نیرو و گشتاور و اینرسی در مرکز جرم
ارسال شده: یکشنبه ۱۴۰۰/۱/۲۹ - ۱۰:۳۷
در اینجا چند سوال وجود دارد که تقریباً یکسان هستند. اما هنوز شک داشتم که فهمیدم نیرویی که در هر نقطه از یک جسم صلب اعمال می شود همان شتاب را بر روی مرکز جرم ایجاد می کند. چطور ممکن است؟اگر من یک نیرو را به مرکز جرم وارد کنم ، آن فقط شتاب می گیرد اما اگر من یک نیرو را از مرکز جرم وارد کنم ، به صورت خطی شتاب می گیرد و می چرخد. از آنجا که چرخش می کند مقداری از نیرو به چرخش جسم وارد می شود بنابراین شتاب خطی نمی تواند یکسان باشد؟ اینطور نیست؟${\bf p} = \sum_i m_i {\bf v}_i = \left( \sum_i m_i \right) {\bf v}_C$
جایی که ${\bf m}_i$ جرم فردی است ، ${\bf v}_i$ سرعت فردی و ${\bf v}_c$ سرعت مرکز جرم است. با استفاده از مشتق موارد فوق رابطه بین نیروی F و مرکز شتاب جرم $\dot{{\bf v}}_C$ بدست می آید${\bf F} = \left( \sum_i m_i \right) \dot{{\bf v}}_C$
مرکز مکان جرم ${\bf r}_C$ توسط$\sum_i m_i {\bf r}_i = \left( \sum_i m_i \right) {\bf r}_C$
و با تمایز مستقیم موارد فوق ، به دست می آورید$\sum_i m_i {\bf v}_i = \left( \sum_i m_i \right) {\bf v}_C$
که در آن ${\bf v}_i = \dot{{\bf r}}_i$ و${\bf v}_C = \dot{{\bf r}}_C$
بنابراین چه اتفاقی می افتد که نیرویی دور از مرکز جرم اعمال شود؟
نقطه ای که نیرو وارد می شود حداقل به اندازه مرکز جرم شتاب می گیرد. به طور کلی ، به دلیل چرخش شتاب بیشتری خواهد گرفت. نیرو توده کاهش یافته ای را که رابطه ایجاد می کند احساس خواهد کرد
$m_{eff} = \left( \frac{1}{m} + \frac{c^2}{I} \right)^{-1}$
جایی که m جرم است ، I لحظه جرمی اینرسی در مورد محور چرخش است و c بازوی لحظه ای نیرو است که توسط مرکز جرم به نظر میرسد
چرا گشتاور در مورد مرکز جرم اندازه گیری می شود؟اکنون معمولاً گشتاور را در حدود لولا می گیریم تا نیروهای وارد شده به دلیل لولا در گشتاور ظاهر نشوند. در شایع ترین موارد ، مرکز جرم خود لولا است ، بنابراین ما گشتاور را در مورد مرکز جرم می گیریم.وقتی در مورد نورد صحبت می کنید ، دوباره گشتاور مرکز جرم را می گیرید ، اما در واقع نیازی به این کار نیست. می توانید هر نقطه را انتخاب کنید و گشتاور را بنویسید و پارامترهایی را درباره آن نقطه تعریف کنید. با این وجود مرکز جرم ، معمولاً راهی بسیار آسان و شهودی برای محاسبه پارامترهای فیزیکی به ما می دهد و به همین دلیل است که ما اغلب گشتاور مربوط به مرکز جرم را می نویسیم.چرخش بدن به نقطه ای که در آن لول می شود بستگی دارد. بنابراین اگر نیرویی در مرکز جرم (COM) وارد شود ، ممکن است باعث ایجاد چرخش در محور شود (اگر از طریق COM نباشد) که در آن با ایجاد یک گشتاور ، به آن متصل می شود.اما در صورتی که در هیچ نقطه ای با نیرویی که همچنان به COM وارد می شود وابسته نباشد ، چه می شود؟ یک گشتاور هنوز در مورد محورهای دیگری غیر از COM عمل می کند.
