نیرو و گشتاور و اینرسی در مرکز جرم

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 494

سپاس: 248

جنسیت:

تماس:

نیرو و گشتاور و اینرسی در مرکز جرم

پست توسط rohamjpl »

در اینجا چند سوال وجود دارد که تقریباً یکسان هستند. اما هنوز شک داشتم که فهمیدم نیرویی که در هر نقطه از یک جسم صلب اعمال می شود همان شتاب را بر روی مرکز جرم ایجاد می کند. چطور ممکن است؟اگر من یک نیرو را به مرکز جرم وارد کنم ، آن فقط شتاب می گیرد اما اگر من یک نیرو را از مرکز جرم وارد کنم ، به صورت خطی شتاب می گیرد و می چرخد. از آنجا که چرخش می کند مقداری از نیرو به چرخش جسم وارد می شود بنابراین شتاب خطی نمی تواند یکسان باشد؟ اینطور نیست؟${\bf p} = \sum_i m_i {\bf v}_i = \left( \sum_i m_i \right) {\bf v}_C$
جایی که ${\bf m}_i$ جرم فردی است ، ${\bf v}_i$ سرعت فردی و ${\bf v}_c$ سرعت مرکز جرم است. با استفاده از مشتق موارد فوق رابطه بین نیروی F و مرکز شتاب جرم $\dot{{\bf v}}_C$ بدست می آید${\bf F} = \left( \sum_i m_i \right) \dot{{\bf v}}_C$
مرکز مکان جرم ${\bf r}_C$ توسط$\sum_i m_i {\bf r}_i = \left( \sum_i m_i \right) {\bf r}_C$
و با تمایز مستقیم موارد فوق ، به دست می آورید$\sum_i m_i {\bf v}_i = \left( \sum_i m_i \right) {\bf v}_C$
که در آن ${\bf v}_i = \dot{{\bf r}}_i$ و${\bf v}_C = \dot{{\bf r}}_C$
بنابراین چه اتفاقی می افتد که نیرویی دور از مرکز جرم اعمال شود؟
نقطه ای که نیرو وارد می شود حداقل به اندازه مرکز جرم شتاب می گیرد. به طور کلی ، به دلیل چرخش شتاب بیشتری خواهد گرفت. نیرو توده کاهش یافته ای را که رابطه ایجاد می کند احساس خواهد کرد
$m_{eff} = \left( \frac{1}{m} + \frac{c^2}{I} \right)^{-1}$
جایی که m جرم است ، I لحظه جرمی اینرسی در مورد محور چرخش است و c بازوی لحظه ای نیرو است که توسط مرکز جرم به نظر میرسد
چرا گشتاور در مورد مرکز جرم اندازه گیری می شود؟اکنون معمولاً گشتاور را در حدود لولا می گیریم تا نیروهای وارد شده به دلیل لولا در گشتاور ظاهر نشوند. در شایع ترین موارد ، مرکز جرم خود لولا است ، بنابراین ما گشتاور را در مورد مرکز جرم می گیریم.وقتی در مورد نورد صحبت می کنید ، دوباره گشتاور مرکز جرم را می گیرید ، اما در واقع نیازی به این کار نیست. می توانید هر نقطه را انتخاب کنید و گشتاور را بنویسید و پارامترهایی را درباره آن نقطه تعریف کنید. با این وجود مرکز جرم ، معمولاً راهی بسیار آسان و شهودی برای محاسبه پارامترهای فیزیکی به ما می دهد و به همین دلیل است که ما اغلب گشتاور مربوط به مرکز جرم را می نویسیم.چرخش بدن به نقطه ای که در آن لول می شود بستگی دارد. بنابراین اگر نیرویی در مرکز جرم (COM) وارد شود ، ممکن است باعث ایجاد چرخش در محور شود (اگر از طریق COM نباشد) که در آن با ایجاد یک گشتاور ، به آن متصل می شود.اما در صورتی که در هیچ نقطه ای با نیرویی که همچنان به COM وارد می شود وابسته نباشد ، چه می شود؟ یک گشتاور هنوز در مورد محورهای دیگری غیر از COM عمل می کند.
با مثال زدن از یک میله صلب ، جواب را ساده می کنم. نیرو باعث شتاب ترجمه می شود. و بگذارید بگوییم میله در یک محور دلخواه و نه از طریق COM می چرخد. بنابراین یک شتاب زاویه ای در مورد آن محور وجود دارد. اما این شتاب زاویه ای باید شتاب انتقال دیگری (از$\vec{a} = \vec{r} \times \vec{\alpha}$) اضافه کند که چیزی نیست که ما مشاهده می کنیم و از این رو میله در مورد محور دیگری نمی چرخد حتی اگر گشتاور در آن عمل کند.ارتباط بین گشتاور / گشتاور و مرکز ثقل؟مرکز جرم بسیار مهم است زیرا فقط گشتاور خالص مرکز جرم را می توان در معادلات چرخشی حرکت استفاده کرد ، همانطور که در معادلات خطی حرکت فقط شتاب مرکز جرم استفاده می شود. این به دلیل تعریف حرکت شیب زاویه ای و خطی است:
