شکل سطح سیال چرخان

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 641

سپاس: 395

جنسیت:

تماس:

شکل سطح سیال چرخان

پست توسط rohamjpl »

من داشتم از پویایی سیال عبور می کردم و به این قسمت رسیدم که به شکل یک سطح مایع در یک ظرف استوانه ای چرخان است. کار در کتاب چیزی شبیه به این است:
این یک جرم متر آب در سطح مایع چرخان در فاصله x از محور چرخش آن در نظر می گیرد. این یک نیروی شبه $m \cdot x \cdot \omega^2$ را شعاعی به سمت خارج و نیروی وزنی آن ($mg$) را در نظر می گیرد. سپس برای محاسبه نیروی خالص و زاویه ای که با عمودی ایجاد می کند ، ادامه می یابد. از آنجا با ادغام اساسی ، معادله سطح مایع به دست می آید یعنی y = (x2⋅ω2) 2g.
من این را کار می کنم
اما اگر بخواهم همان چرخش را از طریق یک قاب اینرسی مشاهده کنم ، چگونه می توانم پیش بروم؟ منظور من این است که هیچ نیروی شبه ای وجود نخواهد داشت ، بلکه یک شتاب مرکز گریز از همان شدت شعاعی به سمت داخل است. این جایی است که من با تردیدهای خاصی روبرو هستم.تصویر
نیروهای وارد شده بر روی مایع ، نیروی گریز از مرکز به داخل و نیروی وزنی به سمت پایین خواهد بود. بنابراین نیروی خالص در جهتی دیگر خواهد بود و در نتیجه شیب سطح در آن نقطه در جهتی دیگر خواهد بود. همان سطح برای داشتن دو شکل متفاوت در دو قاب متفاوت؟
اگر کسی بتواند با اشاره به نقص درک من به من کمک کندممنون میشم.مایع چرخان
برای چرخش مایع ، ابتدا معادله پیوستارها را در نظر بگیرید:
$\begin{equation}
\rho \frac{\text{d}\vec{\mathbf{v}}}{\text{d}t} = \vec{\mathbf{f}}+\text{Div}\hat{\sigma},
\end{equation}$
که$\hat{\sigma}$تانسور تنش مایعات است و در حالت بدون اصطکاک$\text{Div}\hat{\sigma}=-\vec{\bigtriangledown} p$ چگالی نیروهای بیرونی است. در صورت وجود یک قاب چرخش ، مایع در حالت تعادل است ، بنابراین این معادله به صورت $\vec{\mathbf{0}}=\vec{\mathbf{f}}+\text{Div}\hat{\sigma}$ خوانده می شود ، جایی که $\vec{\mathbf{f}}$ را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:
$\begin{equation}
\vec{\mathbf{f}}_{grav} = \frac{\text{d}\vec{\mathbf{F}}_{grav}}{\text{d}V}=\frac{1}{\text{d}V}\text{d}m*\vec{\mathbf{g}}=\frac{1}{\text{d}V}\text{d}m\left[-\vec{\bigtriangledown}(gz)\right]=-\vec{\bigtriangledown}\left(\rho gz\right)
\end{equation}$
$\begin{equation}
\vec{\mathbf{f}}_{cf} = \frac{\text{d}\vec{\mathbf{F}}_{cf}}{\text{d}V}=-\frac{1}{\text{d}V}\text{d}m\omega^2\vec{\mathbf{s}}=-\frac{1}{\text{d}V}\text{d}m\left[-\vec{\bigtriangledown}(\frac{1}{2}\omega^2(x^2+y^2))\right]=+\vec{\bigtriangledown}\left(\frac{1}{2}\rho\omega^2s^2\right)
\end{equation}$
$\begin{equation}
\vec{\mathbf{f}}=\vec{\mathbf{f}}_{grav}+\vec{\mathbf{f}}_{cf}
\end{equation}$f
و اکنون شرایط تعادل$\vec{\mathbf{f}}+\text{Div}\hat{\sigma}=\vec{\mathbf{0}}$ این را به ما می گوید
$\begin{equation}
\vec{\bigtriangledown}\left(-p-\rho gz+\rho\omega^2s^2\right)=\vec{\mathbf{0}}
\end{equation}$
$\begin{equation}
-p-\rho gz+\rho\omega^2s^2=-p-\rho gz+\rho\omega^2(x^2+y^2)=\text{const},
\end{equation}$ ساختار ،
که مشخصات سهمی (*) را می دهد.
