سلام
مطلب زیر رو بخونید و به سئولات جواب بدید
اگر این گوی را ( گوی چرخان ) با یک گوی هم وزن دیگه با هم به زمین بیندازیم کدام زودتر به زمین میرسه؟
==============================================================
پاوربال اولین بار توسط سازمان ناسا اختراع شده؛ فضانوردان باید روشی برای تقویت عضلات‌‌شون پیدا می‌کردن و این کار در جاذبه‌ي صفر امکان‌پذیر نبود و چاره‌ی کار همین پاوربالیه که می‌‌بینین.
این وسیله برای تقویت ماهیچه‌های دست –از انگشت‌های دست تا سر شانه‌ها- مفیده. با پاوربال دیگه نیازی به باشگاه بدن‌سازی ندارین.
این وسیله رو متخصصان ارتوپد آمریکایی تایید کرده‌ن.
می‌تونین از این وسیله حتا وقتی دارین با تلفن حرف می‌زنین یا فیلم تماشا می‌کنین استفاده کنین.
جدا از جنبه‌ی ورزشی، پاوربال یه جورایی هم سرگرم‌تون میکنه.
روش کار پاوربال چجوریه؟
یک گوی چرخنده داخل گوی بیرونی قرار داره، با پیچیدن بند پاوربال به دور گوی داخلی و کشیدن بند به بیرون، گوی داخلی شروع به چرخش میکنه. این گوی داخلی اسمش ژیروسکوپه.
بعد از چرخش ژیروسکوپ با حرکات منظم دست، مچ و همچنین با کمک نیروی گریز از مرکز به وجود آمده، به چرخش ژیروسکوپ سرعت بیشتری می‌دین. اولش وزنش 250 گرمه، با زیاد شدن سرعت ژیروسکوپ، وزن گوی هم زیاد میشه و در بیش‌ترین سرعت به 20 کیلوگرم میرسه.
ساعات کار: همه‌ی روزهای هفته‌ی حتا تعطیلات از 10 صبح تا 18
بعد از خرید کوپن از سایت offچی می‌تونین تا تاریخ تعیین‌شده به این شماره زنگ بزنین، رنگ دستگاه دل‌خواه (نارنجی یا آبی) کد، و آدرس و شماره تلفن‌تون رو اعلام کنین و دستگاه پاوربال حداکثر یک هفته بعد از پایان مدت فروش به آدرس‌تون ارسال میشه:
=================================================================
ژیروسکوپ
-
احسان مختاری نژاد
نام: احسان مختاری نژاد
عضویت : یک‌شنبه ۱۳۹۱/۲/۲۴ - ۰۰:۵۳
پست: 29-
سپاس: 12
Re: ژیروسکوپ
در نبود مقاومت هوا هیچ فرقی ندارن. اما در حضور مقاومت هوا یه مسئلۀ بسیار پیچیده از نوع آئرودینامیک داریم. احتمالا جسم چرخان سریعتر میاد پایین، مثل گلولۀ تفنگ که چرخانه(به کمک خان های تو لوله تفنگ) تا سریعتر حرکت کنه
Re: ژیروسکوپ
درست فرموديداحسان مختاری نژاد نوشته شده:در نبود مقاومت هوا هیچ فرقی ندارن. اما در حضور مقاومت هوا یه مسئلۀ بسیار پیچیده از نوع آئرودینامیک داریم. احتمالا جسم چرخان سریعتر میاد پایین، مثل گلولۀ تفنگ که چرخانه(به کمک خان های تو لوله تفنگ) تا سریعتر حرکت کنه
Re: ژیروسکوپ
البته اگه مسخره بازيم بگيره اينم ميتونم بگم
جسم چرخان انر‍يش بيشتره پس ...... فك كنيد بهم بگيد از نظر نسبيت حل كنيد
جسم چرخان انر‍يش بيشتره پس ...... فك كنيد بهم بگيد از نظر نسبيت حل كنيد
-
ehsan.m1354
عضویت : جمعه ۱۳۹۰/۶/۲۵ - ۰۷:۰۱
پست: 141-
سپاس: 26
Re: ژیروسکوپ
===========================hadimohammadi نوشته شده:درست فرموديداحسان مختاری نژاد نوشته شده:در نبود مقاومت هوا هیچ فرقی ندارن. اما در حضور مقاومت هوا یه مسئلۀ بسیار پیچیده از نوع آئرودینامیک داریم. احتمالا جسم چرخان سریعتر میاد پایین، مثل گلولۀ تفنگ که چرخانه(به کمک خان های تو لوله تفنگ) تا سریعتر حرکت کنه
با تشکر از پاسخ دوستان اولا از سایر دوستان خواهش می کنم که نسبت به سئوالات دیگر کاربران بی تفاوت نباشند چون من حس میکنم که ما هنوز در پاسخ صحیح به اندیشه های نیوتنی موندیم و درک صحیحی ظاهر از اکثرا از قوانین مکانیک نداریم. چون یک خبر در خصوص تغییر صدبرابری وزن هیچ سئوالی را در ذهن علاقمندان مکانیک بوجود نمی آره یا اگه این مسئله کاملا بدیهیه و من سواد ندارم چرا بدیهی بودن این قضیه از طرف دوستان به من اطلاع رسانی نشد.
حالا بریم سر مسئله ببینید اینجا داره میگه یک جسم چرخان ( در نبود مقاومت هوا چون فضانوردان استفاده می کنند و جتی با وچود مقاومت هوا در مسئله ای که من ذکر کردم مقاومت هوا بر روی هر دو گلوله یکسان است) از حدود یک چهارم کیلو به 20 کیلو گرم می رسه یعنی صدبرابر وزنش بیشتر می شه که البته همونطور که هممون می دونیم وزن زیاد تر نمی شه ( چون نیروی وارده از طرف زمین به یک جسم فقط درحالت تغییر زیاد فاصله کمتر یا بیشتر می شه و اینجا نیز تغییر فاصله زیر یک متره و می توان گفت که تقریبا تاثیری نداره )
پس چیزی که در این گوی چرخان اتفاق می افته مقاوم در برابر تغییر سرعته ( اینرسی یا ماند) یعنی جرم جسم افزایش پیدا می کنه
حال سئوال اینجاست وقتی مقاومت گوی چرخان در برابر تغییر سرعت افزایش می پیدا می کنه چطور می توان ثابت کرد که کره زمین با نیروی ثابتی که به هر دو گوی وارد می کنه بر اینرسی (جرم ) هر دو بطور یکسان غلبه می کند و تغییر سرعت یکسان در هر دو بوجود می آره ؟ ( البته هنوز برای خود من ثابت نشده که یکسان به زمین می رسند چون گلوله رو هنوز نخریدم
)مسئله دوم اینکه وقتی سرعت می تونه جرم جسم رو افزایش بده آیا می توان این فرضیه رو ثابت کرد که در نبود سرعت و سکون مطلق و درجایی از فضا که هیچ نیرویی از طرف جسم دیگه به جسم وارد نشه یک جسم هیچ جرمی نداره ( چون همونطور که هممون می دونیم کلیه اجسام در فضا درحال حرکت هستید (یک حرکت کهکشانی و حرکت های دیگر داخل کهکشان )
Re: ژیروسکوپ
عجب اشتباهی کردم حرفات تایید کردم می دونی چی داری میگی
شوخی کردم
حرفات درست نیست
شرمنده تو این جور بحثا من فقط تایید یا رد می کنم نمی تونم توضیح بدم
باشه چون تویی
جرم تغییری نمی کنه همونه حالا به خاطر جرم که همیشه طی این حرکت ثابته نیروی پرانش بهش وارد میشه اگرم هوا باشه هوا باعث مقاومت و نیروی بر خلاف گرانش میشه که باعث کاهش اثر گرانش میشه نه تغییر اون
شوخی کردم
حرفات درست نیست
شرمنده تو این جور بحثا من فقط تایید یا رد می کنم نمی تونم توضیح بدم
باشه چون تویی
جرم تغییری نمی کنه همونه حالا به خاطر جرم که همیشه طی این حرکت ثابته نیروی پرانش بهش وارد میشه اگرم هوا باشه هوا باعث مقاومت و نیروی بر خلاف گرانش میشه که باعث کاهش اثر گرانش میشه نه تغییر اون
-
rohamavation
نام: roham hesami radرهام حسامی راد
محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2
عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴
پست: 3289-
سپاس: 5494
- جنسیت:
تماس:
Re: ژیروسکوپ
یک توپ جامد و یک استوانه جامد از یک سطح شیب دار میغلتند. هر دو از استراحت در یک زمان و مکان شروع میکنند. که میشودبدون دانستن جرم و شعاع هر کدام نمیتوان نظر داداماتوپ جامد، با فرض اینکه هر دو جسم دارای شعاع و جرم یکسان هستند.جسمی که ممان اینرسی کمتری داره ابتدا به پایین سطح شیب دار میرسه. ممان اینرسی به توزیع جرم بستگی داره. هر چه جرم به محور نزدیکتر باشه گشتاور اینرسی کمتره
$I=∫r^2dm$ توپ $=\frac{2}{5}MR^2$وسیلندر$=\frac{1}{2}MR^2$تحلیل شما باید شامل تغییر از انرژی پتانسیل گرانشی به انرژی جنبشی انتقالی مرکز جرم جسم$\frac12mv^2$ باشه
و انرژی جنبشی دورانی جسم $\frac 12 I_{\rm C}\omega^2$
جایی که$I_{\rm C}$ اینرسی ممان حول محور افقی از مرکز جرمه همچنین باید فرض کنید که شرایط بدون لغزش بین سرعت خطی و سرعت چرخشی v=rωاز آنجایی که این اجسام در حال غلتیدن هستند (به جز ذره)، انرژی پتانسیل اولیه خود را به انرژی جنبشی انتقالی و همچنین به انرژی جنبشی چرخشی تبدیل کردنه $mgh=\frac{1}{2}mv^2 +\frac{1}{2}I\omega^2=KE_{\text{final}}$و بنابراین مقادیر مختلفی برای انرژی جنبشی دورانی دریافت خواهید کرد. اما توجه داشته باشین که در همان زمان انرژی جنبشی کل نهایی برای هر یک یکسان خواهد بود.
