مكانيك لاگرانژي

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
godfather

محل اقامت: Sudbury

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۸۵/۵/۲۶ - ۲۳:۰۷


پست: 587

سپاس: 304

جنسیت:

تماس:

مكانيك لاگرانژي

پست توسط godfather »

با سلام...
من فكر ميكنم آنقدر قوانين نيوتون در جاي خودش كامل بود كه اصلا هيچ كس به كار هاي با ارزش لاگرانژ توجه اونجوري نكرد .
اين آقاي لاگرانژ هم مكانيك داره عزيزم و با حاله كاراش البته درسته نه به اندازه نيوتون عزيز
لاگرانژ واقعا بزرگواري عزيزم !
من دوستت دارم و اين تاپيك رو براي تقدير از جنابعالي ساختم<<<
:wink:

با تشكر...
“Science is a way of trying not to fool yourself”

نمایه کاربر
godfather

محل اقامت: Sudbury

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۸۵/۵/۲۶ - ۲۳:۰۷


پست: 587

سپاس: 304

جنسیت:

تماس:

پست توسط godfather »

اصول مكانيك لاگرانژي!


مکانیک لاگرانژی فورمول‌بندی و نمایش دوباره‌ای‌ست از مکانیک کلاسیک توسط ژوزف لویس لاگرانژ (در 1788 م) که بر اساس کمینه‌سازی یک تابعی (Functional) به نام کنش (Action) استوار ست.( اصل کمترین کنش ) بنا به تعریف، لاگرانژی تفاضل انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل است
(L = T-V)، و تکامل سیستم از حالتی به حالت دیگر به نحوی صورت می‌گیرد که انتگرال لاگرانژی کمینه شود. مثلاً در ساده‌ترین حالت عمل مکان یک ذره در مکانیک کلاسیک با توجیهی لاگرانژی به صورت زیر است.

S=∫(1/2mX*^2-V(x))dt

كه حدود انتگرال به طور تابلويي از Tتا 0 مي باشد!
“Science is a way of trying not to fool yourself”

نمایه کاربر
godfather

محل اقامت: Sudbury

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۸۵/۵/۲۶ - ۲۳:۰۷


پست: 587

سپاس: 304

جنسیت:

تماس:

پست توسط godfather »

كه بنا به روابط بالا ميشود>>>

6L/6X-d(6L/6X*)/dt=0
منظور از 6 رند است!!!!!!

ببخشيد اگه اينجوري نوشتم!!!
“Science is a way of trying not to fool yourself”

نمایه کاربر
godfather

محل اقامت: Sudbury

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۸۵/۵/۲۶ - ۲۳:۰۷


پست: 587

سپاس: 304

جنسیت:

تماس:

پست توسط godfather »

و در آخر به اين رابطه مي رسيم!!!


MX**=-6V/6X=F

با تشكر...


که همان قانون دوم نیوتون است. همانطور که می‌دانیم، دسترسی کلاسیک به مکانیک کوانتومی از طریق مکانیک همیلتونی صورت می‌پذرید. از طرف دیگر ریچارد فاینمن موفق شد از طریق مکانیک لاگرانژی به دست‌رسی مدرن‌تری به سوی مکانیک کوانتومی دست یابد که این دست‌رسی مدرن از طریق انتگرال مسیر فاینمن (یا انتگرال تابعی) امکان‌پذیر است.
“Science is a way of trying not to fool yourself”

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 494

سپاس: 248

جنسیت:

تماس:

Re: مكانيك لاگرانژي

پست توسط rohamjpl »