با مثال زدن از یک میله صلب ، جواب را ساده می کنم. نیرو باعث شتاب ترجمه می شود. و بگذارید بگوییم میله در یک محور دلخواه و نه از طریق COM می چرخد. بنابراین یک شتاب زاویه ای در مورد آن محور وجود دارد. اما این شتاب زاویه ای باید شتاب انتقال دیگری (از$\vec{a} = \vec{r} \times \vec{\alpha}$) اضافه کند که چیزی نیست که ما مشاهده می کنیم و از این رو میله در مورد محور دیگری نمی چرخد حتی اگر گشتاور در آن عمل کند.ارتباط بین گشتاور / گشتاور و مرکز ثقل؟مرکز جرم بسیار مهم است زیرا فقط گشتاور خالص مرکز جرم را می توان در معادلات چرخشی حرکت استفاده کرد ، همانطور که در معادلات خطی حرکت فقط شتاب مرکز جرم استفاده می شود. این به دلیل تعریف حرکت شیب زاویه ای و خطی است:
حرکت خطی جرم بر سرعت مرکز جرم است:$\mathbf{P}=m\, \mathbf{v}_{cm}$
حرکت زاویه ای در مورد مرکز جرم ، لحظه جرم زمان اینرسی سرعت زاویه ای است:$\mathbf{L}_{cm} = I\, \mathbf{\omega}$
مشتق زمان حرکت خطی نیروی خالص است$\sum \mathbf{F} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathbf{P} = m\,\mathbf{a}_{cm}$
ماكزیمم مشتق زمان حرکت زاویه ای گشتاور خالص در مورد مرکز جرم است
$\sum \mathbf{\tau}_{cm} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathbf{L}_{cm} =
I \,\dot{\mathbf{\omega}} + \mathbf{\omega} \times I \mathbf{\omega}$
سرعت و شتاب مرکز جرم با توجه به مکان متفاوت A با $\mathbf{c} = \{cm\}-\{A\}$
$\mathbf{v}_{cm} = \mathbf{v}_A - \mathbf{c} \times \mathbf{\omega}$
$\mathbf{a}_{cm} = \mathbf{a}_A - \mathbf{c} \times \dot{\mathbf{\omega}} + \mathbf{\omega}\times \mathbf{\omega} \times \mathbf{c}$
حرکت زاویه ای در مورد نقطه A است$\mathbf{L}_A = \mathbf{L}_{cm} + \mathbf{c} \times \mathbf{P}$
گشتاور خالص در مورد نقطه A است$\sum \mathbf{\tau}_A = \sum \mathbf{\tau}_{cm} + \mathbf{c} \times \sum \mathbf{F}$
برای بدست آوردن معادلات حرکت در مورد یک نقطه متفاوت A ، با ترکیب موارد بالا برای ایجاد ترکیبی از موارد فوق بصورت فشرده بیان می شود
$\begin{aligned}
\mathbf{P} &= m (\mathbf{v}_A - \mathbf{c} \times \mathbf{\omega}) \\
\mathbf{L}_A &=I\,\mathbf{\omega}-m \mathbf{c} \times \mathbf{c} \times \mathbf{\omega}+\mathbf{c} \times m \mathbf{v}_A \end{aligned}$و$\begin{aligned}
\sum \mathbf{F} & = m (\mathbf{a}_{A}-\mathbf{c} \times \dot{ \mathbf{\omega}} + \mathbf{\omega}\times \mathbf{\omega} \times \mathbf{c}) \\
\sum \mathbf{\tau}_A &= I \,\dot{\mathbf{\omega}} + \mathbf{\omega} \times I \mathbf{\omega} + \mathbf{c} \times \sum \mathbf{F}
\end{aligned}$
همانطور که مشاهده می کنید ، معادلات حرکت هنگام بیان بر روی مرکز جرم بسیار ساده تر هستند ، در مقابل هر نقطه دلخواه دیگری.
رابطه بین مرکز جرم و محور چرخش
دو ویژگی مرکز جرم با هم مرتبط هستند (در واقع نتیجه تعریف مرکز جرم است).
نیرویی (یا انگیزه ای) که از طریق مرکز جرم وارد می شود ، کاملاً جسم صلب رامنتقل می کند.
یک گشتاور خالص (یا کمبود نیرو) که بر روی بدنه وارد می شود ، بدن را در مرکز مرکز جرم می چرخاند.
همه چیز با حرکت آغاز می شود.
با جسم صلب به عنوان سیستمی از ذرات رفتار کنید که تمام فواصل بین آنها را حفظ می کند. تنها حرکات مجاز یا ترجمه خالص ، چرخش در مورد یک محور دلخواه یا ترکیبی از این دو است.