وقتی یک کره و یک حلقه روی شیب دارین به دلیل ممان اینرسی کمتر کره همیشه سریعتر به سمت پایین میغلته. و این مورد بدون توجه به زاویه شیبه. اما اگر زاویه 90∘ باشد چه؟
(اصولاً سقوط آزاد). آیا کره نباید دوباره سریعتر به زمین برسه((چون زاویه شیب مهم نیست)؟ اما بدیهی است که اینطور نیست زیرا اگر دو جسم در حال چرخش در حال سقوط آزاد باشند همزمان به زمین برخورد میکنند پس چه چیزی این پدیده را توضیح میده
اوه و هنگامی که کره و حلقه در حال سقوط از شیب هستند هیچ لغزیدی وجود نداره می‌خواهم بدانم آیا لغزش یا عدم لغزش بر پاسخ سؤال قبلی من تأثیر میگذاره
همچنین دو جسم قبل از قرار گرفتن در شیب میچرخند. بنابراین اصطکاک ممکنه به چرخش کمک کنه اما من قبلاً به اجسام یک چرخش اولیه دادم.اگر به هیچ وجه نیاز به لیز خوردن نداره حتی در مورد 90∘ شیب سپس کره همچنان سریعتر از حلقه "سقوط" میکنه. زیرا غلتیدن بدون لغزش نیاز به نیروی اصطکاک داره. البته، هر چه زاویه شیب بزرگتر باشد، لغزش راحت‌تر اتفاق میافته و بدون هیچ نیروی دیگری در 90∘ من باید "لغزش" داشته باشم (در واقع فقط در حال سقوط با هر دو جسم و سپس برخورد با زمین در همان زمان). اما اگر نیروی دیگری داشتم که اجسام را به سمت 90∘ هل میداد در آن صورت با همان سرعت "سقوط" نخواهند کرد.در واقع میتوان نشان داد که شتاب هر جسم داده میشه
$a=\frac{g\sin\theta}{1+\gamma}$جایی که $\gamma$ ازمماناینرسی جسم $I=\gamma mR^2$ بدست میاید. البته وقتی θ=90∘
این شتاب همچنان به $\gamma$ بستگی داره اما این به این دلیله که من در وهله اول غلت زدن را بدون لغزش فرض کردم. در واقع برای رسیدن به نورد بدون لغزش روی 90∘
برای جلوگیری از لغزش باید نیرویی کاملاً عمود بر شیب اعمال کرد (و نیرویی در این جهت شتاب ذکر شده در بالا را تغییر نمیده). بدون این نیرو اساساً نیروی اصطکاک ندارم و از این رو سقوط آزاد دارم .هنگامی که زاویه incine 90o باشه هیچ اصطکاک نمیتواند روی اجسام وارد شود. این به این دلیه که اصطکاک جنبشی بین دو سطح با نیروی عادی بین آنها نسبت مستقیم داره. هنگامی که شیب عمودی باشه هیچ واکنش طبیعی وجود نداره زیرا هیچ جزء افقی از اجسام در حال سقوط وجود نداره
هنگامی که آنها در حال غلتیدن از شیب هستند نیروی اصطکاک روی یک حلقه بیشتر از یک کره است. به همین دلیله که کره سریعتر است. هنگام سقوط هیچ نیروی اصطکاکی وجود نداره و بنابراین هر دو با یک شتاب سقوط میکنند (بدون توجه به اینکه قبلاً در حال چرخش هستند یا نه).$-z = gt^2/2$دو استوانه، یکی توخالی (فلزی) و دیگری جامد (چوبی) با جرم و ابعاد یکسان به طور همزمان اجازه دارند بدون لغزش یک صفحه شیبدار از همان ارتفاع به پایین غلت بخورند. استوانه توخالی ابتدا به پایین صفحه شیبدار میرسداین اختلاف ممان جرمی اینرسی نامیده می شود. برای حالت کلی استوانه با دیواره داخلی و خارجی
$I_{\rm cyl} = \frac{m}{2} \left( r_O^2 + r_I^2 \right)$دو حالت سیلندر جامد -$r_O = R$
، $r_I = 0$$I_{\rm cyl} = \frac{m}{2} R^2$سیلندر توخالی $r_O = R$$r_I=R$$I_{\rm cyl} = \frac{m}{2} 2 R^2 = m R^2$حالا یک استوانه توخالی بردارید و یک گاز (بدون مایع) داخل آن اضافه کنید که با سیلندر میچرخه (محلول حالت پایدار) سپس گاز به گشتاور جرمی اینرسی اضافه میشود و در همان شرایط سیلندر را کاهش میده (شتاب کمتری دارد). .
کل MMOI هم$I_{\rm total} = I_{\rm cyl} + I_{\rm gas} = m_{\rm cyl} R^2 + \frac{m_{\rm gas}}{2} R^2$بنابراین در تئوری بله اما در واقعیت از $m_{\rm gas} \ll m_{\rm cyl}$
ممان اینرسی یک جسم به عوامل زیر بستگی داره: جرم جسم. اندازه و شکل جسم . توزیع جرم حول محور چرخش. موقعیت و جهت محور چرخش نسبت به بدنه.ممان اینرسی،میدونی اینرسی چرخشی یک جسم - یعنی مخالفتی که جسم با تغییر سرعت چرخش حول یک محور با اعمال گشتاور (نیروی چرخش) از خود نشان میده محور ممکنه داخلی یا خارجی باشه و ممکنه ثابت باشه یا نباشه ممان اینرسی. ممان اینرسی در مورد هر نقطه یا محور حاصل ضرب مساحت و فاصله عمود بین نقطه یا محور تا مرکز ثقل آن ناحیه است. این اولین ممان منطقه نامیده میشه
عواملی که ممان اینرسی جسم را تغییر میده ببین جرم آن،نحوه توزیع آن جرم – که بر اساس شکل و شعاع آن تعیین میشه
چرا ممان اینرسی برای محورهای مختلف متفاوته
گشتاور اینرسی یک جسم به جرم موقعیت جسم محور چرخش و توزیع جرم جسم حول محور چرخش آن بستگی داره. بنابراین ممان اینرسی یک جسم خاص ممکنه در مورد محورهای مختلف متفاوت باشه ایا دو جسم با جرم یکسان میتونند گشتاورهای اینرسی متفاوتی داشته باشند؟
اگر دو جسم دارای جرم و شعاع یکسان اما توزیع جرم متفاوت باشند گشتاورهای اینرسی آنها متفاوته برای مثال، گشتاور اینرسی جسم B در مقایسه با A بیشتره اگر هر دو جسم هم جرم باش زیرا جرم در مورد B در شعاع های بزرگتری قرار داره
چرا دو سیلندر با جرم یکسان اما گشتاورهای اینرسی متفاوت فواصل متفاوتی را میچرخونن یک راه اسون برای مشاهده این موضوع، با فرض اینکه هر دو بدون لغزش غلت میخورند و هیچ اصطکاک وجود نداره بقای در انرژی است . شرط عدم لغزش $v=\omega r$ است. انرژی کل یک سیلندره $E = \frac{1}{2}(I\omega^2+mv^2)$شرط برای عدم لغزش و حل برای v، با $E=mgh$:
$v^2 = \sqrt{\frac{2gh}{\frac{I}{mR^2}+1}}$برای یک استوانه توخالی$I = mR^2$در حالی که برای یک استوانه پر$I=\frac{mR^2}{2}$ است. همانطور که من انتظار دارم نسبت سرعت ها زمانی که تمام انرژی پتانسیل به جنبشی تبدیل میشه خواهد بود
$\frac{v_{full}}{v_{hollow}} = \sqrt{4/3} \approx 1.15$
بنابراین سیلندر پر شده در واقع با توجه به ملاحظات انرژی سریعتره
برای پاسخ به سوالم بدون توجه به اصطکاک زمان تعامل مهم نیست با این حال من فکر میکنم که حتی اگر اصطکاک را معرفی کنم نتیجه باید تقریباً یکسان باشه با فرض اینکه اصطکاک وابسته به سرعت نباشه (بنابراین مقاومت هوا نیست) زیرا هر دو جرم و هندسه یکسان دارن با این حال این فقط یک حدسه اما من فکر میکنم در یک آزمایش اثر اولیه به دلیل اصطکاک نیست بلکه به خاطر ممانهای مختلف بینه
اگر اثر اصطکاک وابسته به سرعت را معرفی کنم ، آنگاه مشکل بی اهمیت میشه. من فکر میکنم با توجه به شرایط اولیه متفاوت یک رول مشخص همیشه برنده نخواهد شد. خوب با اصطکاک هوا، هر رول با توجه به شرایط مناسب می تواند از نظر مسافت
دو استوانه با جرم شعاع اندازه شکل و ویژگی زاویه‌ای یکسان هر دو در حال چرخشند. آیا این دو سیلندر یکسان با وجود جهت آنها اینرسی یکسان دارند؟به عنوان مثال اگر محور چرخش موازی با محور تقارن باشه اما با محور تقارن منطبق نباشه توزیع جرم حول محور چرخش نامتقارن خواهد بود. به ویژه، مرکز جرم روی محور چرخش قرار نخواهد گرفت. هنگامی که محور چرخش افقیه نیروی گرانشی بر مرکز جرم، گشتاوری را در امتداد محور اعمال میکنه که با چرخش استوانه تغییر میکنه. با چرخش سیلندر سرعت زاویه ای تغییر میکنه. سیلندر میتونه به جای چرخش نوسان کنه. هنگامی که محور چرخش عمودیه گشتاور بر محور چرخش عموده . بر حرکت استوانه ای که با سرعت زاویه ای ثابت میچرخه و نوسان نمیکنه در این جهت تأثیر نمیگذاره.جهت گیری فقط بر ممان جرمی 3×3 تانسور اینرسی تأثیر میگذاره که از یک قاب اینرسی مشترک مشاهده شود. تانسورهای اینرسی در قاب های بدنه آنها یکسانه
به عنوان مثال، در سیستم مختصات جهانی تانسورهای زیر تعریف میشن
$\begin{align}
I_1 & = \begin{bmatrix} \frac{m}{12} ( \ell^2+3 r^2) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{m}{2} r^2 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{m}{12} ( \ell^2+3 r^2) \end{bmatrix} \\
I_2 & = \begin{bmatrix} \frac{m}{2} r^2 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{m}{12} ( \ell^2+3 r^2) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{m}{12} ( \ell^2+3 r^2) \end{bmatrix} \end{align}$
حالا چون بردارهای چرخش متفاوته
$\begin{align} \vec{\omega}_1 & = \pmatrix{0& \Omega & 0}^\top & \vec{\omega}_2 & = \pmatrix{\Omega &0 & 0}^\top \end{align}$
مقادیر تکانه زاویه ای یکسانه