گاهی اوقات یافتن معادلات حرکت به این آسانی نیست. یک روش جایگزین وجود دارد که به عنوان مکانیک لاگرانژی شناخته می شودمن معادلات حرکت لاگرانژی را استخراج می کنم.در دو بعدی موقعیت های یک نقطه را می توان با مختصات مستطیل شکل آن (x ، y) یا مختصات قطبی آن مشخص کرد. احتمالات دیگری مانند مختصات مخروطی مخفی نیز وجود دارد که ممکن است کمتر آشنا باشند. در سه بعد گزینه های مختصات مستطیل (x ، y ، z) ، یا مختصات استوانه ای ρ ، ϕ ، z یا مختصات کروی r ، ω ، ϕ وجود دارد - یا ممکن است دوباره موارد دیگری وجود داشته باشد که ممکن است برای اهداف خاص استفاده شود.با هر مختصات$q_{j}$ یک نیروی تعمیم یافته $P_{j}$ همراه است که به صورت زیر تعریف می شود. اگر کار لازم برای افزایش مختصات$q_{j}$ توسط $\delta q_{j}$ و$P_{j}\delta q_{j}$باشد ، $P_{j}$ نیروی تعمیم یافته مرتبط با مختصات $q_{j}$ است.یک نیروی تعمیم یافته همیشه لازم نیست که از نظر ابعادی معادل یک نیرو باشد. به عنوان مثال ، اگر مختصات تعمیم یافته یک زاویه باشد ، نیروی تعمیم یافته مربوطه یک گشتاور خواهد بود.یکی از کارهایی که می خواهیم انجام دهیم شناسایی نیروی تعمیم یافته مربوط به مختصات تعمیم داده شده است.شما می توانید در هر زمان وضعیت سیستم را اینگونه تصور کنید که توسط یک نقطه واحد در فضای 3 بعدی 3 بعدی نشان داده می شود.در بسیاری از سیستم ها ، ذرات ممکن است آزاد نباشند و در هر کجا سرگردان باشند. آنها ممکن است مورد محدودیت های مختلفی قرار بگیرند. محدودیتی که می تواند توسط یک معادله مربوط به مختصات (و شاید هم زمان) توصیف شود ، یک محدودیت هولوومونیک نامیده می شود و معادله ای که محدودیت را توصیف می کند ، یک معادله هولوومونیک است. اگر سیستمی از ذرات N در معرض محدودیت های هولوگونیک k باشد ، نقطه ای در فضای 3 بعدی 3 بعدی که سیستم را توصیف می کند در هر زمان آزاد نیست که در هر مکانی در فضای 3 بعدی 3 بعدی حرکت کند ، اما محدودیت دارد که بر روی یک بعد از سطح حرکت کند 3N − k در واقع برای توصیف سیستم فقط مختصات 3N − k لازم است ، با توجه به اینکه مختصات توسط k معادلات holonomic متصل شده اند.دو ذره غیر محدود برای تعیین موقعیت خود به شش مختصات نیاز دارند اما این سیستم تحت چهار محدودیت هولوگونیک است. معادلات holonomic z1 = 0 و z2 = 0 ذرات را مجبور به حرکت در صفحه می کند ، و اگر رشته ها به صورت کشیده نگه داشته شوند ، محدودیت های اضافی holonomic $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=l_{1}^{2}$ و $(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}=l_{2}^{2}$ داریم . بنابراین فقط دو مختصات برای توصیف سیستم مورد نیاز است و آنها می توانند به راحتی زاویه هایی باشند که دو رشته با عمودی ایجاد می کنند.فرض کنید ما یک سیستم از ذرات N داریم ، و نیروی وارد شده بر ذره من (i = 1 تا N) Fi است. اگر ذره I تحت یک جابه جایی δri قرار بگیرد ، کل کار انجام شده روی سیستم$\sum_{i}\bf{F}_{i}\cdot\partial\bf{r}_{i}$است. بردار موقعیت r یک ذره را می توان تابعی از مختصات تعمیم یافته آن نوشت. و تغییر در r را می توان با توجه به تغییرات مختصات تعمیم یافته بیان کرد. بنابراین کل کار روی سیستم انجام می شود اما با تعریف نیروی تعمیم یافته ، کار روی سیستم نیز انجام می شود.بیایید یک مثال ساده بزنیم. من یک ذره آزاد دارم و می تواند در مختصات دکارتی در زمان t = 0 نمایش داده شود$\begin{align}
\mathbf{r}(0) & = x(0)\mathbf{e_x} + y(0)\mathbf{e_y}, \\
\mathbf{v}(0) & = v_x(0)\mathbf{e_x} + v_y(0)\mathbf{e_y}.