مکانی را در فضا (که من به عنوان C یادداشت می کنم) که می توان از سرعت خطی آن برای توصیف حرکت کلی خطی گروهی از ذرات استفاده کرد ، مرکز جرم نامیده می شود:
$\vec{p} = \sum_i m_i \vec{v}_i = \vec{v}_C\, (\sum_i m_i)$
علاوه بر این ، نیروی خالص وارد بر یک بدن (صرف نظر از نقطه کاربرد) برابر است با مشتق زمان حرکت
$\vec{F} = \sum_i \vec{F}_i = \frac{\rm d}{{\rm d}t} \vec{p} = \vec{a}_C\, (\sum_i m_i)$
چیزی که این به شما می گوید این است که نیروهای وارد بر بدن فقط حرکت مرکز جرم را توصیف می کنند. در نتیجه فقدان نیروی خالص ایجاب می کند که مرکز جرم یا حرکت نکند ، یا با سرعت ثابت حرکت کند$\sum_i \vec{F}_i =0 \Rightarrow \vec{a}_C =0$
و حرکت زاویه ای
به نظر می رسد که اگر تکانه زاویه ای کل سیستم ذرات در مورد مرکز جرم را محاسبه کنید ، نتایج به حرکت مرکز جرم بستگی ندارند ، بلکه فقط به بردار سرعت چرخش $\vec{\omega}$ جسم صلب بستگی دارند.
$\vec{L}_C = \sum_i (\vec{r}_i - \vec{r}_C) \times \vec{v}_i = \mathrm{I}_C\, \vec{\omega}$
علاوه بر این ، گشتاور کل اعمال شده بر روی یک جسم صلب برابر با سرعت تغییر حرکت زاویه ای در مرکز جرم است.$\vec{\tau}_C = \frac{\rm d}{{\rm d}t} \vec{L}_C = \mathrm{I}_C \vec{\alpha} + \vec{\omega} \times \vec{L}_C$
چیزی که این به شما می گوید این است که گشتاورهایی که روی یک جسم صلب عمل می کنند فقط حرکت چرخشی بدن را درباره مرکز جرم توصیف می کنند.
خلاصه
مرکز یک توده نقطه خاصی از بدن است که ارزیابی ماممت را از حرکت جدا می کند.
تکانه خطی جسم صلب برابر است با جرم چند برابر سرعت خطی مرکز جرم (صرف نظر از چرخش).$\vec{p} = m \vec{v}_C$
حرکت زاویه ای یک جسم صلب برابر است با گشتاور جرمی اینرسی (تنسور) برابر سرعت چرخش (صرف نظر از انتقال).$\vec{L}_C = \mathrm{I}_C \vec{\omega}$
نیروهای اینرسی و مرکز جرم
نیروهای اینرسی همیشه برای عبور از مرکز جرم تعریف می شوند. این از تعریف حرکت خطی ناشی می شود. برای یک حرکت سفت و سخت بدن ، مجموع هر توده و سرعت ذره است که بیان می کند:
$\vec{L} = m \vec{v}_{cm}$
تکانه خطی مجموع جرم ضرب شده در سرعت مرکز جرم است.
نیروهای خالص بر روی یک جسم برابر با سرعت تغییر حرکت خطی است.
$\sum \vec{F} = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \vec{L}$
از آنجا که جرم m مقدار مقیاسی است ، سمت راست برابر است
$\sum \vec{F} = m \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \vec{v}_{cm} = m a_{cm}$
نیروهای اینرسی ، برابر است با نیروهای خالص بر روی یک جسم
در نتیجه مجموع نیروهای وارد بر جسم صلب فقط بر حرکت مرکز جرم تأثیر می گذارد.می توان نشان داد که اگر نیروهایی که به ذرات وارد می شوند متناسب با توده های ذرات هستند ، در مورد نیرو و گشتاور ، نیروها معادل یک نیرو هستند که از CM عبور می کنند. مثالی که نیرو با جرم متناسب است ، گرانش است. بنابراین برای ذرات تحت نیروی جاذبه ، هر ذره توسط یک نیروی گرانش عمل می کند ، اما اثر خالص معادل یک نیروی منفرد بر CM است. نیروهای اینرسی مانند نیروهای گرانشی هستند که با توده ها نیز متناسب هستند. بنابراین این واقعیت نیز وجود دارد که تمام نیروهای اینرسی که روی همه ذرات وارد می شوند را می توان با یک نیرو که از CM عبور می کند جایگزین کرد.