حرکت خطی جرم بر سرعت مرکز جرم است:$\mathbf{P}=m\, \mathbf{v}_{cm}$
حرکت زاویه ای در مورد مرکز جرم ، لحظه جرم زمان اینرسی سرعت زاویه ای است:$\mathbf{L}_{cm} = I\, \mathbf{\omega}$
مشتق زمان حرکت خطی نیروی خالص است$\sum \mathbf{F} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathbf{P} = m\,\mathbf{a}_{cm}$
ماكزیمم مشتق زمان حرکت زاویه ای گشتاور خالص در مورد مرکز جرم است
$\sum \mathbf{\tau}_{cm} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathbf{L}_{cm} =
I \,\dot{\mathbf{\omega}} + \mathbf{\omega} \times I \mathbf{\omega}$
سرعت و شتاب مرکز جرم با توجه به مکان متفاوت A با $\mathbf{c} = \{cm\}-\{A\}$
$\mathbf{v}_{cm} = \mathbf{v}_A - \mathbf{c} \times \mathbf{\omega}$
$\mathbf{a}_{cm} = \mathbf{a}_A - \mathbf{c} \times \dot{\mathbf{\omega}} + \mathbf{\omega}\times \mathbf{\omega} \times \mathbf{c}$
حرکت زاویه ای در مورد نقطه A است$\mathbf{L}_A = \mathbf{L}_{cm} + \mathbf{c} \times \mathbf{P}$
گشتاور خالص در مورد نقطه A است$\sum \mathbf{\tau}_A = \sum \mathbf{\tau}_{cm} + \mathbf{c} \times \sum \mathbf{F}$
برای بدست آوردن معادلات حرکت در مورد یک نقطه متفاوت A ، با ترکیب موارد بالا برای ایجاد ترکیبی از موارد فوق بصورت فشرده بیان می شود
$\begin{aligned}
\mathbf{P} &= m (\mathbf{v}_A - \mathbf{c} \times \mathbf{\omega}) \\
\mathbf{L}_A &=I\,\mathbf{\omega}-m \mathbf{c} \times \mathbf{c} \times \mathbf{\omega}+\mathbf{c} \times m \mathbf{v}_A \end{aligned}$و$\begin{aligned}
\sum \mathbf{F} & = m (\mathbf{a}_{A}-\mathbf{c} \times \dot{ \mathbf{\omega}} + \mathbf{\omega}\times \mathbf{\omega} \times \mathbf{c}) \\
\sum \mathbf{\tau}_A &= I \,\dot{\mathbf{\omega}} + \mathbf{\omega} \times I \mathbf{\omega} + \mathbf{c} \times \sum \mathbf{F}
\end{aligned}$
همانطور که مشاهده می کنید ، معادلات حرکت هنگام بیان بر روی مرکز جرم بسیار ساده تر هستند ، در مقابل هر نقطه دلخواه دیگری.
رابطه بین مرکز جرم و محور چرخش
دو ویژگی مرکز جرم با هم مرتبط هستند (در واقع نتیجه تعریف مرکز جرم است).
نیرویی (یا انگیزه ای) که از طریق مرکز جرم وارد می شود ، کاملاً جسم صلب رامنتقل می کند.
یک گشتاور خالص (یا کمبود نیرو) که بر روی بدنه وارد می شود ، بدن را در مرکز مرکز جرم می چرخاند.
همه چیز با حرکت آغاز می شود.
با جسم صلب به عنوان سیستمی از ذرات رفتار کنید که تمام فواصل بین آنها را حفظ می کند. تنها حرکات مجاز یا ترجمه خالص ، چرخش در مورد یک محور دلخواه یا ترکیبی از این دو است.
مکانی را در فضا (که من به عنوان C یادداشت می کنم) که می توان از سرعت خطی آن برای توصیف حرکت کلی خطی گروهی از ذرات استفاده کرد ، مرکز جرم نامیده می شود:
$\vec{p} = \sum_i m_i \vec{v}_i = \vec{v}_C\, (\sum_i m_i)$
علاوه بر این ، نیروی خالص وارد بر یک بدن (صرف نظر از نقطه کاربرد) برابر است با مشتق زمان حرکت