اگر می خواهید از یک فریم مرجع اینرسی استفاده کنید ، فقط کافی است به جای نیروی گریز از مرکز استفاده کنید که مجموع دو نیرو بر روی یک قطعه از مواد با dm جرم و حجم dV باید نیروی گریز از مرکز برای حفظ حرکت دایره ای باشد. در این مورد l.h.s. از $\rho \frac{\text{d}\vec{\mathbf{v}}}{\text{d}t} = \vec{\mathbf{f}}+\text{Div}\hat{\sigma}$ صفر نخواهد بود ، بلکه چگالی نیروی گریز از مرکز است. با استفاده از $\text{d}\vec{\mathbf{v}}/\text{d}t$ باید شتاب مرکز گریز$\omega^2\vec{\mathbf{s}}$ بدست آورید:
$\begin{equation}
\rho\omega^2\vec{\mathbf{s}}=-\vec{\bigtriangledown}p - \vec{\bigtriangledown} gz
\end{equation}$
$\begin{equation}
-\vec{\bigtriangledown}\rho\omega^2s^2=-\vec{\bigtriangledown}p - \vec{\bigtriangledown} gz,
\end{equation}$
که همان معادله قبل از دادن مشخصات سهموی است.
: برای دیدن اینکه l.h.s در واقع تراکم نیروی گریز از مرکز است:
$\begin{equation}
\vec{\mathbf{f}}_{cp}=\frac{1}{\text{d}V}\text{d}\vec{\mathbf{F}}_{cp}=\frac{1}{\text{d}V}\text{d}m\omega^2\vec{\mathbf{s}}=\rho\omega^2\vec{\mathbf{s}}
\end{equation}$
* نحوه دریافت نمایه:
در$z=h_{\text{liquid}}=h_{\text{liquid}}(x,y)$ فشار جفت است ، بنابراین ساختار به سادگی $const=p_{\text{air}}$ است و محدودیت l.h.s. را می گیرد. روی سطح مایعی که می گیریم باشد
$\begin{equation}
-p\left(x,y,z=h_{\text{liquid}}(x,y)\right)-\rho gh_{\text{liquid}}(x,y)+ \rho\omega^2s^2=p_{\text{air}}
\end{equation}$
$\begin{equation}
-p_{\text{air}}-\rho gh_{\text{liquid}}+\rho\omega^2s^2=p_{\text{air}}
\end{equation}$
$\begin{equation}
\rho gh_{\text{liquid}}=\rho\omega^2s^2
\end{equation}$
$\begin{equation}
h(x,y)_{\text{liquid}}=\frac{\omega^2}{g}(x^2+y^2)
\end{equation}$
روش دوم با توجه به فرض عدم انعطاف پذیری و جریان ثابت ؛
معادله اولر را در یک میدان جاذبه یکنواخت در نظر بگیرید:
$\dfrac{\partial{\vec{v}}}{\partial{t}} + (\vec{v}*{\vec\nabla})\vec{v} = -\vec\nabla{\dfrac{p}{\rho}}+ \vec{g}$
میدان سرعت ذره شیر برقی است ، $\vec \nabla \cdot \vec v$ ، سرعت x و y را می توان با توجه به عملکرد جریان$\Psi$ بیان کرد.
$v_{x} = \dfrac{\partial{\Psi}}{\partial{y}}$
$v_{y} = -\dfrac{\partial{\Psi}}{\partial{x}}$
vz = 0 (فرض می کنم محور z محور چرخش باشد)
با جایگزینی هرمولفه به صورت جداگانه در معادله اولر ، از نظر فشار سطح به شتاب مرکز گریز می رسیم (همانطور که درخواست شد قاب اینرسی).
$x\omega^{2} = \dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial{p}}{\partial{x}}$
$y\omega^{2} = \dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial{p}}{\partial{y}}$
$\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial{p}}{\partial{z}}+g = 0$
حال ، انتگرال کلی این عبارات را ارزیابی کنید.
$\dfrac{p}{\rho} = \dfrac{\omega^{2}(x^2+y^2)}{2} - gz + C$
با توجه به p = ثابت در یک سطح آزاد و حل برای z ،
$z = \dfrac{\omega^{2}(x^2+y^2)}{2g}$
سطح شکل یک paraboloid را به خود می گیرد. نباید سردرگمی ایجاد شود. نیروی گریز از مرکز و نیروهای گریز از مرکز فقط ابزارهای مختلفی هستند که برای نزدیک شدن به یک مسئله مشابه استفاده می شوند. نیروی گریز از مرکز در جهت افقی قرار دارد ، نه به سمت بالا همانطور که در توضیح مسئله بیان کرده اید.
تصویر

ارسال پست