معادله حرکت منحنی از یک نقطه به نقطه دیگر

مدیران انجمن: parse, javad123javad

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3222

سپاس: 5492

جنسیت:

تماس:

Re: معادله حرکت منحنی از یک نقطه به نقطه دیگر

پست توسط rohamavation »

این مارپیچ مربوط به اعداد فیبوناچی، هستش . مارپیچ لگاریتمی را می توان با شروع از نقطه ای در امتداد یک خط و رسم عمود بر ان از خطوطی با فاصله مساوی ساخت.یکی از ویژگی های مارپیچ لگاریتمی اینه که همیشه با خط شعاعی AB زوایای مساوی ایجاد می کند. به عبارت دیگر، نسبت ها در مثلث دیفرانسیل در هر نقطه یکسانند، مثلاً BM/BL = ds/dr = k. بنابراین طول قوس مارپیچ $ ds = ∫ k dr = $ است.طول کمان یک منحنی قطبی با رابطه $r = r\left( \theta \right)$ که در آن محدوده θ بازه [α,β] است، توسط فرمول که اورم محاسبه میشه
$\large L = \int \limits _ \alpha ^ \beta { \sqrt { { { \left [ { r \left ( \theta \right ) } \right ] } ^ 2 } + { { \left [ { r ^ \prime \left ( \theta \right ) } \right ] } ^ 2 } } d \theta } .$طول قوس یک مارپیچ لگاریتمی
من فرضا می خواهم طول قوس مارپیچ Log را با معادله محاسبه کنم:
$\alpha >0$ و t∈[0,T]مدرس ما فرمول زیر را برای کار به من میده
$\int_{t_1}^{t_2}f(x)||\dot{x}(t)||dt$
با این حال، در این مورد، من واقعاً یک عملکرد سنتی برای کار با آن ندارم. این چگونه با بردارها کار می کند؟
من همچنین مطمئن نیستم که چگونه به فرمول برسم. تنها چیزی که می دانم این است که:
1) من مقداری مسیر/تصویر یک تابع در فاصله [a,b] دارم و می‌خواهم طول آن را پیدا کنم.
2) می توانم طول مسیر را با استفاده از زنجیره های چند ضلعی کوچک تقریبی کنم.خوب جوابها رو میارم
$\implies L(x)=\sum ||x(t_a)-x(t_{a-1})||$
اما چگونه از آن به فرمول انتگرال بروم؟انجام آن در مختصات قطبی باید آسان تر باشد. منحنی
$e^{-at}(\cos t, \sin t) \to r = e^{-a\theta}$
فرمول طول قوس است
$ds = \sqrt{(r d \theta)^2 + (dr)^2} =\sqrt{a^2e^{-2a\theta}+e^{-2a\theta}}\, d\theta$
بنابراین طول قوس است
$\int_{t_1}^{t_2} e^{-a\theta}\sqrt{a^2+1}\, d\theta = \frac1a\sqrt{a^2 + 1}\left(e^{-at_1} - e^{-at_2}\right)$
منحنی های یکپارچهطول قوس: $s(0,T)=\int_0^T||\space \dot{x}(t)\space ||\space dt=\int_0^T\sqrt{\dot{x}_1^2+\dot{x}_2^2}\space dt$
معادله مارپیچ من: $\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^{-\alpha t} \cos t \\ e^{- \alpha t} \sin t\end{pmatrix}$
$\dot{x}_1=-\alpha e^{-\alpha t} \cos t-e^{-\alpha t} \sin t$
$\implies \dot{x}_1^2=\alpha^2e^{-2 \alpha t}\cos^2 t+2\alpha e^{-2\alpha t}\cos t \sin t+e^{-2 \alpha t} \sin^2 t$
$\dot{x}_2=-\alpha e^{-\alpha t} \sin t+e^{-\alpha t} \cos t$
$\implies \dot{x}_2^2=\alpha^2e^{-2 \alpha t}\sin^2 t-2\alpha e^{-2\alpha t}\cos t \sin t+e^{-2 \alpha t} \cos^2 t$
$\dot{x}_1^2+\dot{x}_2^2=$
$\alpha^2e^{-2 \alpha t}\cos^2 t+2\alpha e^{-2\alpha t}\cos t \sin t+e^{-2 \alpha t} \sin^2 t+\alpha^2e^{-2 \alpha t}\sin^2 t-2\alpha e^{-2\alpha t}\cos t \sin t+e^{-2 \alpha t} \cos^2 t$
$=(\alpha^2+1) e^{-2 \alpha t}(\sin^2 t+\cos^2 t)=(\alpha^2+1)e^{-2 \alpha t}$
انتگرال من می شود:
$\int_0^T \sqrt{(\alpha^2+1)e^{-2 \alpha t}}=\sqrt{(\alpha^2+1)}\int_0^T \sqrt{e^{-2 \alpha t}}=\sqrt{(\alpha^2+1)}\int_0^T e^{-\alpha t}$
ضد مشتق $e^{-\alpha t}=\frac{1}{-\alpha}e^{-\alpha t}$
$\implies \sqrt{\alpha^2+1}\frac{1}{-\alpha}e^{-\alpha T}-\sqrt{\alpha^2+1}\frac{1}{-\alpha}e^{0}=\sqrt{\alpha^2+1}\frac{1}{-\alpha}(e^{-\alpha T}+1)$امیدوارم این درست باشد.
تصحیح علامت:
$\implies \sqrt{\alpha^2+1}\frac{1}{-\alpha}e^{-\alpha T}-\sqrt{\alpha^2+1}\frac{1}{-\alpha}e^{0}=\sqrt{\alpha^2+1}\frac{1}{-\alpha}(e^{-\alpha T}-1)$
$=\sqrt{\alpha^2+1}\frac{1}{-\alpha}e^{-\alpha T}-\sqrt{\alpha^2+1}\frac{1}{-\alpha}e^{0}=\frac{\sqrt{\alpha^2+1}}{\alpha}(1-e^{-\alpha T})$
ثابت نگه داشتن طول قوس بین نقاط در یک مارپیچمن در حال تجسم نقاط در یک مارپیچ لگاریتمی هستم و می خواهم طول قوس بین نقاط (ذرات تصویر) را ثابت نگه دارم. من خواندم که در یک کمان مارپیچ باستانی طول s = r * تتا است. من با آن کلنجار رفته‌ام و نمی‌توانم کاملاً بفهمم که چگونه آن را پیاده‌سازی کنم (به جای تتا با s/r جایی که s یک ثابت دلخواه است و فقط r افزایش می‌یابد؟)، و سپس چگونه آن را در مورد یک مارپیچ لگاریتمی اعمال کنم. .
در اینجا دو مارپیچ مورد آزمایش من. من قدردانی می‌کنم که در جهت درست نحوه قرار دادن این ذرات تصویر در هر شکل مارپیچی به طور مساوی. بچه های هوپا از صبر شما سپاسگزارم مارپیچ لگاریتمی خود مشابه است. در نتیجه، مماس ها زاویه یکسانی را با بردار موقعیت در هر نقطه از مارپیچ ایجاد می کنن. شما می تونین از آن برای ترسیم تقریب معقول از مارپیچ به سادگی با برداشتن گام های واحد در جهت مماس فعلی استفاده کنین
شاید اده ترین نگاه به این موضوع از نظر اعداد مختلط باشه
$z(\theta)=ae^{(i+b)\theta}=a\left(e^{i+b}\right)^\theta\\
\frac{\mathrm dz}{\mathrm d\theta} = ae^{(i+b)\theta}(i+b)$
بنابراین بردار جهت بردار موقعیتی است که با (i+b) چرخیده است.
، یعنی زاویه بین آنها است
$\alpha=\arctan\frac{1}{b}=\operatorname{arccot}b$
بنابراین رویکرد فوق چیزی شبیه به این خواهد بود : def logspiral1(s):
hypot = sqrt(1 + b^2)
sinA = 1/hypot
cosA = b/hypot
x = 1
y = 0
for c in range(100):
yield (x, y)
f = s/sqrt(x^2 + y^2)
dx = f*(cosA*x - sinA*y)
dy = f*(sinA*x + cosA*y)
x += dx
y += dyبه نظر می رسد مانند یک مارپیچ ورود به سیستم، اگر همه توسط خود گرفته شود، اما از آنجایی که خطاها انباشته می شوند، به طور قابل توجهی از معادله پارامتریک فاصله می گیرند.
راه حل دقیق
برای جلوگیری از آن، احتمالاً باید θ جدید را محاسبه کنید از نظر جهتی که می خواهید در پیش بگیره. انجام دقیق این کار به معنای ادغام طول منحنیه.
$\int_{\theta_1}^{\theta_2}\left\lvert
ae^{(i+b)\theta}(i+b)\right\rvert\,\mathrm d\theta$
این را می توان با استفاده از محاسبه کرد
$\int\left\lvert ae^{(i+b)\theta}(i+b)\right\rvert\;\mathrm d\theta=
\frac{\lvert a(b+i)\rvert}{b}e^{b\theta}$
بنابراین شما می خواهید
$s=\frac{\lvert a(b+i)\rvert}{b}\left(e^{b\theta_2}-e^{b\theta_1}\right) \\
e^{b\theta_2}=\frac{sb}{\lvert a(b+i)\rvert}+e^{b\theta_1} \\
\theta_2=\frac1b\log\left(\frac{sb}{\lvert a(b+i)\rvert}+e^{b\theta_1}\right)$