\end{align}$مکانیک لاگرانژی چگونه این کار را انجام می دهد؟ من می دانم که من باید در بعضی مواقع انرژی جنبشی را پیدا کنم - آیا این فقط انرژی جنبشی در زمان t = 0 است؟بگذارید S مخفف وضعیت سیستم باشد ، مانند مجموعه تمام موقعیت ها و سرعت های مربوطه و زمان فعلی. در مکانیک نیوتنی ، برای هر ذره / جسم $\vec{F} = m\vec{a}$ دارید. این را دوباره می نویسم$\ddot{\vec{x}}_i = \frac{1}{m_i} \vec{F}_i(S).$ با تعریف "ذره آزاد" ، هیچ نیرویی وجود ندارد ، بنابراین یک جسم شما دارای $\ddot{\vec{x}} = 0$ است که به راحتی برای بدست آوردن$\vec{x} = \vec{a} + \vec{b}t$ حل می شود. بسیار آسان است که ببینیم$\vec{a}$ دارای مولفه های x (0) و y (0) است و $\vec{b}$ دارای مولفه های $v_x(0)$ و $v_y(0)$ است.
در اینجا نحوه کار مکانیک لاگرانژی همان کار را نشان می دهد. ما یک تابع اسکالر جدید L حالت S را تعریف می کنیم ، و آن انرژی جنبشی منهای هر انرژی بالقوه ای است که ممکن است در اطراف باشد. (توجه: این عملکرد S نیست - من فقط از یک اختصار غیر استاندارد استفاده می کنم.) معادلات دیفرانسیل ما اکنون هستند
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\frac{\partial L(S)}{\partial \dot{q}_k}\right) - \frac{\partial L(S)}{\partial q_k} = 0.$
(در اینجا من S را تابعی از مختصات کلی$q_k$ می دانم ، که می تواند از موقعیت تا زاویه به هر مکانی دیگر باشد. معمولاً تعداد $q_k$کمتر از اجزای $\vec{x}_i$ است - حداقل هر زمان محدودیت وجود دارد روی سیستم - و این بخشی از دلیل مکانیک لاگرانژی است که برخی از مشکلات را آسان تر می کند.)
در حالت تنها ذرات آزاد ، ما هیچ انرژی بالقوه ای نداریم و بنابراین $L(S) = (1/2) m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2)$ وx,y,$\dot{x},$$\dot{y}$ t به عنوان متغیرهای مستقل ، می بینیم
$\frac{\partial L(S)}{\partial x} = \frac{\partial L(S)}{\partial y} = 0, \\
\frac{\partial L(S)}{\partial \dot{x}} = m \dot{x}, \\
\frac{\partial L(S)}{\partial \dot{y}} = m \dot{y}.$
با توجه به t (جایی که $\dot{x}$ ، y ، x˙ و y˙ اکنون توابع زمان در نظر گرفته شده اند) با دو تفاوت مواجه می شویم
$m \ddot{x} = m \ddot{y} = 0.$
البته شما می توانید با m تقسیم کنید و دقیقاً همان معادلاتی را که در مورد نیوتنی داشتیم بدست آورید. دلیل این امر این است که $q_k$ های من همان اجزای $\vec{x}_i$ من هستند - در این حالت دلیلی برای انتخاب مجموعه ای متفاوت از مختصات وجود ندارد.
در این مرحله شما همچنین یک معادله دیفرانسیل دارید و این برای فیزیک است. شما هنوز هم باید از مهارت های معادلات دیفرانسیل خود برای حل استفاده کنید ، و هنوز هم باید ثابت های صحیح ادغام را انتخاب کنید تا شرایط اولیه خاص خود را منعکس کند.
به طور خلاصه: هنگامی که سعی می کردید درست به فرمول جابجایی در زمان t بپردازید ، در واقع تمام کارهای $\vec{F} = m\vec{a}$ را در سر خود انجام دادید و از اتصال اولیه به شرایط اولیه خارج شدید. هیچ راهی "لاگرانژی" برای اتصال به شرایط اولیه وجود ندارد. این روش ها فقط در نحوه دریافت معادله حرکت متفاوت هستند.از سیستم های نیوتنی گرفته تا مکانیک لاگرانژ با استفاده از معادلات اویلر - لاگرانژ من برخی از مفاهیم مربوط به مکانیک لاگرانژی را از کتاب هولمز می خوانم. (صفحه 12)$m_i \ddot{q_i}=\frac{\partial V}{\partial q_i}, \mbox{ } i=\overline{1,N},$ معادل معادلات اولر _ لاگرانژ است ،$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\right)-\frac{\partial L}{\partial q}=0,$و$L(q, \dot{q})=\sum^{N}_{i=1}{\frac{1}{2}m_{i}\|\dot{q_{i}}\|^{2}}-V(q).