نکته مهم مقدار انرژی در هر فرآیندی ثابته. شکل آن ممکن است تغییر کنه یا از سیستمی به سیستم دیگر منتقل بشه، اما مقدار آن همواره ثابته انرژی مکانیکی سیستم ایزوله همواره ثابته.کانسرویشن انرژی مکانیکی تنها هنگامی استابلیشه که نیروهای وارد شده بر سیستم پایستار باشند.$E_1 = E_2$
انرژی مکانیکی به صورت مجموع انرژی پتانسیل و انرژی جنبشی سیستم تعریف میشه$E_M = E_p \ + \ E_k$فنر تحتtension تنشن برای مدت طولانی می تواند ضعیف تر بشه. هر جسمی وقتی تحت اکسترنال پرشر قرار می گیره یا مقاومت می کنه یا تغییر ترنسفرمیشن دهد. فنرها به طور خاص طراحی شده اند تا تغییرترنسفورمیشن بدن تا انرژی ناشی از تنش بیرون را جذب کنند سپس با آزاد کردن انرژی به حالت نرمال خود بازگردند.وقتی فنر کمپرس می شود، برای انرژی پتانسیل الاستیک چه اتفاقی می افته
بنابراین انرژی پتانسیل فنر با کمپرس یا استرچ افزایش می یابد.وقتی فنر برای مدتی در حالت کمپرس نگه داشته شود چه اتفاقی می افتد؟
با کمپرس فنر و کاهش سرعت جرم، انرژی ; سینتیک آن به انرژی پتانسیل الاستیک تبدیل میشه. با وقوع این تبدیل، مقدار کل انرژی مکانیکی حفظ میشه.هنگامی که فنر را کمپرس می کنید، انرژی پتانسیل در پیوندهای مکانیکی بین اتم ها ذخیره میشه که می توانید آنها را به عنوان فنرهای کوچک در نظر بگیرید. فنر به طور کلی نمی تواند کمپریشن بشن - تا زمانی که شکسته شود - اما تکه های کوچک می توانند با جدا شدن از حالت کمپریشن خارج شوند.وقتی اسید مولکول های فنر را حل می کند P.E. ذخیره شده در آن به K.E تبدیل می شود. و مولکول جدیدی که با یون اسید تشکیل می دهد این K.E اضافی را دارد. به همین دلیل دمای اسید کمی افزایش می یابه. یعنی انرژی پتانسیل الاستیک به انرژی گرمایی کانورشن می شود.اولین فرض شما، اینکه در ماده فنر ضعفی وجود دارد و اگر به اندازه کافی خورده شود، ناگهان می شکند، اتفاقی است که در واقع می تواند رخ دهد.
در موقعیت ایده آل شماهر اتم محلول در مایع بخش متناسبی از انرژی پتانسیل فنر تحت تنش را داشت. همانطور که پیوندهای خود را با سطح از دست میده با مولکول هایی که مواد را خورده می کنند، انرژی پتانسیل آن به انرژی جنبشی مولکول جدید تبدیل می شود و به دلیل تعداد زیاد اتم ها، آنقدر کوچک خواهد بود که فقط به انرژی گرمایی کانورشن conversion. از مایع در این فرآیند انرژی پتانسیل فنر همانطور که حدس میزنید به تدریج به انرژی گرمایی مایع conversion میشه
کانسرویشن در انرژی در سیستم جرم و فنر
به یاد بیاورید که قانون دوم نیوتن برای سیستم جرمی اکشن می شود
$\displaystyle f_m(t) + f_k(t) = 0، \quad \forall t،
$
که منجر به معادله دیفرانسیل مورد سیستم جرم - فنر میشه
$\displaystyle m{\ddot x}(t) + k\,x(t) = 0 \quad \forall t
$
$ {\dot x}(t)=v(t)$ gives
\begin{eqnarray*}
0
&=& m{\ddot x}(t){\dot x}(t) + k\,x(t){\dot x}(t)\\
&=& m\dot{v}(t)v(t) + k\,x(t){\dot x}(t)\\
&=& \frac{d}{dt} \left[\frac{1}{2}m v^2(t)\right]
+ \frac{d}{dt} \left[\frac{1}{2}k x^2(t)\right]\\
&=& \frac{d}{dt} \left[ E_m(t) + E_k(t) \right]\\
&=& \frac{d}{dt} E(t).
