دینامیک موشک

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami

محل اقامت: Tehran, Qeytariyeh

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 843

سپاس: 504

جنسیت:

تماس:

دینامیک موشک

پست توسط rohamjpl »

هدف بدست آوردن ساده ترین توصیف ریاضی است در حال حل تمرین مکانیکی کلاسیک این پیشرانه موشکی بود: M جرم آنی است و سرعت آن بسیار زیاد است. گازهای خروجی نسبت به سرعت موشک با سرعت خارج می شوند (وزن و اصطکاک نیروهای موشکی را اعمال می کنند ، اما فعلاً مهم نیست). بنابراین با در نظر گرفتن $\frac{d\vec{p}}{dt} = \sum{}\vec{F}_{ext} $ ، من دنبال آن رفتم$d\vec{p} = M(t+dt)\vec{v}(t+dt)+[(M(t)-M(t+dt))(\vec{v}(t+dt)+\vec{u})]-M(t)\vec{v}(t) \qquad \textbf{(1)} $و$d\vec{p} = M(t)\vec{v}(dt)-M(dt)\vec{u} \qquad \textbf{(roham)} $من مطمئن نیستم که عبارت "t + dt" در (1) قابل قبول است یا منطقی. من فکر می کنم اینطور است ، من یک مقدار بی نهایت کوچک از زمان اضافه می کنم ، زیرا من یک تغییر بی نهایت کوچک از حرکت دارم. اما شک اصلی من در مورد "$M(dt) $" و "$v⃗ (dt $" در (2) است. آیا $M(dt) $ مخفف dM است؟ $M(dt) $ یک تغییر ناچیز در جرم موشک است ، اما این تغییر بسته به نقطه ای که در نظر می گیریم می تواند متفاوت باشد ، یعنی اگر $M(t) $ دارای شیب های مختلف در طول زمان باشد ، تغییر نقاط شروع متفاوت نیز این را تغییر می دهد dM ، درست است؟ آیا من این را درست تفسیر می کنم؟علامت$ M(dt)$ یا $v(dt) $ قابل قبول نیست. نمادهای معمولی مانند:در زمان t:جرم موشک $M(t) $سرعت موشک$\vec{v}(t) $جرم موشک $M(t+dt) = M(t) + dM $سرعت$\vec{v}(t+dt) = \vec{v}(t) + d\vec{v} $و$dm = -dM = M(t) - M(t+dt) $و$ d\vec{p} = \vec{p}(t+dt) - \vec{p}(t) = \{ (M(t)+dM) (\vec{v}(t) + d\vec{v}) - (\vec{u}(t) + \vec{v}(t) + d\vec{v}) dM\} -\{ M(t) \vec{v}(t) \}$و$d\vec{p} = M(t) d\vec{v} - \vec{u} dM $
توجه کنید $ \vec F=\frac{d \vec p}{dt}=m\frac{d \vec v}{dt}+\vec v\frac{dm}{dt}.$احتمالاً قرار است این معادله نیروی بدست آمده را بر جسمی متغیر ، موشک ایجاد کند ، اگرچه نمی دانم ، در این صورت ، چرا این نیرو را به صفر می رسانید. اگر قرار باشد این معادله در سیستم کامل موشک ها و گازهای خروجی اعمال شود ، F برابر با صفر است (در یک منطقه بدون میدان) ، اما dmdt نیز همین کار را می کند.در فیزیک نیوتنی ، جرم جسمی حفظ می شود: جسمی بدون اینکه جرم «جسم» دیگری نباشد ، نمی تواند جرم خود را از دست بدهد. نیروی وارد شده بر روی موشک به تغییر سرعت آن بدنه هنگام خروج از بدن مادر بستگی دارد (موشک). معادله ای که در بالا نقل کردم نمی تواند برای موشک مناسب باشد زیرا این تغییر سرعت را در نظر نمی گیرد. من استدلال می کنم که ما نمی توانیم قانون دوم نیوتن را بر روی جسمی با جرم متفاوت اعمال کنیم. این ممکن است بحث برانگیز باشد ، اما آنچه قطعاً درست است این است که ما می توانیم اصول نیوتنی را بر روی دو جرم ثابت اعمال کنیم: گازهای خروجی که در مدت زمان مشخصی خارج می شوند و بقیه موشک (از جمله اگزوزهایی که هنوز باقی نمی مانند). منظور من اینجاستبگذارید μ جرم گازهای خروجی خروجی از موشک در واحد زمان باشد و vE → سرعت تخلیه گازها نسبت به موشک باشد. اما در هر بازه زمانی Δt ،حرکت به دست آمده توسط گازها + حرکت به دست آمده با بقیه موشک $(m) = 0 $بنابراین$\mu \Delta t\ \vec {v_E} + m\Delta \vec v =0 $بنابراین در محدوده زمانی که Δt به صفر نزدیک می شود$ -\mu \vec{v_E} =m\frac{d\vec v}{dt}\ \ \ \ \ \ \ \text{that is}\ \ \ \ \ \ \ \frac{dm}{dt}\vec{v_E} =m\frac{d\vec v}{dt}$