$ اثبات برای L تعریف شده در قضیه$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=\ldots$و$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}\right)$و$\frac{d}{dt}{v(q)}=0$و$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}\right)$و$\frac{\partial L}{\partial \dot q_{i}}=\frac{1}{2}m_{i}\frac{\partial}{\partial \dot{q_i}}\|\dot q_{i}\|^2$
بنابراین من باید مشتق را برای یک محصول نقطه ای محاسبه کنم$\frac{\partial}{\partial}\|\dot{q_i}\|^2=\frac{\partial}{\partial \dot {q_i}}\langle\dot{q_i},\dot{q_i}\rangle=\langle 1, \dot{q_i} \rangle + \langle \dot{q_i}, 1 \rangle$
اگر خوب فهمیدم ، شما می خواهید قانون دوم نیوتن را با استفاده از معادله لاگرانژی و اولر-لاگرانژ پیدا کنید؟
برای سهولت ، فقط یک جهت "x" می گیرم. حتی اگر بتوانید با درجه آزادی بیشتری کار کنید ، این همان کاربرد معادله اولر-لاگرانژ است ، بنابراین مانند آن سبک تر نوشتن خواهد بود.
بنابراین شما لاگرانژی را دارید
$L_{x}=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-V(x)$و معادله EL:$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}})=\frac{\partial L}{\partial x}$اکنون شما فقط EL را بر روی لاگرانژیک اعمال کنید ، بنابراین:
$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}})=\frac{d}{dt}(m\dot{x})=m\ddot{x}$و$\frac{\partial L}{\partial x}= -\frac{\partial{V}}{\partial x}=F_{x}$ اگر نیرو محافظه کار باشد و از یک انرژی بالقوه ناشی شود:$F_{x}= -grad(V(x))$بنابراین در می یابیم:$m\ddot{x}=F_{x}$
قانون دوم نیوتن. همانطور که EL بدون در نظر گرفتن سیستم مختصات کار می کند ، ما "q" را برای یک مختصات کلی بیان می کنیم. امیدوارم همان چیزی باشد که شما بدنبال آن بودید!با توجه به لاگرانژی L $L(q, \dot{q})=\sum^{N}_{j=1}{\frac{1}{2}m_{j}\dot{q_{j}}^{2}}-V(q)$ ،$\frac{\partial L}{\partial \dot q_{i}} =\sum^{N}_{j=1}{\frac{1}{2}m_{j}\frac{\partial (\dot{q_{j}}^{2})}{\partial \dot q_{i}}} = \sum^{N}_{j=1}{\frac{1}{2}m_{j} 2 \dot{q}_{j}\delta_{ij}} = m_i\dot{q}_i.$
حدس می زنم من به دلیل محصول نقطه گیر کرده باشم ، اما شاخص i برای ذره نیست بلکه برای یک درجه آزادی است ، یعنی اگر یک ذره در یک فضای سه بعدی دارید ، شاخص شما i = 1،2،3 است ، در حالی که با N ذرات من = 1،2 ،… ، 3N.
در حالت $\dot{q}_i = v_i$ ، انرژی جنبشی شما برای یک ذره است
$T = \frac{1}{2}m (v_x^2+v_y^2+v_z^2),$ ،برای ذرات N
$T =\sum_{i=1}^N \frac{1}{2}m_i (v_{ix}^2+v_{iy}^2+v_{iz}^2) = \sum_{j=1}^{N'}\frac{1}{2}m_j v_j^2$که در آن N ′ = 3N و j شاخص جدید است.
آیا از اصل اول اثبات وجود دارد که لاگرانژی L = T - V باشد؟$L = T\text{(kinetic energy)} - V\text{(potential energy)}$ در مکانیک کلاسیک؟ فرض کنید که از مختصات دکارتی استفاده شده است. در میان ترکیبات ، L = T − nV ، فقط n = 1 کار می کند. آیا دلیل اساسی دارد؟
از طرف دیگر ، اصل تنوعی مورد استفاده در استخراج معادلات حرکت ، معادله اویلر-لاگرانژ ، به اندازه کافی کلی است (می توان برای یافتن مطلوب هر انتگرال پارامتری استفاده کرد) و فرم لاگرانژی را مشخص نمی کند.در این زمینه در واقع می توان معادلات لاگرانژ را از قوانین نیوتن دریافت کرداثبات طرح دار: بیایید یک مسئله غیر نسبی 2 نیوتنی ذرات نقطه N با موقعیت های r1 ،… ، rN ، با مختصات کلی $q^1, \ldots, q^n$ و m = 3N − n محدودیت های هولوگونیک در نظر بگیریم.