def logspiral2(s):
theta = 0
h = s*b/(a*sqrt(1 + b^2))
for c in range(100):

yield (a*cos(theta)*exp(b*theta), a*sin(theta)*exp(b*theta))
theta = log(h + exp(b*theta))/bاولین روش با رنگ قرمز در شکل زیر اورم و روش دوم دقیقاً با رنگ سبز نشون دادم. خط پیوسته پشت نقاط سبز یک نمودار پارامتری ساده از جواب دقیقهتصویر

$\begin{equation}
\boxed{\:
\begin{matrix}
x\left(\theta\right) = R\left(\theta-\sin \theta\right)\\
y\left(\theta\right) = R\left( 1-\cos \theta\right)
\end{matrix}\:}
\tag{b-01}
\end{equation}$
$\begin{equation}
\omega= \dfrac{\,\theta \,}{t}=\dfrac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d} t}=\sqrt{\dfrac{\,g\,}{R}} =\text{constant}
\tag{b-02}
\end{equation}$
$\begin{equation}
\boxed{\:
\begin{matrix}
& x\left(t\right) = R\Biggl[ \sqrt{\dfrac{\,g\,}{R}}\,t-\sin \left(\sqrt{\dfrac{\,g\,}{R}}\,t\right)\Biggr]=R\Bigl[\omega\,t-\sin \left(\omega\,t\right)\Bigr]\\
& \\
& y \left(t\right)= R\Biggl[1-\cos \left(\sqrt{\dfrac{\,g\,}{R}}\,t\right)\Biggr]=R\Bigl[1-\cos \left(\omega\,t\right)\Bigr]
\end{matrix}\:}
\tag{b-03}
\end{equation}$
$\begin{equation}
s\left(t\right)=4R\Biggl[1-\cos\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\Biggr]=4R\Biggl[1-\cos\left(\sqrt{\dfrac{g}{4R}}\,t\right)\Biggr]=4R\Biggl[1-\cos\left(\frac{\omega}{2}\,t\right)\Biggr]
\tag{b-04}
\end{equation}$
زمان فرود از نقطه A(0,0) به پایین ترین نقطه$\mathrm{F}(\pi\,R,2R)$
: از (b-02) با$\:\theta=\pi\:$
$\begin{equation}
t\left[\mathrm{A}\rightarrow\mathrm{F} \right] = \pi\sqrt{\dfrac{\,R\,}{g}}
\tag{b-05}
\end{equation}$

تصویر

$\begin{equation}
t\left[\theta_{0}\rightarrow\theta\right]=\sqrt{\dfrac{\,R\,}{g}}\Biggl(\pi-2\arcsin\Biggl[\dfrac{\cos\left(\theta/2\right)}{\cos\left(\theta_{0}/2\right)} \Biggr] \Biggr)
\tag{t-01}
\end{equation}$زمان فرود از θ0
تا پایین ترین نقطه $\:\theta=\pi\:$
: از (t-01) با $\:\theta=\pi\:$
$\begin{equation}
t\left[\theta_{0}\rightarrow\pi\right]=\pi\sqrt{\dfrac{\,R\,}{g}}=\text{constant independent of $\theta_{0}$.}
\tag{t-02}
\end{equation}$=ثابت مستقل از θ0.(t-02)
همچنین از (t-01)
$\begin{equation}
\cos\theta=\left( \dfrac{1+\cos\theta_{0}}{2}\right) \left[ 1+\cos\left(\sqrt{\dfrac{\,g\,}{R}}\,t \right) \right]-1
\tag{t-03}
\end{equation}$
$\begin{equation}
s\left(t\right)=4R\Biggl[\cos\left(\dfrac{\theta_{0}}{2}\right)-\cos\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\Biggr]=4R\cos\left(\dfrac{\theta_{0}}{2}\right)\Biggl[1-\cos\left(\sqrt{\dfrac{g}{4R}}\,t\right)\Biggr]
\tag{t-04}
\end{equation}$
$\begin{equation}
\theta\left(t\right)=\arccos\Biggl[\biggl(\dfrac{1+\cos\theta_{0}}{2}\biggr) \left[ 1+\cos\left(\sqrt{\dfrac{\,g\,}{R}}\,t \right) \right]-1\Biggr]
\tag{t-05}
\end{equation}$
$\begin{equation}
x\left(t\right)=R\big[\theta\left(t\right)-\sin\theta\left(t\right)\bigr]
\tag{t-06}
\end{equation}$
3. سیکلوئید
تصویر
یک مثال از نیروها
${\bf F}_{\rm net} = m\,\ddot{{\bf r}}$
با:
${\bf r} = x(\theta)\hat{\bf x} + y(\theta)\hat{\bf y}$
و یک نقطه نشان دهنده یک مشتق نسبت به زمان.
سپس با استفاده از بردار مماس:
$\hat{\bf T} = \frac{\frac{{\rm d}{\bf r}}{{\rm d}{\theta}}}{\left|\frac{{\rm d}{\bf r}}{{\rm d}{\theta}}\right|}$برای تعریف بردار نرمال:
$\hat{\bf N} = \frac{\frac{{\rm d}\hat{\bf T}}{{\rm d}{\theta}}}{\left|\frac{{\rm d}\hat{\bf T}}{{\rm d}{\theta}}\right|}$
نیروهای وارده گرانش هستند:
${\bf F}_{\rm grav} = -g\,\hat{\bf y}$
و یک نیروی عادی:
${\bf F}_{\rm normal} = -\left({\bf F}_{\rm grav}\cdot\hat{\bf N}\right)\hat{\bf N}$
آنها را برای دریافت ${\bf F}_{\rm net}$ ترکیب کنید
و معادله دیفرانسیل حاصل را حل کنید (البته با استفاده از شرایط اولیه).

تصویر

ارسال پست