$\| \vec{L}_1 \| = \| I_1 \vec{\omega}_1 \| = \| \pmatrix{ 0 & \frac{m}{2} \Omega r^2 & 0}^\top \| = \frac{m}{2} \Omega r^2$
$\| \vec{L}_2 \| = \| I_2 \vec{\omega}_2 \| = \| \pmatrix{ \frac{m}{2} \Omega r^2 & 0 & 0}^\top \| = \frac{m}{2} \Omega r^2$
چرا انرژی جنبشی همه اجسام دایره‌ای که از صفحه شیبدار با جرم یکسان میغلتند یکسانه؟در نورد خالص کره جامد ابتدا با سرعت نهایی بیشتر به زمین میرسد و به همین ترتیب
$(KE)_{\text{SolidSphere}}= \frac{1}{2}mv^2$
از آنجایی که کره جامد سرعت نهایی بیشتری دارد باید KE بیشتری داشته باشه اما باز هم این با U=mgh تناقض داره همه اجرام جرم و ارتفاع یکسان دارن بنابراین انرژی پتانسیل یکسانی دارن و من میدونم که
از دست دادن انرژی پتانسیل = افزایش در انرژی جنبشیه یعنی $KE = \frac{1}{2}mv^2$ در اینجا بی فایدیه یا نامعتبر؟
از آنجایی که این اجسام در حال غلتیدن هستند (به جز ذره)، انرژی پتانسیل اولیه خود را به انرژی جنبشی انتقالی و همچنین به انرژی جنبشی چرخشی تبدیل کرده. بنابراین معادلهام باید به این صورت باشه
$KE=\frac 12mv^2+\frac 12I\omega ^2$
بنابراین، I ممان اینرسی، نقش بزرگی ایفا میکنه. این یک واقعیت مهمه که تعیین میکنه چه جسمی سریعتر پایین میاد. اگرچه جرم هر جسم یکسانه اما توزیع جرم حول محور چرخش آنها اهمیت داره. این همان تعریف سادمه
اگرچه به صورت موازی هر جسم دارای انرژی جنبشی خالص نهایی یکسانیه زیرا اتلاف انرژی وجود نداره به این دلیله که؛ اگرچه آنها I متفاوت دارن اما v نهایی متفاوتی نیز دارن. این باعث میشه مقداری که از معادله بالا برای هر شی محاسبه میکنم یکسان باشه. بدون تناقض!هنگام بررسی چنین مسائلی توجه میکنم که کل انرژی جنبشی برای هر جسم مجموع انرژی جنبشی انتقالی و چرخشیشه. به این معنا که $KE=\frac{1}{2}mv^2 +\frac{1}{2}I\omega^2$
هر جسم دارای گشتاور اینرسی I متفاوتی خواهد بود و بنابراین مقادیر متفاوتی برای انرژی جنبشی دورانی دریافت خواهید کرد. اما توجه داشته باشید که در همان زمان، انرژی جنبشی کل نهایی برای هر کدام یکسان خواهد بود.
اگر همه آنها با انرژی پتانسیل یکسانی شروع میشوند به دلیل پایستگی انرژی باید چنین باشه. به این معنا که$mgh=\frac{1}{2}mv^2 +\frac{1}{2}I\omega^2=KE_{\text{final}}$
نکته این است که همه آنها مقادیر متفاوتی برای سرعت انتقال v دارند اما همه آنها باید انرژی جنبشی کل نهایی یکسانی داشته باشن
نکته جانبی: ذره احتمالاً دارای اتلاف انرژیه زیرا صفحه برای ایجاد اصطکاک باید ناهموار باشد (اگر اصطکاک وجود نداشته باشد، اجسام دیگر غلت نمیخورند فقط میلغزند)
آیا یک کره یا استوانه سریعتر از سطح شیب دار میغلته
اجسام با جرم و شعاع مساوی اما شکل متفاوت یا توخالی یا توخالی با سرعت های مختلف از شیب پایین میروند. کره جامد سریعتر از استوانه جامده زیرا کره دارای گشتاور اینرسی کمتر و انرژی جنبشی انتقالی بالاتریه .اجسام با جرم و شعاع مساوی اما شکل متفاوت یا توخالی یا توخالی با سرعت های مختلف از شیب میغلتند. کره جامد سریعتر از استوانه جامده چون کره دارای گشتاور اینرسی کمتر و انرژی جنبشی انتقالی بالاتریه جسم توخالی کندتر از جسم جامد معادله.یک کره جامد و یک استوانه جامد که هر کدام جرم و شعاع یکسانی دارن با هم در بالای صفحه شیبدار رها میشن و بدون لغزش بلکه با اصطکاک غلتشی ناچیز میغلتند.
توضیح دهید که چرا، علیرغم اینکه هر دو باید انرژی کل یکسانی داشته باشند، کره همیشه ابتدا به پایین میرسه
انرژی کل هر جسم مجموع انرژی پتانسیل، انرژی جنبشی خطی و انرژی جنبشی دورانی است:$E=mgh+ \frac 12mv^2+\frac 12I\omega ^2$ممان اینرسی یک کره جامد یکنواخت $2mr^2/5$
2 . ممان اینرسی یک استوانه جامد یکنواخت به جرم m برابر $mr^2/2$
شرط عدم لغزش به این معنی است که v، مساویه امگا، r،v=ωr بنابراین کل انرژی به E ساده میشه
برای کره و E، زیرنویس شروع، c، زیرنویس پایان، برابر است، $E=mgh+ \frac{7}{10}mr^2+$
برای سیلندر$E=mgh+ \frac{3}{4}mr^2+$این یعنی که چون انرژی کل آنها همیشه یکسانه برای هر ارتفاع h،h سرعت کره باید بیشتر باشه. بنابراین کره همیشه ابتدا به پایین میرسه.
دو جسم با جرم یکسان اما توزیع جرم متفاوت به طور متفاوتی میچرخند.
دو جسم با جرم متفاوت اما شکل بیرونی مشابه می توانند کاملاً متفاوت بغلتند. پوسته سبک‌تر از یک استوانه جامد سنگین‌تر کندتر میچرخه و نشون میده که R^2$ $بر گزینه جرم پیروز میشه.پاسخ بهش به این دلیله که ممان اینرسی برای استوانه جامد با سیلندر توخالی یکسان نیست.
همانطور که فرمول ممان اینرسی را مینویسیم و میدونم به توزیع جرم بستگی داره هر چه جرم از محور چرخش دورتر باشه بیشتر به ممان اینرسی کمک میکنه (مانند فاصله مجذور r^2$.$
بنابراین از اونجایی که استوانه توخالی تمام جرم خود را در مرزش داره در مقایسه با استوانه جامد که تمام جرم خود را از مرکز (با سهم بسیار کمی) به مرز توزیع میکنه گشتاور اینرسی بالاتر و در نتیجه انرژی چرخشی بیشتری داره.هنگامی که یک جسم در حال غلتیدن از سطح شیب داره انرژی آن از سه جزء تشکیل شده
$𝑚𝑔ℎ=1/2𝑚𝑣^2+12𝐼𝜔^2$
اولین عبارت انرژی پتانسیله. این انرژیه که برای بلند کردن جسم از سطح شیب دار صرف میشه.
اصطلاح دوم انرژی جنبشی انتقالیه. این انرژیه که برای حرکت جسم به سمت پایین سطح شیبدار لازمه
عبارت سوم انرژی جنبشی دورانیه. این انرژیه که برای چرخش جسم لازمه این برابر است با
$1/2𝐼𝜔^2$
، با 𝐼 بودن ممان اینرسی (مقاومت جسم در برابر چرخش) و 𝜔 سرعت زاویه ایه
برای استوانه توخالی جرم در دورترین فاصله از مرکز قرار میگیره و بنابراین 𝑟 بزرگ، 𝐼 بزرگ و در نتیجه کنده. در مورد استوانه جامد توزیع جرم نزدیکتر به مرکز اتفاق میافته بنابراین سرعت 𝐼 کمتر و بالاترین سرعت را داره
بنابراین استوانه جامد ابتدا به پایین میرسه
دو جسم با جرم‌های مختلف و شکل‌های متفاوت میتونند به طور کاملاً مشابه (نه کاملاً) بچرخند.
دو جسم با توزیع جرم هندسی مشابه (2 استوانه جامد مختلف یا 2 استوانه توخالی متفاوت) مستقل از شعاع یا جرم غلت میزنن. زمان نزول فقط به "ضریب ضرب هندسی"$ k، $I=kmR^2 بستگی داره.هر جسم از یک ارتفاع شروع می شود و در همان ارتفاع به پایان می رسد و انرژی پتانسیل گرانشی خود را به انرژی جنبشی تبدیل می کند. برای اجسام گسترده ای که می چرخند، انرژی جنبشی جسم مجموع انرژی جنبشی انتقالی (خط مستقیم) و انرژی جنبشی چرخشیه زیرا انرژی لازمه تا یک جسم سرعت چرخش خود را افزایش بده. توجهمیکنم که برای دستیابی به افزایش برابر در سرعت چرخش جسمی با گشتاور اینرسی زیاد در مقابل جسمی با ممان اینرسی کوچک، انرژی بیشتری لازم است. با فرض جرم مساوی برای اجسام، به این معنی است که تمام اجسام با انرژی جنبشی کل دقیقاً یکسان به پایین سطح شیب دار می رسند، اما این انرژی جنبشی کل بین انرژی جنبشی انتقالی و انرژی جنبشی چرخشی تقسیم میشود. بنابراین اجسامی با انرژی جنبشی چرخشی بالاتر (به عبارت دیگر گشتاور اینرسی بالاتر) انرژی جنبشی انتقالی کمتری دارن و از این رو سرعت پایینتری در پایین شیب دار خواهند داشت. توجه داشته باشید که این افکت حتی اگر اجسام در تصویر دارای جرم های متفاوت باشند نیز اعمال می شود.تجزیه و تحلیل شما باید شامل تغییر از انرژی پتانسیل گرانشی به انرژی جنبشی انتقالی مرکز جرم جسم $\frac12mv^2$و انرژی جنبشی چرخشی جسم$\frac 12 I_{\rm C}\omega^2$ باشه که در آن IC اینرسی گشتاور در مورد یک محور افقی از طریق مرکز جرمه
همچنین باید فرض کنم که شرط عدم لغزش بین سرعت خطی و سرعت چرخشی v=rω برآورده شده .فرض میکنم من دو سیلندر دارم: یکی سبک و دیگری سنگین. حالا من اجازه میدم سیلندرها بدون لیز خوردن از یک سطح شیبدار پایین بیایند. سوال من اینه که کدام یک ابتدا به پایین سطح شیب دار میرسد و چرا؟
به نیروی خالص برای یک استوانه در یک صفحه شیب توجه میکنم
$\Sigma F_{\parallel} = mg\sin{\theta} - f\tag{1}$
که در آن f نیروی اصطکاکه
اکنون گشتاور مربوط به COM (که نقطه ای است که در آن چرخش وجود دارد) اینه
$\Sigma \tau = Rf \tag{2}$
که در آن R شعاع سیلندر است. با قانون دوم نیوتن معادله (1) و (2) تبدیل میشه
$ma = mg\sin{\theta} - f\tag{3}$
$I\alpha = Rf \tag{4}$
از آنجایی که لغزیدن $a = R \alpha$ وجود نداره.