$\vec{F} = \sum_i \vec{F}_i = \frac{\rm d}{{\rm d}t} \vec{p} = \vec{a}_C\, (\sum_i m_i)$
چیزی که این به شما می گوید این است که نیروهای وارد بر بدن فقط حرکت مرکز جرم را توصیف می کنند. در نتیجه فقدان نیروی خالص ایجاب می کند که مرکز جرم یا حرکت نکند ، یا با سرعت ثابت حرکت کند$\sum_i \vec{F}_i =0 \Rightarrow \vec{a}_C =0$
و حرکت زاویه ای
به نظر می رسد که اگر تکانه زاویه ای کل سیستم ذرات در مورد مرکز جرم را محاسبه کنید ، نتایج به حرکت مرکز جرم بستگی ندارند ، بلکه فقط به بردار سرعت چرخش $\vec{\omega}$ جسم صلب بستگی دارند.
$\vec{L}_C = \sum_i (\vec{r}_i - \vec{r}_C) \times \vec{v}_i = \mathrm{I}_C\, \vec{\omega}$
علاوه بر این ، گشتاور کل اعمال شده بر روی یک جسم صلب برابر با سرعت تغییر حرکت زاویه ای در مرکز جرم است.$\vec{\tau}_C = \frac{\rm d}{{\rm d}t} \vec{L}_C = \mathrm{I}_C \vec{\alpha} + \vec{\omega} \times \vec{L}_C$
چیزی که این به شما می گوید این است که گشتاورهایی که روی یک جسم صلب عمل می کنند فقط حرکت چرخشی بدن را درباره مرکز جرم توصیف می کنند.
خلاصه
مرکز یک توده نقطه خاصی از بدن است که ارزیابی ماممت را از حرکت جدا می کند.
تکانه خطی جسم صلب برابر است با جرم چند برابر سرعت خطی مرکز جرم (صرف نظر از چرخش).$\vec{p} = m \vec{v}_C$
حرکت زاویه ای یک جسم صلب برابر است با گشتاور جرمی اینرسی (تنسور) برابر سرعت چرخش (صرف نظر از انتقال).$\vec{L}_C = \mathrm{I}_C \vec{\omega}$
نیروهای اینرسی و مرکز جرم
نیروهای اینرسی همیشه برای عبور از مرکز جرم تعریف می شوند. این از تعریف حرکت خطی ناشی می شود. برای یک حرکت سفت و سخت بدن ، مجموع هر توده و سرعت ذره است که بیان می کند:
$\vec{L} = m \vec{v}_{cm}$
تکانه خطی مجموع جرم ضرب شده در سرعت مرکز جرم است.
نیروهای خالص بر روی یک جسم برابر با سرعت تغییر حرکت خطی است.
$\sum \vec{F} = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \vec{L}$
از آنجا که جرم m مقدار مقیاسی است ، سمت راست برابر است
$\sum \vec{F} = m \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \vec{v}_{cm} = m a_{cm}$
نیروهای اینرسی ، برابر است با نیروهای خالص بر روی یک جسم
در نتیجه مجموع نیروهای وارد بر جسم صلب فقط بر حرکت مرکز جرم تأثیر می گذارد.می توان نشان داد که اگر نیروهایی که به ذرات وارد می شوند متناسب با توده های ذرات هستند ، در مورد نیرو و گشتاور ، نیروها معادل یک نیرو هستند که از CM عبور می کنند. مثالی که نیرو با جرم متناسب است ، گرانش است. بنابراین برای ذرات تحت نیروی جاذبه ، هر ذره توسط یک نیروی گرانش عمل می کند ، اما اثر خالص معادل یک نیروی منفرد بر CM است. نیروهای اینرسی مانند نیروهای گرانشی هستند که با توده ها نیز متناسب هستند. بنابراین این واقعیت نیز وجود دارد که تمام نیروهای اینرسی که روی همه ذرات وارد می شوند را می توان با یک نیرو که از CM عبور می کند جایگزین کرد.
اثبات: بگذارید نیرویی که بر ذره i- وارد می شود$\vec{f}_i=m_i\vec{a}$ باشد$\vec{F}_\text{net}=\sum_{i=1}^N \vec{f}_i=M\vec{a}$
جایی که$M=\sum_{i=1}^N m_i$
جرم کل ذرات N است.$\tau_\text{net}=\sum_{i=1}^N \vec{r}_i\times m_i\vec{a}=\left(\sum_{i=1}^N m_i\vec{r}_i\right)\times \vec{a}=M\vec{r}_\text{CM}\times \vec{a}=\vec{r}_\text{CM}\times M\vec{a}=\vec{r}_\text{CM}\times \vec{F}_\text{net}$
تصویر