\end{eqnarray*}در حالت تعادل، فنر به هیچ فاصله ای از بلانس کشیده نمی شود، یعنی x=0 و بنابراین جرم با حداکثر سرعت حرکت می کند (به عنوان انرژی کل = انرژی جنبشی + انرژی پتانسیل الاستیک، و این حفظ می شود). بنابراین، در حالت تعادل، انرژی کل = انرژی پتانسیل الاستیک
چرا انرژی پتانسیل فنر هنگام کمپریشن و تنش یکسان است؟در نهایت نکته کلیدی این است که فنر چه کمپریشن یا استرج باشد، نیرو و جابجایی همیشه علامت یکسانی (مثبت یا منفی) دارن بنابراین همیشه روی فنر کار مثبت و انرژی مثبت ذخیره شده در آن داریم.هنگامی که یک فنر کمپرس یااسترچ می شود، سعی می کند با اعمال نیرویی برابر و مخالف نیروی خارجی، وضعیت بالانس خود را بازگرداند. بنابراین کار خارجی انجام شده توسط ما در کمپریشن و همچنین کشش در فنر به عنوان انرژ پتانسیل از نظر ریستورینگ فورس ) ذخیره می شود.
اهمیت حداکثر کمپریشن درفنر چیست؟حداکثر کمپریشن ممکن فنر زمانی اتفاق میافته که تمام انرژی جنبشی جرم در فنر به عنوان انرژی پتانسیل الاستیک ذخیره شده باشه، به همین دلیل این نقطه در حرکت جرم خاص است. این نقطه زمانی اتفاق می افتد که فنر جرم را به طور کامل متوقف کند
در آن نقطه، انرژی ذخیره شده در فنر $\frac{1}{2}kx^2$ است که k ثابت فنر و x فشردگی است. این برابر با انرژی جنبشی جرم قبل از برخورد به فنر است که $\frac{1}{2}mv^2$است که m جرم و v سرعت آن است.
اگر دو نیروی متفاوت به فنر وارد شوند، فشردگی آن چقدر خواهد بود؟به طور کلی، برای هر نیروی F1 و F2 و ثابت فنر K، فنر با فرمول کمپریشن می شود:
$\Delta x= \frac{min(F1,F2)}{K}$
و شتاب خواهد گرفت
$a=\frac{(F1-F2)}{m}.$
زیرا اکسلریشن باعث می شود فنر تحت اینرسی خودش کمپریشن بشه من بدون از دست دادن کلیت$F_1>F_2$ فرض می کنم. قسمت بالانس نیروها فنر را به طور معمول کمپریشن می کند،کمپریشن
$\Delta x_b=\frac{F_2}{k}.$
فشردگی تحت اکسلریشن معادل فشردگی فنر تحت وزن خود در فیلد گرانشی با اکسلریشن گرانشی $g=a=\frac{F_1-F_2}{m}$ است. کمپریشن تحت اکسلریشن است
$\Delta x_a=\frac{ma}{2k}=\frac{F_1-F_2}{2k}.$
توتال کمپریشن
$\Delta x_\text{Total}=\Delta x_b +\Delta x_a=\frac{F_1+F_2}{2k}.$
توجه داشته باشید که این کمپریشن در حالت استیبل است، پس از اینکه نوسانات فروکش کردند. اگر این نیروها را در ابتدا به یک فنر در حالت استراحت اعمال کنید آن نیز شروع به نوسان می کند.
استخراج$\Delta x_a$فرض کنید یک فنر در یک فیلد گرانشی به صورت عمودی روی یک میز ایستاده است. فنر تحت وزن خود کمپریشن خواهد شد. فنر کشیده نشده را به قطعات بی نهایت کوچک dl تقسیم کنید. هر یک از این بخش ها یک فاصله dx را زیر وزن تمام بخش های بالای خودکمپریشن می کند. بخش بالایی وزنی بالای خود ندارد، بنابراین نات کمپریشن است. قسمت پایین وزن کل فنر بالا را دارد، بنابراین بیشترین کمپریشن را خواهد داشت. اگر فنر را به قطعات طول dl تقسیم کنیم، ثابت فنر هر قطعه$k'=k\frac{L}{dl}.$ است.
کمپریشن هر بخش است
$dx=\frac{l/L\cdot mg}{k'}=\frac{lmg}{L^2k}dl.$
از این رو
$\Delta x_a=\int_0^L \frac{lmg}{L^2k}dl=\frac{mg}{2k}.$.
چرا بقای انرژی نتیجه نادرستی می دهد؟
فرض کنید دو فنر بدون جرم، هر دو با طول d و ثابت فنر k، به ترتیب زیر دارین
همانطور که توسط فنرهای خاکستری نشان دادم، دو فنر اولیه هر دو توسط نیروی گرانشی $F_G$ به جرم m، با فاصله عمودی d (که همان طول اولیه فنرها است) کشیده می شوند. سپس، سیستم ثابت است.
سوال این است که ثابت فنر k باید چقدر باشد تا این اتفاق بیفتد.