$I \dfrac{a}{R} = Rf \tag{5}$
حالا قسمت مهم اینجاست. فرض کنید DENSITY در هر دو سیلندر یکنواخته. این به معنای جرم یکسان نیست بلکه در هر نقطه از استوانه یکسانه. در آن صورت، اینرسی (در مورد محوری که از COM و هر وجهی از سیلندر عبور میکند) است.$I=\dfrac{1}{2}mR^2$ که در آن R شعاع و m جرمه
بیایید آن را در (5) جایگزین کنم و دریافت کنم
$\dfrac{1}{2}mR^2 \dfrac{a}{R} = Rf \quad \implies \quad \dfrac{1}{2}ma = f \tag{6}$
حالا اجازه میدم (6) و (3) را با هم ترکیب کنم تا $ma = mg\sin{\theta} - \dfrac{1}{2}ma.\tag{7}$
توجه میکنم که جرمهاا همه لغو میکنند
$a = \dfrac{2}{3} g\sin\theta.\tag{8}$
توجه دارم که (8) نه به جرم بستگی داره و نه به شعاع. بنابراین هر دو سیلندر شتاب یکسانی را تجربه خواهند کرد. از آنجایی که شتاب هر سیلندر یکسانه (و هر دو از یک نقطه از حالت سکون شروع میشوند) هر دو در یک زمان مستقل از جرم یا شعاع (باز هم با فرض چگالی یکنواخت) خواهند رسید.
با فرض اینکه استوانه ها از نظر ظاهری یکسان هستند و فقط از موادی با چگالی های مختلف ساخته شدن. سپس گشتاور در مورد COM نابرابر خواهد بود اما شتاب برابر خواهد بود.
$\tau(torque) \propto Mass$
زیرا گشتاور گرانشی و سایر پارامترها برابرن
$\tau(torque)=I\alpha$
$I \propto Mass$
بنابراین من α مستقل از جرم بدست میارم. حالا چون اینها برای هر دو سیلندر برابرن. بنابراین هر محاسبه حرکتی یا چرخشی که انجام میدم باید برای هر دو برابر باشه
تمایز بین کره های جامد و کره های توخالی (جرم برابر)
اگر دو کره (توخالی و جامد) با جرم و شعاع مساوی وجود داشته باشم و بخواهم کره توخالی را بدون استفاده از هیچ وسیله ای پیدا کنیم.اجازه دهید هر دو در یک صفحه شیبدار به پایین بغلتند. کره توخالی کندتر از کره جامد شتاب میگیرد (به دلیل ممان های اینرسی متفاوت)پاسخ اینکه جامد ابتدا به پایین میرسد. در آن مورد خاص درسته که استوانه جامد گشتاور اینرسی کمتری نسبت به سیلندر توخالی داره (اگرچه جرم آنها یکسانه اما تمام جرم استوانه توخالی در اطراف لبه بیرونی آن متمرکز شده بنابراین ممان اینرسی آن بیشتره .سیلندر توخالی در مقابل سیلندر جامدبه لطف تکانه زاویه‌ای، میدونم که استوانه‌های توخالی در هنگام فرود آمدن در یک صفحه شیبدار کندتر از سیلندرهای جامد هستند - آیا این تفاوت در سرعت (یا زمان صرف شده برای رسیدن به انتهای شیب)
این اختلاف ممان جرمی اینرسی نامیده میشه. برای حالت کلی استوانه با دیواره داخلی و خارجی فرمول $I_{\rm cyl} = \frac{m}{2} \left( r_O^2 + r_I^2 \right)$
سیلندر جامد - $r_O = R$، $r_I = 0$
$I_{\rm cyl} = \frac{m}{2} R^2$
سیلندر توخالی$r_O = R$,$r_I=R$
$I_{\rm cyl} = \frac{m}{2} 2 R^2 = m R^2$
حالا یک استوانه توخالی برمیدارم و یک گاز (بدون مایع) به داخل آن اضافه میکنم که با سیلندر میچرخه (محلول حالت پایدار) سپس گاز به گشتاور جرمی اینرسی اضافه میکنه و در همان شرایط سیلندر را کاهش میده (شتاب کمتری داره.
کل MMOI عبارت است
$I_{\rm total} = I_{\rm cyl} + I_{\rm gas} = m_{\rm cyl} R^2 + \frac{m_{\rm gas}}{2} R^2$
بنابراین در تئوری بله، اما در واقعیت از mgas≪mcyl من تفاوتی را متوجه نمیشم
اگر مقدار اصطکاک به اندازه ای باشد که سیلندرها بدون لغزش غلت بخورند تمام آنچه در بالا گفتم درست است، اما اگر اصطکاک کمتری داشته باشم سیلندرها فقط از سطح شیب دار میلغزند و سرعت یکسانی دارند.
نظریه رابطه بین جرم یک استوانه و زمان صرف شده برای غلتیدن آن از یک شیب - مقاومت هوا؟
من معادله حرکت استوانه ای را پیدا کردم که از یک سطح شیب دار غلت میخورد و اصطکاک غلتشی را نادیده میگرفتم. درگ درجه دوم به این معنی است که نیروی DRAG متناسب با $v^2$ است. معادله حرکت به شرح زیره که در آن x کل مسافت طی شده از سطح شیب دار را نشان میدهد:$\ddot{x}=\frac{2}{3}g\sin{\theta}-\frac{\rho A C_d}{m}\dot{x}$
اولین ترم را توسط مکانیک لاگرانژی پیدا کردم نوشتن$T=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I\omega ^2$
$V=-mgx\sin{\theta}$برای یک استوانه، $I=\frac{1}{2}mr^2$ و $\omega = \frac{v}{r}$
حل معادله لاگرانژ$\frac{d}{dt} ( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}})= \frac{\partial L}{\partial x}$
می دهد$\ddot{x}=\frac{2}{3}g\sin{\theta}.$
در مرحله بعد، من فقط عبارت درگ درجه دوم $F_d=\frac{1}{2}\rho v^2 C_d A$را وارد کردم و بر جرم از طریق F=ma تقسیم کردم.
از آنجایی که $v^2=\dot{x}^2$، می تونم آن را در معادلات جایگزین کنم. بقیه عبارات به جرم بستگی ندارند (A مربوط به جرم از طریق ρسیلندر است، اما ρ در معادله ρ هوا است)
با حل این معادله دیفرانسیل، $a=\frac{2}{3}g\sin{\theta}$ و$b=\rho A C_d$ را تنظیم می کنیم
$x=\frac{a}{b}mt+\frac{c_1 m}{b}e^{\frac{-bt}{m}}+c_2.$
با استفاده از این معادله و تنظیم x(0)=x˙(0)=0 (از آنجایی که x مسافتی است که از سطح شیب دار پایین آمده میتونم محاسبه کنم$c_1=\frac{a}{b}m$و$c_2=-\frac{am^2}{b^2}$
که معادله نهایی را به ما می دهد$x=\frac{a}{b}mt+\frac{a m^2}{b^2}e^{\frac{-bt}{m}}-\frac{am^2}{b^2}.$
حل این معادله غیرممکن بسیار دشواره
.
برای یک کره جامد،ممان اینرسیه
$I = \frac{2}{5}mr^2$ با جرم m و شعاع r.برای یک کره توخالیه
$I = \frac{2}{3}mr^2$
بنابراین، کره توخالی گشتاور اینرسی بیشتری دارد و تحت همان گشتاور، شتاب کمتری خواهد داشت$M = I \frac{d\omega}{dt}$با سرعت زاویه ای ω و گشتاور M.
یک استوانه توپر و یک استوانه جامد دیگر با جرم یکسان اما دو برابر شعاع در یک صفحه شیب دار با ارتفاع h از همان ارتفاع شروع می شوند و بدون لغزش م غلتند. سیلندرها را به صورت دیسک هایی با ممان اینرسی $(1/2)mr^2$ در نظر بگیرم. کدام یک ابتدا به پایین صفحه شیب میرسد؟$Mgh=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}I\left(\frac{v^2}{R^2}\right)\tag{1}$
اما ممان اینرسی یک سیلندر به صورت زیره $I=M\frac{R^2}{2}\tag{2}$بنابراین، ترکیب Eqns. 1 و 2 میده
$Mgh=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{4}Mv^2\tag{3}$
با محاسبه M از هر دو طرف معادله $gh=\frac{1}{2}v^2+\frac{1}{4}v^2\tag{4}$بنابراین، با حل v، دارم
$v=\sqrt{\frac{4gh}{3}}$
توجه که این مستقل از شعاع سیلندره. بنابراین، هر دو سیلندر در زمان یکسانی از سطح شیب دار پایین میروند.
پایستگی انرژی بهم یاد داده که انرژی پتانسیل با سقوط دیسک ها تبدیل به انرژی جنبشی میشه. اگر بدون لغزش غلت بخورند مقداری انرژی به انرژی جنبشی انتقالی و مقداری به انرژی جنبشی چرخشی میرود.
شرایط غلتش بدون لغزش مستلزم اونه که سرعت دیسک برابر با سرعت چرخشی ضربدر شعاع $v=\omega R$باشد.