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 494

سپاس: 248

جنسیت:

تماس:

Re: نیرو و گشتاور و اینرسی در مرکز جرم

پست توسط rohamjpl »

نیروهای اینرسی و مرکز جرم آیا نیروی اینرسی همیشه به مرکز جرم جسم متصل است؟ چرا؟ چه قوانینی باعث این اتفاق می شود؟نیرویی که$m\frac{v^2}{r}$ به سمت راست نشان می دهد ، نیروی گریز از مرکز است (نیروی اینرسی - زیرا این یک قاب مرجع دوار است ، بنابراین یک قاب مرجع غیر اینرسی). به مرکز ثقل دوچرخه متصل است.من فکر می کنم که نیروی اینرسیایی به مرکز جرم متصل است به این دلیل که باید به راحتی از ایجاد گشتاور روی جسم جلوگیری کند.باید بله ، نیروهای اینرسی همیشه برای عبور از مرکز جرم تعریف می شوند. این از تعریف حرکت خطی ناشی می شود. برای یک حرکت سفت و سخت جسم ، مجموع هر توده و سرعت ذره است که بیان می کند:$\vec{L} = m \vec{v}_{cm}$ تکانه خطی مجموع جرم ضرب شده در سرعت مرکز جرم است.نیروهای خالص بر روی یک بدن برابر با سرعت تغییر حرکت خطی است.$\sum \vec{F} = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \vec{L}$ از آنجا که جرم m مقدار مقیاسی است ، سمت راست برابر است$\sum \vec{F} = m \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \vec{v}_{cm} = m a_{cm}$ نیروهای اینرسی ، برابر است با نیروهای خالص بر روی یک جسم در نتیجه مجموع نیروهای وارد بر بدن صلب فقط بر حرکت مرکز جرم تأثیر می گذارد.
چه زمانی گشتاور برابر با ممان اینرسی برابر شتاب زاویه ای است؟به طور خاص ، به عنوان مثال ، اگر یک دیسک در حال چرخش است و با کمک اصطکاک در یک سطح افقی منتقل می شود. اگر من یک ناظر اینرسی هستم و محور چرخش خود را به عنوان محور عبور از مرکز جرم انتخاب می کنم ، یعنی آیا تسریع می شود ، آیا برابری$\vec{\tau} = I_{cm}*\vec{\alpha}$ هنوز برقرار است؟تکانه خطی محصول جرم و سرعت مرکز جرم است. از آنجا که جرم مقیاس است ، حرکت و سرعت خطی با هم خطی هستند$\mathbf{p} = m \mathbf{v}_{cm}$
تکانه زاویه ای درباره مرکز جرم محصول اینرسی و سرعت چرخش است. اینرسی یک تنسور 3 × 3 (6 جز independent است و از این رو تکانه زاویه ای با سرعت چرخش هم خط نیست
$\mathbf{L}_{cm} = \mathtt{I}_{cm} \,\boldsymbol{\omega}$ کل نیروی وارد بر یک بدن برابر با سرعت تغییر حرکت خطی است$\mathbf{F} = \frac{{\rm d} \mathbf{p}}{{\rm d}t} = m\,\frac{{\rm d} \mathbf{v}_{cm}}{{\rm d}t} = m \, \mathbf{a}_{cm}$ گشتاور کل در مورد مرکز جرم برابر با سرعت تغییر حرکت زاویه ای است