اثبات: بگذارید نیرویی که بر ذره i- وارد می شود$\vec{f}_i=m_i\vec{a}$ باشد$\vec{F}_\text{net}=\sum_{i=1}^N \vec{f}_i=M\vec{a}$
جایی که$M=\sum_{i=1}^N m_i$
جرم کل ذرات N است.$\tau_\text{net}=\sum_{i=1}^N \vec{r}_i\times m_i\vec{a}=\left(\sum_{i=1}^N m_i\vec{r}_i\right)\times \vec{a}=M\vec{r}_\text{CM}\times \vec{a}=\vec{r}_\text{CM}\times M\vec{a}=\vec{r}_\text{CM}\times \vec{F}_\text{net}$
جایی که ${\bf m}_i$ جرم فردی است ، ${\bf v}_i$ سرعت فردی و ${\bf v}_c$ سرعت مرکز جرم است. با استفاده از مشتق موارد فوق رابطه بین نیروی F و مرکز شتاب جرم $\dot{{\bf v}}_C$ بدست می آید${\bf F} = \left( \sum_i m_i \right) \dot{{\bf v}}_C$
مرکز مکان جرم ${\bf r}_C$ توسط$\sum_i m_i {\bf r}_i = \left( \sum_i m_i \right) {\bf r}_C$
و با تمایز مستقیم موارد فوق ، به دست می آورید$\sum_i m_i {\bf v}_i = \left( \sum_i m_i \right) {\bf v}_C$
که در آن ${\bf v}_i = \dot{{\bf r}}_i$ و${\bf v}_C = \dot{{\bf r}}_C$
بنابراین چه اتفاقی می افتد که نیرویی دور از مرکز جرم اعمال شود؟
نقطه ای که نیرو وارد می شود حداقل به اندازه مرکز جرم شتاب می گیرد. به طور کلی ، به دلیل چرخش شتاب بیشتری خواهد گرفت. نیرو توده کاهش یافته ای را که رابطه ایجاد می کند احساس خواهد کرد
$m_{eff} = \left( \frac{1}{m} + \frac{c^2}{I} \right)^{-1}$
جایی که m جرم است ، I لحظه جرمی اینرسی در مورد محور چرخش است و c بازوی لحظه ای نیرو است که توسط مرکز جرم به نظر میرسد
چرا گشتاور در مورد مرکز جرم اندازه گیری می شود؟اکنون معمولاً گشتاور را در حدود لولا می گیریم تا نیروهای وارد شده به دلیل لولا در گشتاور ظاهر نشوند. در شایع ترین موارد ، مرکز جرم خود لولا است ، بنابراین ما گشتاور را در مورد مرکز جرم می گیریم.وقتی در مورد نورد صحبت می کنید ، دوباره گشتاور مرکز جرم را می گیرید ، اما در واقع نیازی به این کار نیست. می توانید هر نقطه را انتخاب کنید و گشتاور را بنویسید و پارامترهایی را درباره آن نقطه تعریف کنید. با این وجود مرکز جرم ، معمولاً راهی بسیار آسان و شهودی برای محاسبه پارامترهای فیزیکی به ما می دهد و به همین دلیل است که ما اغلب گشتاور مربوط به مرکز جرم را می نویسیم.چرخش بدن به نقطه ای که در آن لول می شود بستگی دارد. بنابراین اگر نیرویی در مرکز جرم (COM) وارد شود ، ممکن است باعث ایجاد چرخش در محور شود (اگر از طریق COM نباشد) که در آن با ایجاد یک گشتاور ، به آن متصل می شود.اما در صورتی که در هیچ نقطه ای با نیرویی که همچنان به COM وارد می شود وابسته نباشد ، چه می شود؟ یک گشتاور هنوز در مورد محورهای دیگری غیر از COM عمل می کند.