دو رویکرد برای این مشکل وجود دارد:
1. نیروها
برای اینکه جرم در جای خود بماند، نیروهای فنر باید به$F_\text{G}$ اضافه شوند، جایی که مولفه افقی هر نیروی فنر $k\Delta x\cdot\cos(45°)$درجه) است، که به شرط $F_\text{G}=2k\Delta x\cos(45°)$ می رسد. این منجر به یا می شود
$k=\frac{mg}{2\Delta x\cos(45°)}$
زیرا$k=\frac{mg}{(\sqrt2d-d)\sqrt2}$و فاصله ای که هر فنرکمپریشن می شود $\cos(45°)=1/\sqrt2$ است.
(این باید نتیجه صحیح باشد.)
با این حال، اگر رویکرد دوم زیر را انتخاب کنیم، این را دریافت می کنیم:
2. حفظ انرژی
جرم m دارای کاهش انرژی پتانسیل mgd است. این باید با افزایش انرژی دو فنر، که$\frac12 k(\Delta x)^2$ برای هر فنر است، متعادل شود، بنابراین در مجموع $k(\Delta x)^2$، که دوباره $\Delta x=\sqrt2d-d$. این منجر به شرایط$mgd=k(\sqrt2d-d)^2$میشود که منجر به آن میشود
$k=\frac{mgd}{(\sqrt2 d-d)^2},$
که البته نتیجه ای متفاوت از بالاست.
سوال: چرا ما دو نتیجه متفاوت برای آنچه به نظر می رسد دو رویکرد معتبر برای این مشکل به دست می آوریم؟
رویکردی که پاسخ درست را به شما داد رویکرد نیرو بود. بیایید در مورد رویکرد انرژی صحبت کنیم.
این یک سیستم محافظه کار است، بنابراین می توانیم انرژی پتانسیل U را تابعی از نیروی حاصل بر جرم m بنویسیم، مانند این:
$\vec{F} = -\nabla U$ نکته نیروی کنسرواتیو پایستار یا محافظه کار نیرویی است با این ویژگی که کار انجام شده در حرکت یک ذره بین دو نقطه مستقل از مسیر طی شده باشد. برای مثال نیروی گرانشی، نیروی مغناطیسی و غیره. نیروی ان استیبل نیرویی است که کار انجام شده برای آن بستگی به مسیر دارد. به عنوان مثال، نیروی اصطکاک.
یا بر حسب مدول نیروی حاصل:
$F = -\frac{dU}{dx}$
جایی که x فاصله (مثبت زیر موقعیت اولیه) جرم m از موقعیت اولیه آن (جایی که هر دو فنر دارای طول d بودند) است.
موقعیت تعادل زمانی پیدا میشود که F=0، بنابراین$\frac{dU}{dx} = 0$، بنابراین ما فقط باید x را بهگونهای بیابیم که تابع U یک حداقل یا یک حداکثر داشته باشه
اگر $U_{gravitational} = 0$ را در موقعیت اولیه قرار دهیم، $U_{gravitational} = -mgx$ داریم.
سپس می توانیم از $U_{elastic} = k(\sqrt{x^2 + d^2} - d^2)$ استفاده کنیم و بنابراین
$U = -mgx + k(\sqrt{x^2 + d^2} - d^2)$
بنابراین تنها کاری که باید انجام دهید این است که مشتق $\frac{dU}{dx}$ را بگیرید و این معادله ای با بالانس $x_{equilibrium}$حل به دست می دهد. اما مشکل قبلاً به شما گفته بود که این$x_{equilibrium} = d$، بنابراین تنها کاری که باید انجام دهید این است که معادله ای را که برای k پیدا کردید حل کنید.
چراروش انرژی شما جواب نداد؟
ساده است: انرژی پتانسیل در هر دو موقعیت به هیچ وجه یکسان نیست. دلیلی برای این باور وجود نداره. به همین دلیل است که اگر جرم m را در آن شرایط اولیه آزاد کنید، با مقداری انرژی جنبشی که از اختلاف بین انرژی های پتانسیل$U_{equilibrium}$ اکولبریم و اینیشیال$U_{initial}$ به دست می آید، به موقعیت تعادل می رسد. این فقط کانسرویشن در انرژی است. اگر ذره از شرایط اولیه آزاد شود، نوسان می کند.
دلیل اصلی این است که بقای انرژی روش معتبری برای یافتن موقعیت بالانس نیست. انرژی در همه حالات سیستم حفظ می شود، نه فقط در حالتبالانس بنابراین بقای انرژی به طور منحصر به فرد هیچ موقعیتی را مشخص نمی کند.
علاوه بر این، برای بسیاری از حالتهای اولیه،کانسرویشن انرژی به جای بالانس منجر به نوسان میشود. انتقال به تعادل معمولاً شامل از دست دادن انرژی مکانیکی از سیستم است.