$\boldsymbol{\tau}_{cm} = \frac{{\rm d} \mathbf{L}_{cm}}{{\rm d}t} = \mathtt{I}_{cm} \, \frac{{\rm d}\boldsymbol{\omega}}{{\rm d}t} + \frac{{\rm d} \mathtt{I}_{cm}}{{\rm d}t} \boldsymbol{\omega} = \mathtt{I}_{cm} \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\omega} \times \mathtt{I}_{cm} \boldsymbol{\omega}$
از آنجا که تکانه با سرعت چرخشی هم خط نیست ، اجزای تانسور اینرسی با گذشت زمان تغییر می کنند همانطور که در یک قاب اینرسی مشاهده می شود و از این رو قسمت دوم معادله بالا تغییر جهت حرکت زاویه ای را توصیف می کند.در حالت شما جهت چرخش ثابت است (طبیعی صفحه) و بنابراین حرکت زاویه ای ثابت می شود و معادله فوق را ایجاد می کند (هنوز به شکل برداری است)$\boldsymbol{\tau}_{cm} = \mathtt{I}_{cm} \boldsymbol{\alpha}$
علاوه بر این ، فقط اجزای خارج از صفحه شتاب زاویه ای و گشتاور در نظر گرفته می شوند ، بنابراین معادله فوق به یک معادله اسکالر کاهش می یابد$\tau_{cm} = I_{cm} \alpha$
حرکت مرکز جرم هنوز با $\mathbf{F} = m\,\mathbf{a}_{cm}$یا به صورت اسکالر توصیف می شود
این دو حرکت (خطی و زاویه ای) برای یک جسم آزاد از یکدیگر مستقل هستند.
مرکز جرم حرکت زاویه ای ، گشتاور و شباهت بین مقادیر خطی و زاویه ای
حرکت خطی سیستم ذرات توسط $\vec p_{\rm net}=\vec p_1+\vec p_2+\vec p_3+ \ldots + \vec p_n$
جایی که $\vec p_{\rm net}$ حرکت کلی خطی سیستم است و بیان آن روی RHS مجموع بردار لحظه خطی ذرات منفرد است
ما همچنین می توانیم حرکت خطی سیستم ذرات را به صورت $\vec p_{\rm net}=m~\vec v_c$ بنویسیم که در آن m جرم کل سیستم است و $\vec v_c$ سرعت مرکز جرم است.
درست مثل اینکه می گوییم "حرکت خطی یک سیستم از ذرات برابر است با حاصلضرب کل جرم سیستم و سرعت مرکز جرم" ، آیا می توانیم بگوییم$\vec L=m (\vec r_c ×\vec v_c)$ که L آیا حرکت کلی زاویه ای سیستم ذرات است ، m جرم کل سیستم ذرات است $\vec r_c$ بردار موقعیت مرکز جرم با توجه به مبدا و $\vec v_c$ بردار سرعت مرکز جرم است؟
آیا می توانیم $\vec T_{\rm net} = \vec r_c \times \vec F_{\rm net}$ (گشتاور خالص = بردار موقعیت مرکز جرم ضرب بردار نیروی خالص که بر روی سیستم ذرات تأثیر می گذارد) بگوییم به همان صورتی که برای نیرو $\vec F_{\rm net}=m~\vec a_c$ می گوییم؟ معادله p⃗ = mv⃗ به شما می گوید که حرکت خطی یک سیستم به جرم و سرعت آن بستگی دارد و نه چیز دیگری.
