گاز ایده آل: آیا پیستون اصلاً حرکت می کند؟

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 641

سپاس: 395

جنسیت:

تماس:

گاز ایده آل: آیا پیستون اصلاً حرکت می کند؟

پست توسط rohamjpl »

قبل از شروع آزمایش:تصویر
$p_1=p_2; \space V_1=V_2; T_1=T_2+\Delta T$
آزمایش شروع می شود و هر دو ظرف گرم می شوند تا اختلاف دما ΔT ثابت بماند ( من می خواستم به این معنی باشد که تغییر شکل ، انبساط یا انقباض ظروف وجود ندارد. پیستون هنوز مجاز به حرکت است). حجم مخازن نیز ثابت می مانند. پیستون به سمت چپ یا راست حرکت می کند؟
از آنجا که پیستون قبل از گرم شدن ظروف حرکت نکرده است ، پس از گرم شدن ظروف پیستون حرکت نخواهد کرد زیرا دما در هر دو ظرف به همان میزان افزایش می یابد.
اعمال قانون ایده آل گاز$pV=Nk_bT$
و با توجه به این واقعیت که قبل از شروع آزمایش ، هر دو ظرف دارای همان حجم (V1 = V2) و فشار (p1 = p2) بودند اما دمای مختلف داشتند ، نتیجه می شود که باید ذرات / مولکولهای بیشتری در ظرف 2 تا " جبران "درجه حرارت بالاتر در اولین. گرم شدن هر دو ظرف به یک میزان (افزایش دما برابر) به معنای تأمین انرژی بیشتر به ظرف 2 است که باعث حرکت پیستون به سمت چپ می شود.
اگر با هر یک از این فرضیه ها در مسیر درست حرکت کنیم ،
بگذارید $T_{20}$ دمای اولیه مخزن 2 و $T_{10}=T_{20}+\Delta T$ دمای اولیه مخزن 1 باشد. بگذارید δT همان افزایش دمای هر دومخزن باشد. با فرض حرکت نکردن پیستون ، ما چنین خواهیم کرد
$p_{2f}=p_2\frac{T_{20}+\delta T}{T_{20}}$و$p_{1f}=p_1\frac{T_{20}+\Delta T+\delta T}{T_{20}+\Delta T}$ از آنجا که p1 = p2 ، اگر یک معادله را بر دیگری تقسیم کنیم ، بدست می آوریم:$\frac{p_{2f}}{p_{1f}}=\frac{(T_{20}+\delta T)(T_{20}+\Delta T)}{T_{20}(T_{20}+\Delta T+\delta T)}=1+\frac{(\Delta T)( \delta T)}{T_{20}^2+T_{20}(\Delta T+\delta T)}$
بنابراین ، اگر پیستون حرکت نکند ، فشار نهایی در محفظه 2 بیشتر از محفظه 1 خواهد بود. پیستون باید در جهت از محفظه 2 به محفظه 1 حرکت کند.فرض کنید ، پیستون حرکت نمی کند (ما آن را درست می کنیم). بنابراین V در هر دو طرف تغییر نکرد. به طور واضح ، n در هر دو طرف تغییر نکرد. بنابراین ، p متناسب با T است (در هر طرف جداگانه!).
بنابراین اگر T با همان عامل افزایش یابد ، فشارها نیز برابر خواهند ماند. اگر T به همان مقدار افزایش یابد ، فشار تغییر می کند. در بحث اول اشتباه است.
اگر فشار برابر نماند ، پیستون پس از آزاد شدن حرکت می کند.
مقدار دما در اینجا مهم نیست ، نسبت مهم است.
وابستگی خطی p (T) در هر دو طرف وجود دارد. شیب این تابع خطی متفاوت است ، اما جبران صفر است. بنابراین همین نسبت در T همان نسبت را در p خواهد داد. ... خوب اگر برعکس شیب برابر باشد و جبران متفاوت باشد ، از همان تفاوت همان اختلاف را ایجاد می کند. - همچنین می توانید استدلال را با فشار برابر به هر دو طرف انجام دهید ، همانطور که پاسخ های دیگر می دهند. از نظر ریاضی یکسان است ، زیرا p و V در قانون گاز ایده آل متقارن هستند. اما من این را بصری تر از این پیدا کردم ، احتمالاً به این دلیل که در عکس شما پیستون اگر خیلی حرکت کند ، لوله را در وسط می گذارد
در همه حال ، p1 = p2 باید نگه داشته شود ، در غیر این صورت ، پیستون حرکت می کند تا فشارها را یکسان کند. بنابراین،$\begin{eqnarray}
p_1 =& p_2 \\
\frac{N_1 k_b T_1}{V_1} =& \frac{N_2 k_b T_2}{V_2} \\
\frac{V_2}{V_1} =& \frac{N_2}{N_1} \frac{T_2}{T_1}
\end{eqnarray}$ از آنجا که هیچ گازی اضافه یا خارج نمی شود ، $\dfrac{N_2}{N_1}$ثابت می ماند ، بنابراین$\frac{V_2}{V_1} \propto \frac{T_2}{T_2 + \Delta T}$ اگر هر دو طرف در ابتدا در یک دما بودند (ΔT = 0) ، مطمئناً پیستون حرکت نخواهد کرد زیرا همان افزایش دما را برای هر دو طرف اعمال می کنید.