بگذارید برای سادگی فرض کنیم که نیروی وارده سیستم پتانسیل U تعمیم یافته (احتمالاً وابسته به سرعت) را تشکیل داده است (به عنوان مثال نیروهای اصطکاک وابسته به سرعت را رد می کند.)$\tag{1} \sum_{i=1}^N \left(\dot{\bf p}_i-{\bf F}_i\right)\cdot \delta {\bf r}_i
~=~ \sum_{j=1}^n \left(\frac{d}{dt} \frac{\partial (T-U)}{\partial \dot{q}^j} -\frac{\partial (T-U)}{\partial q^j}\right) \delta q^j.$ در اینجا δ یک جابجایی مجازی نامحدود را نشان می دهد که با محدودیت ها سازگار است. علاوه بر این ،${\bf F}_i$ نیروی اعمال شده (یعنی کل نیروی منهای نیروهای محدود کننده) بر ذره i است. لاگرانژی$L:=T-U$ در اینجا به عنوان تفاوت بین انرژی جنبشی و پتانسیل تعریف شده است. توجه داشته باشید که$\delta q^j$ از معادله (1) دقیقاً شامل اپراتور اویلر-لاگرانژ است.
اصل D'Alembert'sمی گوید که $\delta q^j$ از معادله (1) صفر است. سپس معادلات لاگرانژ از این حقیقت پیروی می کند که جابجایی مجازی δqj در مختصات تعمیم یافته محدود و دلخواه نیست.همیشه باید به خاطر داشته باشید که ، در سطح کلاسیک (به معنی ℏ = 0) ، لاگرانژی L بسیار منحصر به فرد نیست ، به این معنا که بسیاری از لاگرانژی های مختلف ممکن است معادل های مشابه داشته باشند. حرکت به عنوان مثال. همیشه می توان مشتق کلی زمان را به لاگرانژی اضافه کرد ، یا اینکه لاگرانژی را با یک ثابت مقیاس زد.
2 می توان با جایگزینی فرمول غیر نسبی $T=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N m_i v^2_i$ با $T=-\sum_{i=1}^N \frac{m_{0i}c^2}{\gamma(v_i)}$ به جای نسبتی از انرژی جنبشی ، به نسخه نسبی گرایی خاص مکانیک نیوتنی گسترش داد.$\sum_{i=1}^N [\gamma(v_i)-1]m_{0i}c^2$. 3 OP فکر می کند که چرا لاگرانژی L برای برخی از $\alpha\neq 1$ های ثابت به شکل $T-\alpha U$ نیست؟
$\tag{1'} \sum_{i=1}^N \left(\dot{\bf p}_i-\alpha{\bf F}_i\right)\cdot \delta {\bf r}_i
~=~ \sum_{j=1}^n \left(\frac{d}{dt} \frac{\partial (T-\alpha U)}{\partial \dot{q}^j} -\frac{\partial (T-\alpha U)}{\partial q^j}\right) \delta q^j.$
بنابراین این واقعیت که L لاگرانژی به شکل T − αU برای α ≠ 1 نیست ، مستقیماً با قانون دوم نیوتن ارتباط دارد ، از شکل$\dot{\bf p}_i=\alpha {\bf F}_i$ برای α ≠ 1 نیست.
بگذارید فرض کنم که "اصول اولیه" به معنای قوانین نیوتن است ، اما در فرمول بندی تا حدودی گسترده تر از معادلات هامیلتون ، که می گوید با توجه به یک تابع همیلتونین H ، $\dot q = \frac{\partial H}{\partial p}$و اینکه معادله دینامیکی حرکت (تعمیم F = ma) است$\dot p = -\frac{\partial H}{\partial q}
$بنابراین در یک بازه زمانی $\epsilon$ مختصات و لحظه ها به همان اندازه تکامل می یابند$q_\epsilon = q + \frac{\partial H}{\partial p} \epsilon$و$p_\epsilon = p - \frac{\partial H}{\partial q} \epsilon
$ودر همان زمان ، تغییر مختصات متعارف / لحظه شرعی مربوط به L لاگرانژی توسط L است$p_\epsilon \mathbf{d}q_{\epsilon}
-
p \mathbf{d}q
=
\epsilon \mathbf{d}L
\,.$ اکنون$\begin{aligned}
p_\epsilon \, \mathbf{d} q \epsilon - p \mathbf{d} q
& =
\left(p - \frac{\partial H}{\partial q} \epsilon \right)
\mathbf{d}
\left(
q + \frac{\partial H}{\partial p} \epsilon
\right)
- p \mathbf{d}q
\\
& =
\epsilon
\left(
p \mathbf{d}\frac{\partial H}{\partial p}