برای اجسام چرخان ، این مورد نیست. علاوه بر جرم جسم چرخان ، توزیع جرم در مورد مرکز چرخش نیز مهم است. این جرم ترکیبی و کمیت توزیع آن با گشتاور جرم اینرسی نشان داده می شود. بنابراین شما معادله $\vec{p} = m \vec{v}$ را دریافت می کنید ، جایی که من لحظه اینرسی هستم ، و در معادلات چرخشی ، مشابه آنچه در معادلات خطی خواهد بود ، است. به همین دلیل است که گاهی اوقات آن را جرم زاویه ای نیز می نامند.نشان دادن این مسئله احتمالاً با قانون دوم نیوتن راحت تر است: $\vec L = I~\vec{{\omega}}$ جایی که I ممان اینرسی هست ، و در معادلات چرخشی ، مشابه آنچه در معادلات خطی خواهد بود ، است. به همین دلیل است که گاهی اوقات آن را جرم زاویه ای نیز می نامند.نشان دادن این مسئله احتمالاً با قانون دوم نیوتن راحت تر است: $\vec F = m ~ \vec a$ به شما می گوید هرچه جسم عظیم تر باشد ، نیروی بیشتری برای تولید شتاب یکسان بیشتر است. در دنیای چرخشی ، این$\vec T = I ~ \vec{{\alpha}}$خواهد بود ، جایی که$\alpha = \dot \omega$˙ شتاب زاویه ای است ، مشتق شده از سرعت زاویه ای ست
آیا اجسام به دور بردار گشتاور یا مرکز آن می چرخند؟اگر یک کره دارای یک بردار گشتاور در نقطه A از آن خارج شود ، کره می تواند در اطراف مرکز خود یا محور بردار گشتاور بچرخد؟
اگر جسمی فقط به دلیل تأثیر گشتاور حرکت کند ، آنگاه در اطراف مرکز جرم می چرخد.
مکانی برای گشتاورها وجود ندارد ، فقط جهت هاست. شما در معادلات حرکت خواهید دید که مکان گشتاور وارد معادلات نمی شود. فقط محل استقرار نیروها.
در نتیجه شتاب مرکز جرم صفر است و فقط سرعت زاویه ای وجود خواهد داشت. جسم در اطراف مرکز جرم خود خواهد چرخید.
توجه داشته باشید که این دو عبارت معادل هستند:
یک نیروی خالص از طریق مرکز جرم (بدون گشتاور خالص در مورد مرکز جرم) کاملا یک جسم صلب (هر نقطه ازجسم) را منتقل می کند.
گشتاور خالص هر نقطه از بدن (بدون نیروی خالص) کاملاً یک جسم صلب را درمورد مرکز جرم خود می چرخاند.
یک جسم سفت و محکم را در نظر بگیرید که گشتاور لحظه ای خالص$\vec{\tau}$ روی آن اعمال شده است. حرکت هر نقطه A روی مرکز جرم نیست $0 = m \vec{a}_A - m \vec{c}\times \vec{\alpha}
\\ \vec{\tau} = I_c \vec{\alpha} - m \vec{c} \times \vec{c} \times \vec{\alpha} + m \vec{c} \times \vec{a}_A$
جایی که $\vec{c}$ بردار موقعیت مرکز ثقل نسبت به نقطه A است. راه حل در بالا است یعنی $\vec{a}_A = \vec{c} \times \vec{\alpha}
\\ \vec{\tau} = I_c \vec{\alpha}- m \vec{c} \times \vec{c} \times \vec{\alpha}+ m \vec{c}
\times \vec{c} \times \vec{\alpha} = I_c \vec{\alpha}$و $\vec{\alpha} = I_c^{-1} \vec{\tau} \\ \vec{a}_A = \vec{c} \times I_c^{-1} \vec{\tau}$
از مطالب بالا بدیهی است که تنها نقطه A که در حال حرکت نیست در $\vec{c}=0$ و تمام نقاط موازی با $\vec{\alpha}$ از طریق مرکز جرم است.
تصویر