با مثال زدن از یک میله صلب ، جواب را ساده می کنم. نیرو باعث شتاب ترجمه می شود. و بگذارید بگوییم میله در یک محور دلخواه و نه از طریق COM می چرخد. بنابراین یک شتاب زاویه ای در مورد آن محور وجود دارد. اما این شتاب زاویه ای باید شتاب انتقال دیگری (از$\vec{a} = \vec{r} \times \vec{\alpha}$) اضافه کند که چیزی نیست که ما مشاهده می کنیم و از این رو میله در مورد محور دیگری نمی چرخد حتی اگر گشتاور در آن عمل کند.ارتباط بین گشتاور / گشتاور و مرکز ثقل؟مرکز جرم بسیار مهم است زیرا فقط گشتاور خالص مرکز جرم را می توان در معادلات چرخشی حرکت استفاده کرد ، همانطور که در معادلات خطی حرکت فقط شتاب مرکز جرم استفاده می شود. این به دلیل تعریف حرکت شیب زاویه ای و خطی است:
حرکت خطی جرم بر سرعت مرکز جرم است:$\mathbf{P}=m\, \mathbf{v}_{cm}$
حرکت زاویه ای در مورد مرکز جرم ، لحظه جرم زمان اینرسی سرعت زاویه ای است:$\mathbf{L}_{cm} = I\, \mathbf{\omega}$
مشتق زمان حرکت خطی نیروی خالص است$\sum \mathbf{F} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathbf{P} = m\,\mathbf{a}_{cm}$
ماكزیمم مشتق زمان حرکت زاویه ای گشتاور خالص در مورد مرکز جرم است
$\sum \mathbf{\tau}_{cm} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathbf{L}_{cm} =
I \,\dot{\mathbf{\omega}} + \mathbf{\omega} \times I \mathbf{\omega}$
سرعت و شتاب مرکز جرم با توجه به مکان متفاوت A با $\mathbf{c} = \{cm\}-\{A\}$
$\mathbf{v}_{cm} = \mathbf{v}_A - \mathbf{c} \times \mathbf{\omega}$
$\mathbf{a}_{cm} = \mathbf{a}_A - \mathbf{c} \times \dot{\mathbf{\omega}} + \mathbf{\omega}\times \mathbf{\omega} \times \mathbf{c}$
حرکت زاویه ای در مورد نقطه A است$\mathbf{L}_A = \mathbf{L}_{cm} + \mathbf{c} \times \mathbf{P}$
گشتاور خالص در مورد نقطه A است$\sum \mathbf{\tau}_A = \sum \mathbf{\tau}_{cm} + \mathbf{c} \times \sum \mathbf{F}$
برای بدست آوردن معادلات حرکت در مورد یک نقطه متفاوت A ، با ترکیب موارد بالا برای ایجاد ترکیبی از موارد فوق بصورت فشرده بیان می شود
$\begin{aligned}
\mathbf{P} &= m (\mathbf{v}_A - \mathbf{c} \times \mathbf{\omega}) \\
\mathbf{L}_A &=I\,\mathbf{\omega}-m \mathbf{c} \times \mathbf{c} \times \mathbf{\omega}+\mathbf{c} \times m \mathbf{v}_A \end{aligned}$و$\begin{aligned}
\sum \mathbf{F} & = m (\mathbf{a}_{A}-\mathbf{c} \times \dot{ \mathbf{\omega}} + \mathbf{\omega}\times \mathbf{\omega} \times \mathbf{c}) \\
\sum \mathbf{\tau}_A &= I \,\dot{\mathbf{\omega}} + \mathbf{\omega} \times I \mathbf{\omega} + \mathbf{c} \times \sum \mathbf{F}
\end{aligned}$
همانطور که مشاهده می کنید ، معادلات حرکت هنگام بیان بر روی مرکز جرم بسیار ساده تر هستند ، در مقابل هر نقطه دلخواه دیگری.
رابطه بین مرکز جرم و محور چرخش
دو ویژگی مرکز جرم با هم مرتبط هستند (در واقع نتیجه تعریف مرکز جرم است).
نیرویی (یا انگیزه ای) که از طریق مرکز جرم وارد می شود ، کاملاً جسم صلب رامنتقل می کند.
یک گشتاور خالص (یا کمبود نیرو) که بر روی بدنه وارد می شود ، بدن را در مرکز مرکز جرم می چرخاند.
همه چیز با حرکت آغاز می شود.
با جسم صلب به عنوان سیستمی از ذرات رفتار کنید که تمام فواصل بین آنها را حفظ می کند. تنها حرکات مجاز یا ترجمه خالص ، چرخش در مورد یک محور دلخواه یا ترکیبی از این دو است.
مکانی را در فضا (که من به عنوان C یادداشت می کنم) که می توان از سرعت خطی آن برای توصیف حرکت کلی خطی گروهی از ذرات استفاده کرد ، مرکز جرم نامیده می شود:
$\vec{p} = \sum_i m_i \vec{v}_i = \vec{v}_C\, (\sum_i m_i)$
علاوه بر این ، نیروی خالص وارد بر یک بدن (صرف نظر از نقطه کاربرد) برابر است با مشتق زمان حرکت
$\vec{F} = \sum_i \vec{F}_i = \frac{\rm d}{{\rm d}t} \vec{p} = \vec{a}_C\, (\sum_i m_i)$
چیزی که این به شما می گوید این است که نیروهای وارد بر بدن فقط حرکت مرکز جرم را توصیف می کنند. در نتیجه فقدان نیروی خالص ایجاب می کند که مرکز جرم یا حرکت نکند ، یا با سرعت ثابت حرکت کند$\sum_i \vec{F}_i =0 \Rightarrow \vec{a}_C =0$
و حرکت زاویه ای
به نظر می رسد که اگر تکانه زاویه ای کل سیستم ذرات در مورد مرکز جرم را محاسبه کنید ، نتایج به حرکت مرکز جرم بستگی ندارند ، بلکه فقط به بردار سرعت چرخش $\vec{\omega}$ جسم صلب بستگی دارند.