انرژی جنبشی کل $\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}I\omega^2$
بنابراین:
$Mgh=\frac{1}{2}Mv_1^2+\frac{1}{2}I_1(\frac{v_1^2}{R^2})=\frac{1}{2}Mv_2^2+\frac{1}{2}I_2\frac{v_2^2}{4R^2}$
$I_1=\frac{1}{2}MR^2$
$I_2=\frac{1}{2}4MR^2=2MR^2$می‌توانیم نسبت سرعت‌های مجذور را بگیریم:
$\frac{1}{2}Mv_1^2+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}MR^2)(\frac{v_1^2}{R^2})=\frac{1}{2}Mv_2^2+\frac{1}{2}(2MR^2)\frac{v_2^2}{4R^2}$
$\frac{1}{2}Mv_1^2+\frac{1}{4}(M)(v_1^2)=\frac{1}{2}Mv_2^2+\frac{1}{4}(M)v_2^2$
$\frac{v_1^2}{v_2^2}=\frac{1+\frac{I_2}{4MR^2}}{1+\frac{I_1}{MR^2}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}=1$
بنابراین من درست محاسبه کردم با استفاده مداوم از شعاع های مناسب، سرعت ها یکسان میشوند.
جواب دومی
از آنجایی که اصطکاک مسئول حرکت چرخشیه
این یک فرض است. حرکت چرخشی می تواند ناشی از چیز دیگری باشد (مانند شفت محرک یا موتور الکتریکی).
برای یک جسم غلتان کاری که اصطکاک انجام میده این است که حرکت چرخشی و حرکت جانبی را به هم متصل میکنه
مورد دوم اسونتره برای تجزیه و تحلیله سیلندر روی شیب قرار دارده جاذبه آن را از سطح شیب دار پایین میکشه (حرکت خطی). اصطکاک یک گشتاور ایجاد میکند تا حرکت چرخشی ایجاد کنه
مورد اول کمی آشکارتر است. به جای اینکه چیزی سیلندر را مجبور به حرکت خطی کند فرض میکنم که چیزی سیلندر را میچرخونه (گشتاور در جهت چرخش اعمال میشه). این شتاب چرخشی با اصطکاک مخالفه که سیلندر را به جلو میرونه
بنابراین دلیل مخالف جهت اصطکاک اینه که در یک مورد حرکت خطی باعث حرکت چرخش میشه و در حالت دیگر چرخش باعث حرکت خطی میشه
اولین موردی که من فرض میکنم در حال چرخش است یا از قبل در حال چرخش است، بنابراین اصطکاک و گشتاور متعاقب آن از لغزش آن بر روی سطح جلوگیری میکند و به جای اینکه فقط بچرخد، حرکت میکند.
برای دوم اگر اصطکاک وجود نداشت جسم به دلیل گرانش بدون غلتش به پایین سطح میلغزد اما اصطکاک با نحوه حرکتش مخالفه و باعث چرخش آن میشه
غلتیدن بدون لیز خوردن نقطه تماس را به عنوان محور
معادله حرکت
$\text{torque about stationary geometrical point O} = \text{moment of inertia w.r.t. O} \times \text{angular acceleration w.r.t. O}$
تنها در صورتی معتبر است که حرکت جسم چرخش مسطح حول محوری باشه که از O میگذره. این در صورتی است که نقطه O به عنوان نقطه تماس جسم در هنگام غلتش بدون لغزش در نظر گرفته شو، اما در هنگام غلتیدن با لغزش نه. به طور کلی نسخه معتبر قضیه گشتاور - تکانه زاویه ای است
$\text{torque about stationary geometrical point O} = \ = \frac{d}{dt}\left(\text{angular momentum w.r.t. stationary geometrical point O}\right).$
اگر جسم با لغزش در حال غلتیدن باشد هیچ نقطه هندسی ثابتی روی زمین وجود نداره که تکانه زاویه ای آن را بتوان به صورت $I_O\omega_O$با $I_O$ ثابت در زمان نوشت و معادله دوم به حالت اول کاهش نمییابد.به عنوان یک نیروی نامتعادل، f برای شتاب دادن به دیسک عمل میکنه از آنجایی که در پایین دیسک قرار داره O نیز باید شتاب بگیره و بنابراین در یک چارچوب مرجع غیر اینرسی قرار داره.
آن فریم غیر اینرسی دارای نیروهای ساختگیند که مخالف شتابن. میتونم نیروی f′ را رسم کنم که از مرکز جرم در جهت مخالف f وارد میشه
از آنجایی که از طریق مرکز جرم عمل میکنه گشتاوری نسبت به O ایجاد میکنه و می تواند سرعت زاویه ای را کاهش بده.
$I=∫r^2dm$ توپ $=\frac{2}{5}MR^2$وسیلندر$=\frac{1}{2}MR^2$تحلیل شما باید شامل تغییر از انرژی پتانسیل گرانشی به انرژی جنبشی انتقالی مرکز جرم جسم$\frac12mv^2$ باشه
و انرژی جنبشی دورانی جسم $\frac 12 I_{\rm C}\omega^2$
جایی که$I_{\rm C}$ اینرسی ممان حول محور افقی از مرکز جرمه همچنین باید فرض کنید که شرایط بدون لغزش بین سرعت خطی و سرعت چرخشی v=rωاز آنجایی که این اجسام در حال غلتیدن هستند (به جز ذره)، انرژی پتانسیل اولیه خود را به انرژی جنبشی انتقالی و همچنین به انرژی جنبشی چرخشی تبدیل کردنه $mgh=\frac{1}{2}mv^2 +\frac{1}{2}I\omega^2=KE_{\text{final}}$و بنابراین مقادیر مختلفی برای انرژی جنبشی دورانی دریافت خواهید کرد. اما توجه داشته باشین که در همان زمان انرژی جنبشی کل نهایی برای هر یک یکسان خواهد بود.
وقتی یک کره و یک حلقه روی شیب دارین به دلیل ممان اینرسی کمتر کره همیشه سریعتر به سمت پایین میغلته. و این مورد بدون توجه به زاویه شیبه. اما اگر زاویه 90∘ باشد چه؟
(اصولاً سقوط آزاد). آیا کره نباید دوباره سریعتر به زمین برسه((چون زاویه شیب مهم نیست)؟ اما بدیهی است که اینطور نیست زیرا اگر دو جسم در حال چرخش در حال سقوط آزاد باشند همزمان به زمین برخورد میکنند پس چه چیزی این پدیده را توضیح میده
اوه و هنگامی که کره و حلقه در حال سقوط از شیب هستند هیچ لغزیدی وجود نداره می‌خواهم بدانم آیا لغزش یا عدم لغزش بر پاسخ سؤال قبلی من تأثیر میگذاره
همچنین دو جسم قبل از قرار گرفتن در شیب میچرخند. بنابراین اصطکاک ممکنه به چرخش کمک کنه اما من قبلاً به اجسام یک چرخش اولیه دادم.اگر به هیچ وجه نیاز به لیز خوردن نداره حتی در مورد 90∘ شیب سپس کره همچنان سریعتر از حلقه "سقوط" میکنه. زیرا غلتیدن بدون لغزش نیاز به نیروی اصطکاک داره. البته، هر چه زاویه شیب بزرگتر باشد، لغزش راحت‌تر اتفاق میافته و بدون هیچ نیروی دیگری در 90∘ من باید "لغزش" داشته باشم (در واقع فقط در حال سقوط با هر دو جسم و سپس برخورد با زمین در همان زمان). اما اگر نیروی دیگری داشتم که اجسام را به سمت 90∘ هل میداد در آن صورت با همان سرعت "سقوط" نخواهند کرد.در واقع میتوان نشان داد که شتاب هر جسم داده میشه
$a=\frac{g\sin\theta}{1+\gamma}$جایی که $\gamma$ ازمماناینرسی جسم $I=\gamma mR^2$ بدست میاید. البته وقتی θ=90∘
این شتاب همچنان به $\gamma$ بستگی داره اما این به این دلیله که من در وهله اول غلت زدن را بدون لغزش فرض کردم. در واقع برای رسیدن به نورد بدون لغزش روی 90∘
برای جلوگیری از لغزش باید نیرویی کاملاً عمود بر شیب اعمال کرد (و نیرویی در این جهت شتاب ذکر شده در بالا را تغییر نمیده). بدون این نیرو اساساً نیروی اصطکاک ندارم و از این رو سقوط آزاد دارم .هنگامی که زاویه incine 90o باشه هیچ اصطکاک نمیتواند روی اجسام وارد شود. این به این دلیه که اصطکاک جنبشی بین دو سطح با نیروی عادی بین آنها نسبت مستقیم داره. هنگامی که شیب عمودی باشه هیچ واکنش طبیعی وجود نداره زیرا هیچ جزء افقی از اجسام در حال سقوط وجود نداره
هنگامی که آنها در حال غلتیدن از شیب هستند نیروی اصطکاک روی یک حلقه بیشتر از یک کره است. به همین دلیله که کره سریعتر است. هنگام سقوط هیچ نیروی اصطکاکی وجود نداره و بنابراین هر دو با یک شتاب سقوط میکنند (بدون توجه به اینکه قبلاً در حال چرخش هستند یا نه).$-z = gt^2/2$دو استوانه، یکی توخالی (فلزی) و دیگری جامد (چوبی) با جرم و ابعاد یکسان به طور همزمان اجازه دارند بدون لغزش یک صفحه شیبدار از همان ارتفاع به پایین غلت بخورند. استوانه توخالی ابتدا به پایین صفحه شیبدار میرسداین اختلاف ممان جرمی اینرسی نامیده می شود. برای حالت کلی استوانه با دیواره داخلی و خارجی
$I_{\rm cyl} = \frac{m}{2} \left( r_O^2 + r_I^2 \right)$دو حالت سیلندر جامد -$r_O = R$
، $r_I = 0$$I_{\rm cyl} = \frac{m}{2} R^2$سیلندر توخالی $r_O = R$$r_I=R$$I_{\rm cyl} = \frac{m}{2} 2 R^2 = m R^2$حالا یک استوانه توخالی بردارید و یک گاز (بدون مایع) داخل آن اضافه کنید که با سیلندر میچرخه (محلول حالت پایدار) سپس گاز به گشتاور جرمی اینرسی اضافه میشود و در همان شرایط سیلندر را کاهش میده (شتاب کمتری دارد). .