-
\frac{\partial H}{\partial q} \mathbf{d}q
\right)
\\
& =
\epsilon
\left(
\mathbf{d}\left( p \frac{\partial H}{\partial p}\right)
-
\frac{\partial H}{\partial p} \mathbf{d} p
-
\frac{\partial H}{\partial q} \mathbf{d}q
\right)
\\
& =
\epsilon \mathbf{d}
\left(
p \frac{\partial H}{\partial p}
-
H
\right)
\end{aligned}
\,.$اکنون ما محاسبه می کنیم:$L
:=
p \frac{\partial H}{\partial p}
-
H
\,.$حال اگر H فرم استاندارد دارد (تنظیم m = 1 برای سادگی)$H = H_{kin} + H_{pot} = \tfrac{1}{2}p^2 + V(q)$ سپس$L = H_{kin} - H_{pot}
\,.$
مکانیک لاگرانژی را می توان مستقیماً از قانون دوم نیوتن تنها با استفاده از دستکاری جبری و مقداری حساب بدست آورد. این شامل هم شکل کلی معادله اولر-لاگرانژ و هم فرم خاص $L = T - V$است. هیچ فرض ایستایی ، استفاده از حساب تغییرات و یا حتی اشاره به مفهوم عمل مورد نیاز نیست : ماهیت هندسی معادلات لاگرانژ. اشتقاق مشابه در جیمز کیسی نیز وجود دارد: استخراج هندسی معادلات لاگرانژ برای سیستم ذرات. کیسی همچنین مجموعه مقالاتی را پیرامون مقالاتی که ایده را به اجسام صلب ، پویایی سیالات ، ... با قانون دوم نیوتن شروع می شود و آن را بر روی بردارهای مختصات طراحی می کند. این برای یک ذره واحد است$\mathbf{F} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^i} = m \mathbf{\ddot{r}} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^i}$
از این راه چند مرحله جبری ساده تولید می شود
$\frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial T}{\partial q_i} = F_i = \mathbf{F} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^i}$این شکل کلی تر معادله لاگرانژ است که سیستم های اتلافی را در بر می گیرد. حالت محافظه کارانه با تنظیم $\mathbf{F} = -\nabla V$ بدست می آید. جایگزینی آن در معادله فوق نشان می دهد
$\begin{align}
\frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial T}{\partial q_i} &= - \frac{\partial V}{\partial q_i}
\text {, since } \frac{\partial V}{\partial q_i} = \nabla V \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^i} \\
\therefore \frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial (T - V) }{\partial q_i} &= 0 \\
\frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L }{\partial q_i} &= 0
\end{align}$
اکنون $\frac{\partial V}{\partial \dot{q}_i} = 0$از آنجا که طبق تعریف V تابعی از qi است و مستقل از ،$\dot{q}_i$ بنابراین:
$\begin{align}
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial V}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L }{\partial q_i} = 0 \\
\frac{d}{dt} \frac{\partial (T - V)}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L }{\partial q_i} = 0 \\
\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L }{\partial q_i} = 0 \\
\end{align}$در هیچ جای این فرض بر این نیست که T-V ثابت است و یا حتی از هر لحاظ خاص است. به نظر می رسد تعریف L = T − V به نظر می رسدمعادلات سیستم محافظه کار را مرتب کند تا چیزی اساسی. حداقل می توان از T به عنوان لاگرانژیک برای مکانیک کلاسیک استفاده کرد. این در واقع برای مقابله با سیستم های اتلاف ضروری است.
استنباط فوق برای سیستمهای عمومی انجام می شود ، مانند سیستمهای چند ذره ای ، اجسام صلب و غیره. تغییر اصلی این است که مقیاس جرم باید توسط تنسور اینرسی سیستم جایگزین شود.
تصویر

ارسال پست