$\vec{L}_C = \sum_i (\vec{r}_i - \vec{r}_C) \times \vec{v}_i = \mathrm{I}_C\, \vec{\omega}$
علاوه بر این ، گشتاور کل اعمال شده بر روی یک جسم صلب برابر با سرعت تغییر حرکت زاویه ای در مرکز جرم است.$\vec{\tau}_C = \frac{\rm d}{{\rm d}t} \vec{L}_C = \mathrm{I}_C \vec{\alpha} + \vec{\omega} \times \vec{L}_C$
چیزی که این به شما می گوید این است که گشتاورهایی که روی یک جسم صلب عمل می کنند فقط حرکت چرخشی بدن را درباره مرکز جرم توصیف می کنند.
خلاصه
مرکز یک توده نقطه خاصی از بدن است که ارزیابی ماممت را از حرکت جدا می کند.
تکانه خطی جسم صلب برابر است با جرم چند برابر سرعت خطی مرکز جرم (صرف نظر از چرخش).$\vec{p} = m \vec{v}_C$
حرکت زاویه ای یک جسم صلب برابر است با گشتاور جرمی اینرسی (تنسور) برابر سرعت چرخش (صرف نظر از انتقال).$\vec{L}_C = \mathrm{I}_C \vec{\omega}$
نیروهای اینرسی و مرکز جرم
نیروهای اینرسی همیشه برای عبور از مرکز جرم تعریف می شوند. این از تعریف حرکت خطی ناشی می شود. برای یک حرکت سفت و سخت بدن ، مجموع هر توده و سرعت ذره است که بیان می کند:
$\vec{L} = m \vec{v}_{cm}$
تکانه خطی مجموع جرم ضرب شده در سرعت مرکز جرم است.
نیروهای خالص بر روی یک جسم برابر با سرعت تغییر حرکت خطی است.
$\sum \vec{F} = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \vec{L}$
از آنجا که جرم m مقدار مقیاسی است ، سمت راست برابر است
$\sum \vec{F} = m \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \vec{v}_{cm} = m a_{cm}$
نیروهای اینرسی ، برابر است با نیروهای خالص بر روی یک جسم
در نتیجه مجموع نیروهای وارد بر جسم صلب فقط بر حرکت مرکز جرم تأثیر می گذارد.می توان نشان داد که اگر نیروهایی که به ذرات وارد می شوند متناسب با توده های ذرات هستند ، در مورد نیرو و گشتاور ، نیروها معادل یک نیرو هستند که از CM عبور می کنند. مثالی که نیرو با جرم متناسب است ، گرانش است. بنابراین برای ذرات تحت نیروی جاذبه ، هر ذره توسط یک نیروی گرانش عمل می کند ، اما اثر خالص معادل یک نیروی منفرد بر CM است. نیروهای اینرسی مانند نیروهای گرانشی هستند که با توده ها نیز متناسب هستند. بنابراین این واقعیت نیز وجود دارد که تمام نیروهای اینرسی که روی همه ذرات وارد می شوند را می توان با یک نیرو که از CM عبور می کند جایگزین کرد.
اثبات: بگذارید نیرویی که بر ذره i- وارد می شود$\vec{f}_i=m_i\vec{a}$ باشد$\vec{F}_\text{net}=\sum_{i=1}^N \vec{f}_i=M\vec{a}$
جایی که$M=\sum_{i=1}^N m_i$
جرم کل ذرات N است.$\tau_\text{net}=\sum_{i=1}^N \vec{r}_i\times m_i\vec{a}=\left(\sum_{i=1}^N m_i\vec{r}_i\right)\times \vec{a}=M\vec{r}_\text{CM}\times \vec{a}=\vec{r}_\text{CM}\times M\vec{a}=\vec{r}_\text{CM}\times \vec{F}_\text{net}$