کل MMOI هم$I_{\rm total} = I_{\rm cyl} + I_{\rm gas} = m_{\rm cyl} R^2 + \frac{m_{\rm gas}}{2} R^2$بنابراین در تئوری بله اما در واقعیت از $m_{\rm gas} \ll m_{\rm cyl}$
ممان اینرسی یک جسم به عوامل زیر بستگی داره: جرم جسم. اندازه و شکل جسم . توزیع جرم حول محور چرخش. موقعیت و جهت محور چرخش نسبت به بدنه.ممان اینرسی،میدونی اینرسی چرخشی یک جسم - یعنی مخالفتی که جسم با تغییر سرعت چرخش حول یک محور با اعمال گشتاور (نیروی چرخش) از خود نشان میده محور ممکنه داخلی یا خارجی باشه و ممکنه ثابت باشه یا نباشه ممان اینرسی. ممان اینرسی در مورد هر نقطه یا محور حاصل ضرب مساحت و فاصله عمود بین نقطه یا محور تا مرکز ثقل آن ناحیه است. این اولین ممان منطقه نامیده میشه
عواملی که ممان اینرسی جسم را تغییر میده ببین جرم آن،نحوه توزیع آن جرم – که بر اساس شکل و شعاع آن تعیین میشه
چرا ممان اینرسی برای محورهای مختلف متفاوته
گشتاور اینرسی یک جسم به جرم موقعیت جسم محور چرخش و توزیع جرم جسم حول محور چرخش آن بستگی داره. بنابراین ممان اینرسی یک جسم خاص ممکنه در مورد محورهای مختلف متفاوت باشه ایا دو جسم با جرم یکسان میتونند گشتاورهای اینرسی متفاوتی داشته باشند؟
اگر دو جسم دارای جرم و شعاع یکسان اما توزیع جرم متفاوت باشند گشتاورهای اینرسی آنها متفاوته برای مثال، گشتاور اینرسی جسم B در مقایسه با A بیشتره اگر هر دو جسم هم جرم باش زیرا جرم در مورد B در شعاع های بزرگتری قرار داره
چرا دو سیلندر با جرم یکسان اما گشتاورهای اینرسی متفاوت فواصل متفاوتی را میچرخونن یک راه اسون برای مشاهده این موضوع، با فرض اینکه هر دو بدون لغزش غلت میخورند و هیچ اصطکاک وجود نداره بقای در انرژی است . شرط عدم لغزش $v=\omega r$ است. انرژی کل یک سیلندره $E = \frac{1}{2}(I\omega^2+mv^2)$شرط برای عدم لغزش و حل برای v، با $E=mgh$:
$v^2 = \sqrt{\frac{2gh}{\frac{I}{mR^2}+1}}$برای یک استوانه توخالی$I = mR^2$در حالی که برای یک استوانه پر$I=\frac{mR^2}{2}$ است. همانطور که من انتظار دارم نسبت سرعت ها زمانی که تمام انرژی پتانسیل به جنبشی تبدیل میشه خواهد بود
$\frac{v_{full}}{v_{hollow}} = \sqrt{4/3} \approx 1.15$
بنابراین سیلندر پر شده در واقع با توجه به ملاحظات انرژی سریعتره
برای پاسخ به سوالم بدون توجه به اصطکاک زمان تعامل مهم نیست با این حال من فکر میکنم که حتی اگر اصطکاک را معرفی کنم نتیجه باید تقریباً یکسان باشه با فرض اینکه اصطکاک وابسته به سرعت نباشه (بنابراین مقاومت هوا نیست) زیرا هر دو جرم و هندسه یکسان دارن با این حال این فقط یک حدسه اما من فکر میکنم در یک آزمایش اثر اولیه به دلیل اصطکاک نیست بلکه به خاطر ممانهای مختلف بینه
اگر اثر اصطکاک وابسته به سرعت را معرفی کنم ، آنگاه مشکل بی اهمیت میشه. من فکر میکنم با توجه به شرایط اولیه متفاوت یک رول مشخص همیشه برنده نخواهد شد. خوب با اصطکاک هوا، هر رول با توجه به شرایط مناسب می تواند از نظر مسافت
دو استوانه با جرم شعاع اندازه شکل و ویژگی زاویه‌ای یکسان هر دو در حال چرخشند. آیا این دو سیلندر یکسان با وجود جهت آنها اینرسی یکسان دارند؟به عنوان مثال اگر محور چرخش موازی با محور تقارن باشه اما با محور تقارن منطبق نباشه توزیع جرم حول محور چرخش نامتقارن خواهد بود. به ویژه، مرکز جرم روی محور چرخش قرار نخواهد گرفت. هنگامی که محور چرخش افقیه نیروی گرانشی بر مرکز جرم، گشتاوری را در امتداد محور اعمال میکنه که با چرخش استوانه تغییر میکنه. با چرخش سیلندر سرعت زاویه ای تغییر میکنه. سیلندر میتونه به جای چرخش نوسان کنه. هنگامی که محور چرخش عمودیه گشتاور بر محور چرخش عموده . بر حرکت استوانه ای که با سرعت زاویه ای ثابت میچرخه و نوسان نمیکنه در این جهت تأثیر نمیگذاره.جهت گیری فقط بر ممان جرمی 3×3 تانسور اینرسی تأثیر میگذاره که از یک قاب اینرسی مشترک مشاهده شود. تانسورهای اینرسی در قاب های بدنه آنها یکسانه
به عنوان مثال، در سیستم مختصات جهانی تانسورهای زیر تعریف میشن
$\begin{align}
I_1 & = \begin{bmatrix} \frac{m}{12} ( \ell^2+3 r^2) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{m}{2} r^2 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{m}{12} ( \ell^2+3 r^2) \end{bmatrix} \\
I_2 & = \begin{bmatrix} \frac{m}{2} r^2 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{m}{12} ( \ell^2+3 r^2) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{m}{12} ( \ell^2+3 r^2) \end{bmatrix} \end{align}$
حالا چون بردارهای چرخش متفاوته
$\begin{align} \vec{\omega}_1 & = \pmatrix{0& \Omega & 0}^\top & \vec{\omega}_2 & = \pmatrix{\Omega &0 & 0}^\top \end{align}$
مقادیر تکانه زاویه ای یکسانه
$\| \vec{L}_1 \| = \| I_1 \vec{\omega}_1 \| = \| \pmatrix{ 0 & \frac{m}{2} \Omega r^2 & 0}^\top \| = \frac{m}{2} \Omega r^2$
$\| \vec{L}_2 \| = \| I_2 \vec{\omega}_2 \| = \| \pmatrix{ \frac{m}{2} \Omega r^2 & 0 & 0}^\top \| = \frac{m}{2} \Omega r^2$
چرا انرژی جنبشی همه اجسام دایره‌ای که از صفحه شیبدار با جرم یکسان میغلتند یکسانه؟در نورد خالص کره جامد ابتدا با سرعت نهایی بیشتر به زمین میرسد و به همین ترتیب
$(KE)_{\text{SolidSphere}}= \frac{1}{2}mv^2$
از آنجایی که کره جامد سرعت نهایی بیشتری دارد باید KE بیشتری داشته باشه اما باز هم این با U=mgh تناقض داره همه اجرام جرم و ارتفاع یکسان دارن بنابراین انرژی پتانسیل یکسانی دارن و من میدونم که
از دست دادن انرژی پتانسیل = افزایش در انرژی جنبشیه یعنی $KE = \frac{1}{2}mv^2$ در اینجا بی فایدیه یا نامعتبر؟
از آنجایی که این اجسام در حال غلتیدن هستند (به جز ذره)، انرژی پتانسیل اولیه خود را به انرژی جنبشی انتقالی و همچنین به انرژی جنبشی چرخشی تبدیل کرده. بنابراین معادلهام باید به این صورت باشه
$KE=\frac 12mv^2+\frac 12I\omega ^2$
بنابراین، I ممان اینرسی، نقش بزرگی ایفا میکنه. این یک واقعیت مهمه که تعیین میکنه چه جسمی سریعتر پایین میاد. اگرچه جرم هر جسم یکسانه اما توزیع جرم حول محور چرخش آنها اهمیت داره. این همان تعریف سادمه
اگرچه به صورت موازی هر جسم دارای انرژی جنبشی خالص نهایی یکسانیه زیرا اتلاف انرژی وجود نداره به این دلیله که؛ اگرچه آنها I متفاوت دارن اما v نهایی متفاوتی نیز دارن. این باعث میشه مقداری که از معادله بالا برای هر شی محاسبه میکنم یکسان باشه. بدون تناقض!هنگام بررسی چنین مسائلی توجه میکنم که کل انرژی جنبشی برای هر جسم مجموع انرژی جنبشی انتقالی و چرخشیشه. به این معنا که $KE=\frac{1}{2}mv^2 +\frac{1}{2}I\omega^2$
هر جسم دارای گشتاور اینرسی I متفاوتی خواهد بود و بنابراین مقادیر متفاوتی برای انرژی جنبشی دورانی دریافت خواهید کرد. اما توجه داشته باشید که در همان زمان، انرژی جنبشی کل نهایی برای هر کدام یکسان خواهد بود.
اگر همه آنها با انرژی پتانسیل یکسانی شروع میشوند به دلیل پایستگی انرژی باید چنین باشه. به این معنا که$mgh=\frac{1}{2}mv^2 +\frac{1}{2}I\omega^2=KE_{\text{final}}$
نکته این است که همه آنها مقادیر متفاوتی برای سرعت انتقال v دارند اما همه آنها باید انرژی جنبشی کل نهایی یکسانی داشته باشن
نکته جانبی: ذره احتمالاً دارای اتلاف انرژیه زیرا صفحه برای ایجاد اصطکاک باید ناهموار باشد (اگر اصطکاک وجود نداشته باشد، اجسام دیگر غلت نمیخورند فقط میلغزند)
آیا یک کره یا استوانه سریعتر از سطح شیب دار میغلته
اجسام با جرم و شعاع مساوی اما شکل متفاوت یا توخالی یا توخالی با سرعت های مختلف از شیب پایین میروند. کره جامد سریعتر از استوانه جامده زیرا کره دارای گشتاور اینرسی کمتر و انرژی جنبشی انتقالی بالاتریه .اجسام با جرم و شعاع مساوی اما شکل متفاوت یا توخالی یا توخالی با سرعت های مختلف از شیب میغلتند. کره جامد سریعتر از استوانه جامده چون کره دارای گشتاور اینرسی کمتر و انرژی جنبشی انتقالی بالاتریه جسم توخالی کندتر از جسم جامد معادله.یک کره جامد و یک استوانه جامد که هر کدام جرم و شعاع یکسانی دارن با هم در بالای صفحه شیبدار رها میشن و بدون لغزش بلکه با اصطکاک غلتشی ناچیز میغلتند.