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 494

سپاس: 248

جنسیت:

تماس:

Re: نیرو و گشتاور و اینرسی در مرکز جرم

پست توسط rohamjpl »

آیا لحظه اینرسی می تواند منفی باشد؟
س: از لحظه اینرسی یک دیسک دایره ای یکنواخت با شعاع r و جرم M مطلع شوید و محور از نقطه ای بر روی محیط عبور می کند.
تلاش من: اجازه دهید محور از O بر روی محیط عبور کند. سپس از محور و عرض dx یک حلقه در واحد x گرفتم. در حال حاضر ، مساحت دیسک است$dA =2\pi(r - x).dx$و چون دانسیته ان یکنواخت هست$D = \dfrac{M}{\pi .r^2} .$بنابراین ، جرم حلقه$dM = \dfrac{2M(r - x)dx}{r^2}$ . اکنون ، ممان اینرسی . محور$dI = \dfrac{2M(r - x)x^2 .dx}{r^2}$. بنابراین ،ممان اینرسی دیسک$\int_0^{2r} dI = \int_0^{2r} \dfrac{2M(r - x)x^2 .dx}{r^2} \implies I = \dfrac{2M}{r^2} [ \int_0^{2r} (r - x)x^2 .dx \implies I = \dfrac{2M}{r^2} [ r\int_0^{2r} x^2 .dx - \int_0^{2r} x^3 .dx] \implies I = \dfrac{2M}{r^2} [\frac{8r^4}{3} - 4r^4] \implies I = - \dfrac{8Mr^2}{3}.$
اینرسی ، به عبارت ساده ، خاصیتی است که همه مواد برای مقاومت در برابر شتاب (تغییر در حالت حرکت آن) دارند. این قانون توسط قانون اول نیوتن کدگذاری شده است که گاهی قانون اینرسی نیز نامیده می شود. با جرم مشابه است. هرچه جرم یک جسم بیشتر باشد ، اینرسی آن بیشتر است و سرعت آن دشوارتر است.
مکانیک نیوتنی از مدل ذرات نقطه ای به مقدار کافی استفاده می کند ، که بیان می کند یک سیستم می تواند به گونه ای رفتار شود که گویی تمام جرم آن در یک نقطه واحد متمرکز شده است. این باعث می شود تجزیه و تحلیل حرکت بسیار سرراست باشد.
با این حال ، نمی توان با همه اشیا به عنوان ذرات نقطه ای برای همه شرایط رفتار کرد. به طور خاص وقتی نوبت به چرخش می رسد ، بیشتر اشیا اجسام صلب هستند. نقطه (های) روی جسمی که در آن فاکتور نیرو را برای چگونگی چرخش در محور خود اعمال می کنید. به عنوان مثال ، اگر بخواهید در را با کشیدن به بیرون به موازات لولا باز کنید ،. شکل و توزیع ماده نیز ... خوب ، ماده.
بنابراین فیزیکدانان ممان اینرسی را کشف کردند که در واقع باید آن را اینرسی چرخشی نامید. این یک مقاومت شی در برابر شتاب زاویه ای است (تغییر در سرعت زاویه ای آن). هنوز هم از همان ویژگی اینرسی خطی منظم ، جایی که جرم بیشتر منجر به مقاومت بیشتر می شود ، پیروی می کند. با این حال ، توزیع ماده در اطراف محور نیز بر مقاومت تأثیر می گذارد. پدر دور از محور موضوع ، اینرسی چرخشی بیشتر است.$I=∑mr2$
اینرسی چرخشی یک جسم را با جمع کردن هر جرم نقطه ای درون آن ، ضرب جرم در مربع فاصله از محور ، می یابید. برای یک ذره نقطه واقعی ، این فقط I است. برای اجسام توسعه یافته ، یک "ثابت شکل" به نام k وجود دارد که بسته به توزیع ماده ناشی از شکل متفاوت است. این مستلزم - اغلب بسیار پیچیده - ادغام است.
حرکت زاویه ای در مقابل لحظه سکون
حرکت زاویه ای "لحظه حرکت" است ، به این معنی که به ما ایده می دهد که بردار حرکت حرکت خطی در چه فاصله ای اعمال می شود. گشتاورها بازوی لحظه ای نیرو را درگیر می کنند و تکانه زاویه ای بازوی لحظه ای حرکت را درگیر می کنند.مکانیک ذرات
یک ذره را در حال حرکت در یک خط مستقیم (در صورت عدم وجود نیروهای خارجی) بردارید. دارای جرم $m_i$ است ، در بردار $\boldsymbol{r}_i$ با بردار سرعت $\boldsymbol{v}_i$ واقع شده است. این ما را برای تعاریف زیر آماده می کند
حرکت خطی ذره ،
$\boldsymbol{p}_i = m_i \boldsymbol{v}_i$
حرکت زاویه ای در مورد منشا ،
$\boldsymbol{L}_i = \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{p}_i$
موارد فوق برای بازیابی موقعیت خط مسیر ، حداقل نقطه در مسیر نزدیکترین ذره به مبدا کافی است.