یا از نظر سرعت ، این مقدار سرعت است (سرعت موشک و گاز خروجی در جهت مخالف است) ،$\frac{dm}{dt} v_E =- m\frac{dv}{dt} $کنون می توانیم ببینیم چه خبر است. −dmdtvE the سرعت تغییر حرکت گازهای خروجی است ، بنابراین برابر و مخالف با نیروی موشک. در $ -\frac{dm}{dt}\vec {v_E}$ اصطلاحی وجود ندارد ، (اگرچه اگر در معیار نهایی ما سرعت گازهای خروجی را نه نسبت به موشک ، بلکه به عنوان یک سرعت مطلق (متغیر) در چارچوب مرجع بیان کنیم که سرعت موشک $ \vec v$ باشد )حداکثر سرعت موشک با پتانسیل سرعت نسبی بیایید موشک را بگیریم تا با جرم اولیه M0 شروع شود و جرم را با سرعت $\frac{dm}{dt} $ بیرون بیاورد ، بنابراین پس از گذشت زمان t ، کل جرم m خارج می شود. بعلاوه ، اجازه دهید سرعت سیراب توسط سادگی داده شود. سپس ، با استفاده از فرمول حرکت نسبی ، حرکت ما با موشک برابر با حرکت سوخت موشک اخراج شده بدست می آید (همچنین فرض می کنیم موشک از حالت استراحت شروع شود):$ \begin{align*}
\frac{dm}{dt}v_{e} &=\frac{d}{dt}\left(\frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\right)\\
m\,v_{e} &=\frac{(M_{0}-m)v}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\\
\frac{m^{2}v_{e}^{2}}{(M_{0}-m)^{2}}&= \frac{v^{2}}{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}
\end{align*}$ ، نتیجه نهایی را می گیرید ،$v=\frac{v_{e}}{\sqrt{\left(\frac{M_{0}-m}{m}\right)^2+\left(\frac{v_{e}}{c}\right)^{2}}} $
معادله حرکت روی بیضی چگونه حاصل می شود$\begin{equation}
r = \frac{a(1-e^2)}{1 + e \cos(\theta)}.
\end{equation} $ما من فقط از گرفتن نتیجه راضی نیستم ، منظورم این است که چرا باید بیضوی بودن مدارها را تصور کنم؟ من حدس می زنم که باید از انرژی و ملاحظات حرکت زاویه ای حاصل شود .
برای مشکل دوجسم :
در هر قاب اینرسی ، با استفاده از قانون دوم نیوتن ، می نویسیم:$ m_2 \ddot{\vec{r_2}} = \frac{Gm_1m_2}{r^2}\hat{r}$و$m_1 \ddot{\vec{r_1}} = \frac{-Gm_1m_2}{r^2}\hat{r} $
به عنوان یک مشتق جانبی ، می توانید دو مشتق فوق را اضافه کنید تا این واقعیت را بدست آورید که حرکت کلی خطی سیستم ثابت است ، اما ما فعلاً حرکت می کنیم.
برای به دست آوردن حرکت نسبی ، معادلات r1 → و r2 را کم کنید و بدست آورید:..$ \ddot{(\vec{r_1}-\vec{r_2})} = -(\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2})\frac{Gm_1m_2}{r^2}\hat{r}$و$\frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} $نتیجه$ \mu \ddot{\vec{r}} = \frac{-Gm_1m_2}{r^2}\hat{r}$با تنظیم مجدد معادله فوق ، می توانیم دوباره بنویسیم:$\ddot{\vec{r}} = \frac{-G(m_1+m_2)}{r^2}\hat{r} = \frac{-\alpha}{r^2}\hat{r} $ما معادلات خود را با خود آماده کرده ایم. اکنون ، آنها را حل می کنیم. اما توجه داشته باشید که مقادیر J (حرکت زاویه ای) و E (انرژی کل) به صورت زیر حفظ می شوند. به راحتی می توانید این واقعیت را بررسی کنید.$ \vec{J} = \mu \vec{r} \times \dot{\vec{r}}$و$E = K+V = \frac{1}{2} \mu \dot{\vec{r}}^2 - \frac{Gm_1m_2}{r} $
