نیروی مرکزی مدار دایره ای پایدار و ناپایدار

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami رهام حسامی

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1848

سپاس: 3349

جنسیت:

تماس:

نیروی مرکزی مدار دایره ای پایدار و ناپایدار

پست توسط rohamjpl »

نیروی مرکزی - مدار دایره ای پایدار/ناپایدار برای $V = -V_0 \exp(-\lambda^2 r^2)$

این مسئله از مقدمه ای بر مکانیک کلاسیک با مسائل و راه حل ها نوشته دیوید مورین است. راه حل برای این مشکل خاص نیز در کتاب آمده است.
یک ذره در پتانسیل $V(r) = -V_0 \exp(-\lambda^2 x^2)$ حرکت می کند.
(الف) با توجه به تکانه زاویه ای L شعاع مدار دایره ای پایدار را بیابید.
(ب) معلوم می شود که اگر L خیلی بزرگ باشد، مدار دایره ای وجود ندارد. بزرگترین مقدار L که برای آن مدار دایره ای وجود دارد چیست؟ مقدار $V_{eff}(r)$ در این مورد چقدر است؟
بخش اول این مسئله مستقیم به سمت جلو است،$V_{eff}(r)$ را کمینه کنید و برای$r_0$ حل کنید، که شعاع های مدار دایره ای را می دهد. اکنون نکته ظریف اینجاست که همیشه راه حلی برای این موضوع وجود ندارد. برای مقدار زیاد L هیچ راه حلی وجود ندارد. اما به طور کلی دو راه حل برای $r_0$ وجود دارد. این را می توان از طرح $V_{eff}(r)$ مشاهده کرد.
بنابراین سوال من این است که چگونه می توان $r_0$ را پیدا کرد؟ من می خواهم یک مقدار را بدست بیاورم و سپس بگویم که برای این مقدار مدار پایدار یا ناپایدار است. کسی میتونه منو راهنمایی کنه؟ ثانیا رابطه $r_0^4$دارد پس چگونه می تواند فقط 2 راه حل داشته باشد؟ 2 تای دیگه چطور؟
پتانسیل موثر در مورد شما است
$V_{\rm eff}(r)=\frac{L^2}{2mr^2}-V_{0}\exp(-\lambda^2r^2)$
و اگر تفکیک کنیم$V^{\prime}_{\rm eff}(r)=-\frac{L^2}{mr^3}+2\lambda^2V_{0}r\exp(-\lambda^2r^2)$
این ناپدید می شود اگر$L^2=2m\lambda^2V_{0}r^4\exp(-\lambda^2r^2)$
همانطور که قبلا مشاهده کردید حال اجازه دهید$C\equiv2m\lambda^2V_{0}$ و $f(r)\equiv Cr^4\exp(-\lambda^2r^2)$را تعریف کنیم، بنابراین معادله ما این است$L^2=f(r)$این معادله راه حلی ندارد که بتوان آن را به صراحت با استفاده از توابع ابتدایی بیان کرد. برای $L\leq L_{\rm max}$ (که از شما خواسته می شود در (b) پیدا کنید)، چهار راه حل دارد. دو راه حل مثبت: یکی مربوط به یک تعادل پایدار و دیگری مربوط به یک راه حل ناپایدار و دو راه حل منفی آینه ای است که دور انداخته می شوند.hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضاتصویر
smile260 smile016 :?:
تصویر

ارسال پست