$\boldsymbol{r}_{\rm path} = \frac{ \boldsymbol{p}_i \times \boldsymbol{L}_i }{ \| \boldsymbol{p}_i \|^2}$

اگر نشان دهید $\boldsymbol{L}_i = \boldsymbol{r}_{\rm path} \times \boldsymbol{p}$ ، که با هویت محصول سه گانه بردار $\boldsymbol a\times( \boldsymbol b \times \boldsymbol c) = \boldsymbol b (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol c) - \boldsymbol c ( \boldsymbol a \cdot \boldsymbol b)$) انجام می دهید ، به راحتی می توانید این را ثابت کنید.
بنابراین به طور خلاصه ، حرکت زاویه ای فاصله (عمود بر) که در آن حرکت خطی عمل می کند را توصیف می کند. حفظ قانون حرکت زاویه ای به این معنی است که نه تنها حرکت خطی به عنوان یک بردار حفظ می شود ، بلکه همچنین مکان این بردار (یا خط در فضایی که بردار از طریق آن عمل می کند) حفظ می شود.
مکانیک جسم صلب
هنگامی که موارد فوق را به چندین ذره جمع شده به عنوان یک بدن صلب گسترش می دهید ، مفهوم لحظه اینرسی پدید می آید. اولاً ، قضیه چارلز بیان کرد که برای تمام مسافت هایی که باید حفظ شود ، هر ذره فقط می تواند با ترکیبی از ترجمه و چرخش (با بردار ω) در مورد یک محور مشترک حرکت کند. معمولاً از مرکز جرم به عنوان نقطه مرجع استفاده می شود و بنابراین حرکت هر ذره در بدن به $\boldsymbol{v}_i = \boldsymbol{v}_{\rm com} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}_i$محدود می شود.
معمولاً حرکت به ترجمه مرکز جرم و چرخش در مورد مرکز جرم تجزیه می شود. این روابط زیر را ایجاد می کند
حرکت بدنه صلب ،
$\boldsymbol{p} = \sum \limits_i m_i \boldsymbol{v}_i = m \boldsymbol{v}_{\rm com}$
حرکت زاویه ای در مورد مرکز جرم ،
Lcom = ∑iri × mivi = ∑imiri × (ω × ri)
ممان توده اینرسی
به منظور درک بهتر حرکت زاویه ای یک بدن صلب که در اطراف مرکز جرم در حال چرخش است ، معمولاً جدا کردن قطعات هندسه از قسمتهای حرکت معمول است
$\boldsymbol{L}_{\rm com} = \sum \limits_i \boldsymbol{r}_i \times m_i \boldsymbol{v}_i = \sum \limits_i m_i \boldsymbol{r}_i \times ( \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}_i )$جایی که
$\boldsymbol{L}_{\rm com} = \underbrace{ \mathrm{I}_{\rm com} }_{\text{geometry}} \;\;\underbrace{ \boldsymbol{\omega}}_{\text{motion}}$و$\mathrm{I}_{\rm com} = \sum_i (-m_i [\boldsymbol{r}_i \times][\boldsymbol{r}_i \times]) = \sum_i m_i \left| \matrix{ y^2+z^2 & - x y & - x z \\ - x y & x^2+z^2 & -y z \\ -x z & -y z & x^2+y^2} \right|$
این لحظه جرمی تانسور اینرسی است. این معادل چرخشی معادل جرم است ، زیرا$\boldsymbol{p} = m \boldsymbol{v}_{\rm com}$ و $\boldsymbol{L}_{\rm com} = \mathrm{I}_{\rm com} \boldsymbol{\omega}$ شکلی مشابه دارند.
بنابراین ، لحظه جرم اینرسی بیان می کند که جرم توزیع شده در فاصله چقدر از محور چرخش فاصله دارد. این اطلاعات هندسه حرکت زاویه ای را انتقال می دهد. بنابراین اگر یک لحظه جرم شناخته شده اینرسی در مورد محور I با $I = m r ^2$ توصیف شود ، به این معنی است که هندسه مسئله شبیه حلقه جرمی با شعاع r است.
تصویر

ارسال پست