و$\vec{J} = \mu \vec{r} \times \dot{\vec{r}} $از کجا می دانید حرکت در صفحه است؟ از آنجا که ، $\vec{J} $ همیشه عمود بر صفحه حرکت است و ثابت است ، حرکت در یک صفحه است. تقسیم حرکت به اجزا ،$\ddot{x} = \frac{-\alpha}{r^3}x \ , \ \ddot{y} = \frac{-\alpha}{r^3}y $و$r^2 = x^2 + y^2 $و$J = \mu(x\dot{y}-y\dot{x}) $و$ \ddot{r} = \frac{-\alpha}{r^3} + \frac{J^2}{\mu^2 r^3}$و$\dot{\vec{r}} = \dot{r}\hat{r} + r \omega \hat{\theta} $و$ \vec{J} = \mu r^2 \omega \hat{z}$و$ \frac{dr}{dt} = \frac{dr}{d \theta}\frac{d \theta}{dt} = \frac{dr}{d \theta} \omega = \frac{dr}{d \theta}\frac{J}{\mu r^2}$و$ \frac{d^2r}{dt^2} = \frac{d^2 r}{d \theta^2}(\frac{J}{\mu r^2})^2 - \frac{2}{r^3}\frac{J}{\mu}\frac{J}{\mu r^2}(\frac{dr}{d \theta})^2$
این یک معادله بسیار پیچیده برای $r(\theta) $ست. اما این معادله از نظر $\rho(\theta) = \frac{1}{r(\theta)} $ ساده است. با انجام تغییر متغیرها ، به دست می آوریم
$\frac{d^2 \rho}{d \theta^2} + \rho = \mu \frac{Gm_1m_2}{J^2} $این یک راه حل ساده دارد$ \rho(\theta) = A \cos \theta + \mu \frac{Gm_1m_2}{J^2}$نوشتن h = J/μ راحت است. سرانجام جایگزین rهست$r = \frac{\frac{h^2}{\alpha}}{1+\frac{Ah^2}{\alpha}\cos \theta} $با نامگذاری متغیرهای جدید a و e ، معادله فوق می شود$ r = \frac{a(1-e^2)}{1+e \cos \theta}$
اگر به شما گفته شود این معادله بیضی است ، اطلاعات ناقصی به شما داده شده است. در واقع این معادله برای یک بخش مخروطی است. بر اساس مقادیر e ،
با حل سه معادله فوق (این را به خواننده واگذار می کنم) ، بدست می آوریم:$0<e<1,ellipse $سرعت مداری بیضوی $\begin{equation} -\frac{GMm}{P}+\frac{1}{2}mV^2 = - \frac{GMm}{2a}, \end{equation} $یا دقیق $\begin{equation} -\frac{GMm}{P}+\frac{1}{2} \mu V^2 = - \frac{GMm}{2a}, \end{equation} $
دینامیک جرم متغیر: ذرات وجسم صلبتصویر
$ p_t=mv$و$ p_{t+\Delta t}=(m-\text{d}m)(v+\text{d}v) +\text{d}m\,(v-u_e)$و$\frac{\text{d}p}{\text{d}t}=\frac{mv + mdv -vdm +v\text{d}m -u_edm - mv}{\text{d}t}=0 $و$0 =\frac{mdv-u_edm}{\text{d}t} $و$ dv=-u_e\frac{dm}{m}$و$\boxed{\Delta v = u_e\ln\frac{m_0}{m}} $جایی که ue است سرعت گازهایی که از نازل خارج می شوند.
در کتابهای دیگر همین معادله از قانون نیوتن بدست آمده است:$m\frac{\text{d}v}{\text{d}t} = \sum_i F^{\text{ext}}_i $جایی که نیروهای خارجی اساساً فقط رانش (ساده ترین حالت) است که توسط:
$ T = \dot{m}u_e + A_e(p_e - p_a) = \dot{m}c$جایی که Ae ناحیه خروجی نازل است ، فشار خروجی ، فشار محیط (از این رو $c=u_e + \frac{A_e(p_e - p_a)}{\dot{m}} $ سرعت معادل آن است$\text{d}v = -c\frac{\text{d}m}{m} $در اینجا سیستم موشک (موشک و جرمی که در زمان dt می اندازد) همراه با مایعی که موشک در آن غوطه ور است در نظر گرفته می شود: حداقل تا حدی (در فضای عمیق فقط مایعاتی در پشت موشک وجود دارد ، یعنی گازهای خروجی خارج شده قبلی) . در زیر مشاهده کنید:تصویرگازهای خروجی خارج شده قبل از زمان t هنوز در حال تعامل با موشک + سیستم جرم در حال خارج شدن هستند: دومی فشار را روی سیستم وارد می کند. بنابراین نمودار بدن رایگان نشان داده شده است. یک نیروی خالص $(p_e-p_0)\,A $روی سیستم وجود دارد که در سمت راست نقاشی من عمل می کند. بنابراین اکنون ما دقیقاً همان