اگر سمت چپ در ابتدا گرمتر بود (ΔT> 0) ، با افزایش دما V1 کاهش می یابد و پیستون به سمت چپ حرکت می کند.
اگر سمت راست در ابتدا گرمتر بود (ΔT <0) ، با افزایش دما V1 افزایش می یابد و پیستون به سمت راست حرکت می کند.اینکه هر طرف چقدر فشار می دهد بر اساس تعداد ذرات ضرب شده در حرکت هر ضربه ذره (دما) است.با فرض اینکه ΔT> 0 ، این بدان معناست که پیستون در ابتدا در تعادل است ، زیرا ذرات کمتری در سمت چپ هر کدام سخت تر برخورد می کنند. از آنجا که هر دو طرف تحت یک افزایش دما قرار دارند ، ثابت ΔT کمتر و کمتر قابل توجه می شود ، بنابراین سمت چپ به سمت راست از دست می رود.
پیستون در صورت $P_2\gt P_1$به چپ و اگر $P_2\lt P_1$ به راست حرکت می کند.
$P_1V_1=m_1RT_1$
$P_2V_2=m_2RT_2$
با $P_1=P_2$ و$V_1=V_2$ و$T_2=T_1-ΔT $ پس ما داریم ،$\frac{m_2}{m_1}=\frac{T_1}{T1-ΔT}$ هنگامی که درجه حرارت در هر دو طرف توسط δT افزایش می یابد$P′_1V′_1=m_1RT′_1$ و$P′_2V′_2=m_2RT′_2$ با $V'_1=V'_2$ و $T_2+\delta T=T_1+\delta T-ΔT$ نسبت فشار $\frac{P'_1}{P'_2}=\frac{m_1}{m_2}\times \frac{T'_1}{T'_2}=\frac{T1-ΔT}{T_1}\times \frac{T'_1}{T'_2}$ و$\frac{P'_1}{P'_2}=\frac{T1-ΔT}{T_1}\times \frac{T_1+\delta T}{T_1+\delta T-ΔT}$و$\frac{P'_1}{P'_2}=(1-\frac{ΔT}{T_1})\times \frac{1}{1-\frac{ΔT}{T_1+\delta T}}$
بنابراین ، اگر یک δT افزایش یابد ، نسبت $\frac{P'_1}{P'_2}$ کاهش می یابد و پیستون تمایل به حرکت به سمت چپ دارد.
من در واقع برخی از عملیات جبر را انجام دادم و با استفاده از معادلات ارائه شده ، توانستم نشان دهم که فشار از 1 کمتر از 2 است. حجم ثابت نگه داشته شده در اینجا مهم است. فقط توجه داشته باشید که من در اینجا صرفاً از جبر استفاده می کنم ، بنابراین لطفاً کارهای خود را بررسی کنید و ببینید آیا برای شما منطقی است.
به خاطر علامت گذاری ، من هر چیزی را با b مثل قبل از گرم شدن لوله ، و a را با هر چیزی بعد از گرم شدن لوله ، تنظیم کرده ام $\frac{P_{b1}V_{b1}}{T_{b1}}=N_1k, \frac{P_{b2}V_{b2}}{T_{b2}}=N_2k$و$P_{b1},P_{b2}$و${P_{b1}=\frac{N_1kT_{b1}}{V_{b1}}}, {P_{b2}=\frac{N_2kT_{b2}}{V_{b2}}}$اینجا$T_{b1}=T_{b2}+ΔT$ و ${P_{b1}=\frac{N_1kT_{b1}}{V_{b1}}}, {P_{b2}=\frac{N_2k(T_{b1}-ΔT)}{V_{b2}}}$
و ما می دانیم که هر دو فشار در حال حاضر یکسان هستند ، ما فشارها را برابر می کنیم و به ما نتیجه می دهیم:$ΔT = \frac{(N_2-N_1)T_{b1}}{N_2}$
اکنون پس از گرم شدن ، به eqns نگاه کنید. و دوباره با طی همان روند ، متوجه می شویم که$\frac{P_{a1}V_{a1}}{T_{a1}}=N_1k, \frac{P_{a2}V_{a2}}{T_{a2}}=N_2k$ بگذارید فرض کنیم که افزایش دما یکسان است ΔT(تفاوت بین Tb1 و Tb2).تنظیم مجدد معادلات برای فشار ،${P_{a1}=\frac{N_1kT_{a1}}{V_{a1}}}, {P_{a2}=\frac{N_2kT_{a2}}{V_{a2}}}$
می توانیم آنها را به صورت زیر بازنویسی کنیم:${P_{a1}=\frac{N_1k(T_{b1}+ΔT)}{V_{a1}}}, {P_{a2}=\frac{N_2k(T_{b2}+ΔT)}{V_{a2}}}$ از آنجا که فرض می کنیم حجم همانطور که در سوال ذکر شده ثابت است ،${P_{a1}=\frac{N_1k(T_{b1}+ΔT)}{V}}, {P_{a2}=\frac{N_2k(T_{b1})}{V}}$ جایگزین ΔT: دارم ${P_{a1}=\frac{(2-\frac{N_1}{N_2})(N_1)kT_{b1}}{V}}, {P_{a2}=\frac{(N_2)kT_{b1}}{V}}$و همچنین ${\frac{P_{a1}}{P_{a2}}=(2-\frac{N_1}{N_2})(\frac{N_1}{N_2})}$ جبر تصحیح شده ، Pa1 باید کمتر از Pa2 باشد ، و باید به سمت چپ حرکت کند. مشاهده خواهید کرد که این عبارت همیشه به مقداری کمتر از 1 تمایل دارد به شرطی که N1 کمتر از N2 باشد ، و این همان چیزی است که در بالا اصلی ذکر شده است.
تصویر

ارسال پست