توضیح دهید که چرا، علیرغم اینکه هر دو باید انرژی کل یکسانی داشته باشند، کره همیشه ابتدا به پایین میرسه
انرژی کل هر جسم مجموع انرژی پتانسیل، انرژی جنبشی خطی و انرژی جنبشی دورانی است:$E=mgh+ \frac 12mv^2+\frac 12I\omega ^2$ممان اینرسی یک کره جامد یکنواخت $2mr^2/5$
2 . ممان اینرسی یک استوانه جامد یکنواخت به جرم m برابر $mr^2/2$
شرط عدم لغزش به این معنی است که v، مساویه امگا، r،v=ωr بنابراین کل انرژی به E ساده میشه
برای کره و E، زیرنویس شروع، c، زیرنویس پایان، برابر است، $E=mgh+ \frac{7}{10}mr^2+$
برای سیلندر$E=mgh+ \frac{3}{4}mr^2+$این یعنی که چون انرژی کل آنها همیشه یکسانه برای هر ارتفاع h،h سرعت کره باید بیشتر باشه. بنابراین کره همیشه ابتدا به پایین میرسه.
دو جسم با جرم یکسان اما توزیع جرم متفاوت به طور متفاوتی میچرخند.
دو جسم با جرم متفاوت اما شکل بیرونی مشابه می توانند کاملاً متفاوت بغلتند. پوسته سبک‌تر از یک استوانه جامد سنگین‌تر کندتر میچرخه و نشون میده که R^2$ $بر گزینه جرم پیروز میشه.پاسخ بهش به این دلیله که ممان اینرسی برای استوانه جامد با سیلندر توخالی یکسان نیست.
همانطور که فرمول ممان اینرسی را مینویسیم و میدونم به توزیع جرم بستگی داره هر چه جرم از محور چرخش دورتر باشه بیشتر به ممان اینرسی کمک میکنه (مانند فاصله مجذور r^2$.$
بنابراین از اونجایی که استوانه توخالی تمام جرم خود را در مرزش داره در مقایسه با استوانه جامد که تمام جرم خود را از مرکز (با سهم بسیار کمی) به مرز توزیع میکنه گشتاور اینرسی بالاتر و در نتیجه انرژی چرخشی بیشتری داره.هنگامی که یک جسم در حال غلتیدن از سطح شیب داره انرژی آن از سه جزء تشکیل شده
$𝑚𝑔ℎ=1/2𝑚𝑣^2+12𝐼𝜔^2$
اولین عبارت انرژی پتانسیله. این انرژیه که برای بلند کردن جسم از سطح شیب دار صرف میشه.
اصطلاح دوم انرژی جنبشی انتقالیه. این انرژیه که برای حرکت جسم به سمت پایین سطح شیبدار لازمه
عبارت سوم انرژی جنبشی دورانیه. این انرژیه که برای چرخش جسم لازمه این برابر است با
$1/2𝐼𝜔^2$
، با 𝐼 بودن ممان اینرسی (مقاومت جسم در برابر چرخش) و 𝜔 سرعت زاویه ایه
برای استوانه توخالی جرم در دورترین فاصله از مرکز قرار میگیره و بنابراین 𝑟 بزرگ، 𝐼 بزرگ و در نتیجه کنده. در مورد استوانه جامد توزیع جرم نزدیکتر به مرکز اتفاق میافته بنابراین سرعت 𝐼 کمتر و بالاترین سرعت را داره
بنابراین استوانه جامد ابتدا به پایین میرسه
دو جسم با جرم‌های مختلف و شکل‌های متفاوت میتونند به طور کاملاً مشابه (نه کاملاً) بچرخند.
دو جسم با توزیع جرم هندسی مشابه (2 استوانه جامد مختلف یا 2 استوانه توخالی متفاوت) مستقل از شعاع یا جرم غلت میزنن. زمان نزول فقط به "ضریب ضرب هندسی"$ k، $I=kmR^2 بستگی داره.هر جسم از یک ارتفاع شروع می شود و در همان ارتفاع به پایان می رسد و انرژی پتانسیل گرانشی خود را به انرژی جنبشی تبدیل می کند. برای اجسام گسترده ای که می چرخند، انرژی جنبشی جسم مجموع انرژی جنبشی انتقالی (خط مستقیم) و انرژی جنبشی چرخشیه زیرا انرژی لازمه تا یک جسم سرعت چرخش خود را افزایش بده. توجهمیکنم که برای دستیابی به افزایش برابر در سرعت چرخش جسمی با گشتاور اینرسی زیاد در مقابل جسمی با ممان اینرسی کوچک، انرژی بیشتری لازم است. با فرض جرم مساوی برای اجسام، به این معنی است که تمام اجسام با انرژی جنبشی کل دقیقاً یکسان به پایین سطح شیب دار می رسند، اما این انرژی جنبشی کل بین انرژی جنبشی انتقالی و انرژی جنبشی چرخشی تقسیم میشود. بنابراین اجسامی با انرژی جنبشی چرخشی بالاتر (به عبارت دیگر گشتاور اینرسی بالاتر) انرژی جنبشی انتقالی کمتری دارن و از این رو سرعت پایینتری در پایین شیب دار خواهند داشت. توجه داشته باشید که این افکت حتی اگر اجسام در تصویر دارای جرم های متفاوت باشند نیز اعمال می شود.تجزیه و تحلیل شما باید شامل تغییر از انرژی پتانسیل گرانشی به انرژی جنبشی انتقالی مرکز جرم جسم $\frac12mv^2$و انرژی جنبشی چرخشی جسم$\frac 12 I_{\rm C}\omega^2$ باشه که در آن IC اینرسی گشتاور در مورد یک محور افقی از طریق مرکز جرمه
همچنین باید فرض کنم که شرط عدم لغزش بین سرعت خطی و سرعت چرخشی v=rω برآورده شده .فرض میکنم من دو سیلندر دارم: یکی سبک و دیگری سنگین. حالا من اجازه میدم سیلندرها بدون لیز خوردن از یک سطح شیبدار پایین بیایند. سوال من اینه که کدام یک ابتدا به پایین سطح شیب دار میرسد و چرا؟
به نیروی خالص برای یک استوانه در یک صفحه شیب توجه میکنم
$\Sigma F_{\parallel} = mg\sin{\theta} - f\tag{1}$
که در آن f نیروی اصطکاکه
اکنون گشتاور مربوط به COM (که نقطه ای است که در آن چرخش وجود دارد) اینه
$\Sigma \tau = Rf \tag{2}$
که در آن R شعاع سیلندر است. با قانون دوم نیوتن معادله (1) و (2) تبدیل میشه
$ma = mg\sin{\theta} - f\tag{3}$
$I\alpha = Rf \tag{4}$
از آنجایی که لغزیدن $a = R \alpha$ وجود نداره.
$I \dfrac{a}{R} = Rf \tag{5}$
حالا قسمت مهم اینجاست. فرض کنید DENSITY در هر دو سیلندر یکنواخته. این به معنای جرم یکسان نیست بلکه در هر نقطه از استوانه یکسانه. در آن صورت، اینرسی (در مورد محوری که از COM و هر وجهی از سیلندر عبور میکند) است.$I=\dfrac{1}{2}mR^2$ که در آن R شعاع و m جرمه
بیایید آن را در (5) جایگزین کنم و دریافت کنم
$\dfrac{1}{2}mR^2 \dfrac{a}{R} = Rf \quad \implies \quad \dfrac{1}{2}ma = f \tag{6}$
حالا اجازه میدم (6) و (3) را با هم ترکیب کنم تا $ma = mg\sin{\theta} - \dfrac{1}{2}ma.\tag{7}$
توجه میکنم که جرمهاا همه لغو میکنند
$a = \dfrac{2}{3} g\sin\theta.\tag{8}$
توجه دارم که (8) نه به جرم بستگی داره و نه به شعاع. بنابراین هر دو سیلندر شتاب یکسانی را تجربه خواهند کرد. از آنجایی که شتاب هر سیلندر یکسانه (و هر دو از یک نقطه از حالت سکون شروع میشوند) هر دو در یک زمان مستقل از جرم یا شعاع (باز هم با فرض چگالی یکنواخت) خواهند رسید.
با فرض اینکه استوانه ها از نظر ظاهری یکسان هستند و فقط از موادی با چگالی های مختلف ساخته شدن. سپس گشتاور در مورد COM نابرابر خواهد بود اما شتاب برابر خواهد بود.
$\tau(torque) \propto Mass$
زیرا گشتاور گرانشی و سایر پارامترها برابرن
$\tau(torque)=I\alpha$
$I \propto Mass$
بنابراین من α مستقل از جرم بدست میارم. حالا چون اینها برای هر دو سیلندر برابرن. بنابراین هر محاسبه حرکتی یا چرخشی که انجام میدم باید برای هر دو برابر باشه
تمایز بین کره های جامد و کره های توخالی (جرم برابر)
اگر دو کره (توخالی و جامد) با جرم و شعاع مساوی وجود داشته باشم و بخواهم کره توخالی را بدون استفاده از هیچ وسیله ای پیدا کنیم.اجازه دهید هر دو در یک صفحه شیبدار به پایین بغلتند. کره توخالی کندتر از کره جامد شتاب میگیرد (به دلیل ممان های اینرسی متفاوت)پاسخ اینکه جامد ابتدا به پایین میرسد. در آن مورد خاص درسته که استوانه جامد گشتاور اینرسی کمتری نسبت به سیلندر توخالی داره (اگرچه جرم آنها یکسانه اما تمام جرم استوانه توخالی در اطراف لبه بیرونی آن متمرکز شده بنابراین ممان اینرسی آن بیشتره .سیلندر توخالی در مقابل سیلندر جامدبه لطف تکانه زاویه‌ای، میدونم که استوانه‌های توخالی در هنگام فرود آمدن در یک صفحه شیبدار کندتر از سیلندرهای جامد هستند - آیا این تفاوت در سرعت (یا زمان صرف شده برای رسیدن به انتهای شیب)
این اختلاف ممان جرمی اینرسی نامیده میشه. برای حالت کلی استوانه با دیواره داخلی و خارجی فرمول $I_{\rm cyl} = \frac{m}{2} \left( r_O^2 + r_I^2 \right)$
سیلندر جامد - $r_O = R$، $r_I = 0$
$I_{\rm cyl} = \frac{m}{2} R^2$
سیلندر توخالی$r_O = R$,$r_I=R$
$I_{\rm cyl} = \frac{m}{2} 2 R^2 = m R^2$
حالا یک استوانه توخالی برمیدارم و یک گاز (بدون مایع) به داخل آن اضافه میکنم که با سیلندر میچرخه (محلول حالت پایدار) سپس گاز به گشتاور جرمی اینرسی اضافه میکنه و در همان شرایط سیلندر را کاهش میده (شتاب کمتری داره.