رویه را در مسئله اول اتخاذ می کنیم ، اما توجه داریم که اکنون حرکت موشک m + در حدود dm که باید خارج شود حفظ نمی شود: باید توسط $ (p_e-p_0)\,A\,\mathrm{d}t$تغییر کند. بنابراین ، مانند گذشته ، اما اکنون با عمل خالص:$(m-\mathrm{d}m)(v+\mathrm{d}v) -\mathrm{d}m\,u_e- m\,v = (p_e-p_0)\,A\,\mathrm{d}t $که معادله دوم شما را تولید می کند $m\,\dot{v} = \dot{m}\,v + (p_e-p_0)\,A $اگر کشش و گرانش را به تصویر وارد کنید ، انگیزه اینها را نیز اضافه می کنید. بنابراین در این حالت برای یک موشک که به سمت بالا پرواز می کند ، با$m\,\dot{v} = \dot{m}\,v + (p_e-p_0)\,A - \frac{1}{2}\,\rho_a\,C_D\,v^2 - m\,g $
امیدوارم که شما می توانید ببینید که اولین رویکرد شما در مورد چیزی مانند جریان شن و ماسه ای که از پشت چیزی بیرون ریخته می شود
یک ماهواره در مدار دایره ای کم و دور زمین ، کشش (اصطکاک) را تجربه می کند و به آرامی به جو زمین می پیچد. سپس وارد جو زمین می شود ، فاجعه بار گرم می شود و می سوزد.
من سعی می کنم نیروهایی را که بر روی ماهواره عمل می کنند درک کنم و این امنیت را تأمین می کنندحال موردی را بررسی می کنیم که نیروی کشیدن فقط مختصر عمل می کند. شهود به ما می گوید که نیروی درگ FD سرعت مماسی V را کاهش می دهد و نیروی مرکز گریز Fc (نیروی جاذبه) سپس ماهواره را به مدار پایین تر ، یعنی شعاع r کوچکتر ، می کشد.
اما یک مار در چمن وجود دارد: سرعت مماسی v توسط:$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}\tag{1} $بنابراین ، همانطور که شناخته شده است ، مدارهای کوچکتر با فشار مساوی بالاتر انجام می شوندبنابراین ، همانطور که شناخته شده است ، مدارهای کوچکتر با سرعت مماسی بالاتری کار می کنند ، نه پایین تر!
یا سناریوی دیگری را در نظر بگیرید که در آن یک راننده روی ماهواره به طور خلاصه نیرویی موازی و در همان جهت Fc اعمال می کند و بدین ترتیب ماهواره را به سمت داخل فشار می دهد. مطابق با معادله انتظار داریم v افزایش یابد. اما نیرویی که باعث این شتاب مماس می شود کجاست؟
آیا می توان چیزی را از صرفه جویی در مصرف انرژی بدست آورد؟ T را کل انرژی سیستم ، U انرژی پتانسیل آن و K انرژی جنبشی آن می نامیم:$T=U+K $و$ T=-\frac{GMm}{r}+\frac12 \frac{GMm}{r}=-\frac12 \frac{GMm}{r}$و$ T_0+W=T_1$و$-\frac12 \frac{GMm}{r_0}+W=-\frac12 \frac{GMm}{r_1} $و$ W=\frac12 \frac{GMm}{r_0}-\frac12 \frac{GMm}{r_1}$و$W=\frac{GMm}{2}\Big(\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r_1}\Big) $و$ r_0>r_1 \Rightarrow W<0$ودرگ$ \mathbf{d}W=\mathbf{F_D}.\mathbf{ds}=F_D\mathbf{d}s\cos\pi=-F_d\mathbf{d}s$
جایی که r شعاع جریان است و a محور نیمه بزرگ است. توجه داشته باشید که این مقدار برای یک مدار دایره ای کاهش می یابد ، البته البته r = a. با تنظیم مجدد این موضوع می توانیم
$ v = \sqrt{GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)}$
این به ما a می گوید ، و این بدان معناست که ما هم فاصله اوج (r) و هم فاصله دوره (2a − r) را می شناسیم که برای توصیف مدار کافی است.$a = \left(\frac{2}{r} - \frac{v^2}{GM}\right)^{-1} $
به طور کلی ، اگر انگیزه ای را اعمال کنید که سرعت نیز در جهت تغییر کند ، در مدار قرار می گیرید که در آن شعاع ) آن سرعت را دارد. بازهم چنین مداری همیشه وجود دارد ، اما حل آن دشوارتر است.
تصویر

ارسال پست