مربع کامل بوده که در مقدار -1 ضرب شده است.مانی تابع گاوسی به حداکثر خود می‌رسد که نمای آن کوچکترین مقدار ممکن باشد. دامنه توابع گاوسی اغلب اعداد حقیقی است. توابع گاوسی را می‌توان به صورت تک متغیره (Univariate) یا چند متغیره (Multivariate) در نظر گرفت.$\large f(x):\cal{R}^p:\rightarrow \cal{R}$ این ترتیب اگر ‌$f(x)$ متعلق به خانواده توابع گاوسی باشد، در فضای $p$ بُعدی خواهیم داشت فرم توابع اینگونه هست $\large {\displaystyle f(x)=ae^{-{\frac {(x-b)^{2}}{2c^{2}}}}},$که در آن مقادیر a,b و اعداد حقیقی بوده و مقدار حقیقی نیز صفر نیست.در نظریه احتمال و آمار، تابع گاوسی را به صورت یک تابع چگالی احتمال نشان می‌دهند و به صورت زیر پارامترهای آن را مشخص می‌کنند$\large {\displaystyle g(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left((x-\mu )/\sigma \right)^{2}}}$ واضح است که در اینجا مقدار $b=\mu$ و $c=\sigma$ است که به ترتیب میانگین و انحراف استاندارد توزیع نرمال را نشان می‌دهند. همچنین مقدار $a=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ خواهد بود،‌ در نتیجه این ضریب مثبت بوده و برد تابع گاوسی را به مجموعه اعداد حقیقی مثبت محدود می‌کند. با استفاده از مشتق نیز می‌توان نشان داد که حداکثر مقدار این تابع در نقطه $x=\mu$ حاصل می‌شود.$\large \max(g(x))=\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}$ توابع گاوسی، می‌توان به شناسایی تابع توزیع نرمال در نظریه توزیع‌های احتمالی (Probability Distribution)، در پردازش سیگنال برای تعریف فیلتر گاوسی (Gaussian Filter) و در پردازش تصویر برای هموارسازی گاوسی (Gaussian blur) اشاره کردپارامتر c در رابطه ۱ با پهنای نمودار در نصف مقدار حداکثر (Full width at half maximum) تابع – که گاهی به آن FWHM‌ نیز می‌گویند – در ارتباط است.برای بدست آوردن رابطه بین FWHM با پارامتر ‌c کافی است که مقدار حداکثر تابع را بدست آورده و آن را نصف کنیم. فاصله مقدارهای متناظر چنین نقطه‌ای روی محور افقی مقدار FWHM‌ را نشان می‌دهد که بیانگر میزان گستردگی منحنی یا نمودار تابع گوسی است. حداکثر تابع (قله نمودار تابع گاوسی) در نقطه $x=b$ رخ می‌دهد$\large \ln\big(f'(x)\big)=\ln(a)-\dfrac{(x-b)^2}{2c^2}=0\rightarrow (x-b)^2=0 \rightarrow x=b$, $\large f(b)=a=\max f(x)$ تابع لگاریتم، یک تابع یکنوا است این مقدارx را نصف کرده و مقدار یا مقدارهایی از را پیدا می‌کنیم $\large \frac{a}{2}=f(x)=ae^{-{\frac {(x-b)^{2}}{2c^{2}}}}$, و $\large \ln(\frac{a}{2})=\ln(a)-{\frac{(x-b)^2}{2c^2}}$و چون $\ln(\frac{a}{2})=\ln(a)-\ln(2)$نتیجه جذر گرفتن $\large \sqrt{\ln(2)}=\pm \dfrac{(x-b)}{\sqrt{2}c}\\\large c\sqrt{2\ln(2)}=\pm(x-b)$بنابراین اگر x1و x2 چنین نقاطی باشند، فاصله بین آن‌ها برابر با FWHM را مشخص می‌کند.$\large x_1=b+c\sqrt{\ln(2)}+b, \;x_2=b-c\sqrt{\ln(2)}
\\\large x_1-x_2=b+c\sqrt{2\ln(2)}-(b-c\sqrt{2\ln(2)})=2c\sqrt{2\ln(2)}=\text{FWHM}$ توابع گاوسی را برحسب FWHM می‌نویسند. به این ترتیب اگر$w$ بیانگر این مقدار باشد، توابع گاوسی را به صورت زیر نمایش می‌دهند$\large {\displaystyle f(x)=ae^{-4(\ln 2)(x-b)^{2}/w^{2}}}$انتگرال توابع گاوسی همان تابع خطا (Error Function) خواهد بود. به این ترتیب محاسبه انتگرال توابع گاوسی روی ناحیه اعداد حقیقی قابل محاسبه است$\large \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}$ حالت کلی $\large {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/(2c^{2})}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\pi }}.}$
تابع لورنتزی شکل انواع خاصی از خطوط طیفی را می دهد و تابع توزیع در توزیع کوشی است. تابع لورنتزی تبدیل فوریه دارد.وقتی عملکرد Lorentzian را عادی می کنیم ، نتیجه زیر را می گیریم:
$\dfrac{1}{\pi}\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \dfrac{b}{(z-a)^2+b^2} dz = 1$
من سعی می کنم این را با استفاده از تجزیه و تحلیل پیچیده ثابت کنم ، اما درگیر موضوعاتی هستم.
$\dfrac{1}{\pi}\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \dfrac{b}{(z-a)^2+b^2} dz = \dfrac{b}{\pi}\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \dfrac{1}{(z-a)-ib} \dfrac{1}{(z-a)+ib} dz$
با یک منطقه همگرایی مطلق $Re(z)>0$ و قطب های ساده در z = a ± ib ، باقی مانده ها عبارتند از:
z = a − ib: $\dfrac{1}{-2ib}$
z = a + ib: $\dfrac{1}{2ib}$
پس من دارم
$2\pi i \dfrac{b}{\pi} \displaystyle \sum residues = 0$
تصویر

نمایه کاربر
فروهر

عضویت : جمعه ۱۳۹۱/۶/۳۱ - ۲۲:۱۷


پست: 1084

سپاس: 105


تماس:

Re: تفاوت تابع گوسی و لورنتسی

پست توسط فروهر »

رهام عزیز خسته نباشی واقعا مهندس.. smile260
عشق صیدیست که تیرت به خطا هم برود
لذتش کنج دلت تا به ابد خواهد ماند...

ارسال پست