کل MMOI عبارت است
$I_{\rm total} = I_{\rm cyl} + I_{\rm gas} = m_{\rm cyl} R^2 + \frac{m_{\rm gas}}{2} R^2$
بنابراین در تئوری بله، اما در واقعیت از mgas≪mcyl من تفاوتی را متوجه نمیشم
اگر مقدار اصطکاک به اندازه ای باشد که سیلندرها بدون لغزش غلت بخورند تمام آنچه در بالا گفتم درست است، اما اگر اصطکاک کمتری داشته باشم سیلندرها فقط از سطح شیب دار میلغزند و سرعت یکسانی دارند.
نظریه رابطه بین جرم یک استوانه و زمان صرف شده برای غلتیدن آن از یک شیب - مقاومت هوا؟
من معادله حرکت استوانه ای را پیدا کردم که از یک سطح شیب دار غلت میخورد و اصطکاک غلتشی را نادیده میگرفتم. درگ درجه دوم به این معنی است که نیروی DRAG متناسب با $v^2$ است. معادله حرکت به شرح زیره که در آن x کل مسافت طی شده از سطح شیب دار را نشان میدهد:$\ddot{x}=\frac{2}{3}g\sin{\theta}-\frac{\rho A C_d}{m}\dot{x}$
اولین ترم را توسط مکانیک لاگرانژی پیدا کردم نوشتن$T=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I\omega ^2$
$V=-mgx\sin{\theta}$برای یک استوانه، $I=\frac{1}{2}mr^2$ و $\omega = \frac{v}{r}$
حل معادله لاگرانژ$\frac{d}{dt} ( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}})= \frac{\partial L}{\partial x}$
می دهد$\ddot{x}=\frac{2}{3}g\sin{\theta}.$
در مرحله بعد، من فقط عبارت درگ درجه دوم $F_d=\frac{1}{2}\rho v^2 C_d A$را وارد کردم و بر جرم از طریق F=ma تقسیم کردم.
از آنجایی که $v^2=\dot{x}^2$، می تونم آن را در معادلات جایگزین کنم. بقیه عبارات به جرم بستگی ندارند (A مربوط به جرم از طریق ρسیلندر است، اما ρ در معادله ρ هوا است)
با حل این معادله دیفرانسیل، $a=\frac{2}{3}g\sin{\theta}$ و$b=\rho A C_d$ را تنظیم می کنیم
$x=\frac{a}{b}mt+\frac{c_1 m}{b}e^{\frac{-bt}{m}}+c_2.$
با استفاده از این معادله و تنظیم x(0)=x˙(0)=0 (از آنجایی که x مسافتی است که از سطح شیب دار پایین آمده میتونم محاسبه کنم$c_1=\frac{a}{b}m$و$c_2=-\frac{am^2}{b^2}$
که معادله نهایی را به ما می دهد$x=\frac{a}{b}mt+\frac{a m^2}{b^2}e^{\frac{-bt}{m}}-\frac{am^2}{b^2}.$
حل این معادله غیرممکن بسیار دشواره
.
برای یک کره جامد،ممان اینرسیه
$I = \frac{2}{5}mr^2$ با جرم m و شعاع r.برای یک کره توخالیه
$I = \frac{2}{3}mr^2$
بنابراین، کره توخالی گشتاور اینرسی بیشتری دارد و تحت همان گشتاور، شتاب کمتری خواهد داشت$M = I \frac{d\omega}{dt}$با سرعت زاویه ای ω و گشتاور M.
یک استوانه توپر و یک استوانه جامد دیگر با جرم یکسان اما دو برابر شعاع در یک صفحه شیب دار با ارتفاع h از همان ارتفاع شروع می شوند و بدون لغزش م غلتند. سیلندرها را به صورت دیسک هایی با ممان اینرسی $(1/2)mr^2$ در نظر بگیرم. کدام یک ابتدا به پایین صفحه شیب میرسد؟$Mgh=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}I\left(\frac{v^2}{R^2}\right)\tag{1}$
اما ممان اینرسی یک سیلندر به صورت زیره $I=M\frac{R^2}{2}\tag{2}$بنابراین، ترکیب Eqns. 1 و 2 میده
$Mgh=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{4}Mv^2\tag{3}$
با محاسبه M از هر دو طرف معادله $gh=\frac{1}{2}v^2+\frac{1}{4}v^2\tag{4}$بنابراین، با حل v، دارم
$v=\sqrt{\frac{4gh}{3}}$
توجه که این مستقل از شعاع سیلندره. بنابراین، هر دو سیلندر در زمان یکسانی از سطح شیب دار پایین میروند.
پایستگی انرژی بهم یاد داده که انرژی پتانسیل با سقوط دیسک ها تبدیل به انرژی جنبشی میشه. اگر بدون لغزش غلت بخورند مقداری انرژی به انرژی جنبشی انتقالی و مقداری به انرژی جنبشی چرخشی میرود.
شرایط غلتش بدون لغزش مستلزم اونه که سرعت دیسک برابر با سرعت چرخشی ضربدر شعاع $v=\omega R$باشد.
انرژی جنبشی کل $\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}I\omega^2$
بنابراین:
$Mgh=\frac{1}{2}Mv_1^2+\frac{1}{2}I_1(\frac{v_1^2}{R^2})=\frac{1}{2}Mv_2^2+\frac{1}{2}I_2\frac{v_2^2}{4R^2}$
$I_1=\frac{1}{2}MR^2$
$I_2=\frac{1}{2}4MR^2=2MR^2$می‌توانیم نسبت سرعت‌های مجذور را بگیریم:
$\frac{1}{2}Mv_1^2+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}MR^2)(\frac{v_1^2}{R^2})=\frac{1}{2}Mv_2^2+\frac{1}{2}(2MR^2)\frac{v_2^2}{4R^2}$
$\frac{1}{2}Mv_1^2+\frac{1}{4}(M)(v_1^2)=\frac{1}{2}Mv_2^2+\frac{1}{4}(M)v_2^2$
$\frac{v_1^2}{v_2^2}=\frac{1+\frac{I_2}{4MR^2}}{1+\frac{I_1}{MR^2}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}=1$
بنابراین من درست محاسبه کردم با استفاده مداوم از شعاع های مناسب، سرعت ها یکسان میشوند.
جواب دومی
از آنجایی که اصطکاک مسئول حرکت چرخشیه
این یک فرض است. حرکت چرخشی می تواند ناشی از چیز دیگری باشد (مانند شفت محرک یا موتور الکتریکی).
برای یک جسم غلتان کاری که اصطکاک انجام میده این است که حرکت چرخشی و حرکت جانبی را به هم متصل میکنه
مورد دوم اسونتره برای تجزیه و تحلیله سیلندر روی شیب قرار دارده جاذبه آن را از سطح شیب دار پایین میکشه (حرکت خطی). اصطکاک یک گشتاور ایجاد میکند تا حرکت چرخشی ایجاد کنه
مورد اول کمی آشکارتر است. به جای اینکه چیزی سیلندر را مجبور به حرکت خطی کند فرض میکنم که چیزی سیلندر را میچرخونه (گشتاور در جهت چرخش اعمال میشه). این شتاب چرخشی با اصطکاک مخالفه که سیلندر را به جلو میرونه
بنابراین دلیل مخالف جهت اصطکاک اینه که در یک مورد حرکت خطی باعث حرکت چرخش میشه و در حالت دیگر چرخش باعث حرکت خطی میشه
اولین موردی که من فرض میکنم در حال چرخش است یا از قبل در حال چرخش است، بنابراین اصطکاک و گشتاور متعاقب آن از لغزش آن بر روی سطح جلوگیری میکند و به جای اینکه فقط بچرخد، حرکت میکند.
برای دوم اگر اصطکاک وجود نداشت جسم به دلیل گرانش بدون غلتش به پایین سطح میلغزد اما اصطکاک با نحوه حرکتش مخالفه و باعث چرخش آن میشه
غلتیدن بدون لیز خوردن نقطه تماس را به عنوان محور
معادله حرکت
$\text{torque about stationary geometrical point O} = \text{moment of inertia w.r.t. O} \times \text{angular acceleration w.r.t. O}$
تنها در صورتی معتبر است که حرکت جسم چرخش مسطح حول محوری باشه که از O میگذره. این در صورتی است که نقطه O به عنوان نقطه تماس جسم در هنگام غلتش بدون لغزش در نظر گرفته شو، اما در هنگام غلتیدن با لغزش نه. به طور کلی نسخه معتبر قضیه گشتاور - تکانه زاویه ای است
$\text{torque about stationary geometrical point O} = \ = \frac{d}{dt}\left(\text{angular momentum w.r.t. stationary geometrical point O}\right).$
اگر جسم با لغزش در حال غلتیدن باشد هیچ نقطه هندسی ثابتی روی زمین وجود نداره که تکانه زاویه ای آن را بتوان به صورت $I_O\omega_O$با $I_O$ ثابت در زمان نوشت و معادله دوم به حالت اول کاهش نمییابد.به عنوان یک نیروی نامتعادل، f برای شتاب دادن به دیسک عمل میکنه از آنجایی که در پایین دیسک قرار داره O نیز باید شتاب بگیره و بنابراین در یک چارچوب مرجع غیر اینرسی قرار داره.
آن فریم غیر اینرسی دارای نیروهای ساختگیند که مخالف شتابن. میتونم نیروی f′ را رسم کنم که از مرکز جرم در جهت مخالف f وارد میشه
از آنجایی که از طریق مرکز جرم عمل میکنه گشتاوری نسبت به O ایجاد میکنه و می تواند سرعت زاویه ای را کاهش بده.
