بنابراین یکی از راه‌های تغییر یک مدار این است که فاصله حضیض را ثابت نگه داریم، اما خروج از مرکز را تغییر دهیم و بنابراین سرعت حضیض را تغییر دهیم.
یک مدار دایره ای و یک مدار بیضی شکل
ما می دانیم که شکل نهایی معادله باید با برخی موارد آسان مطابقت داشته باشد
$v=\sqrt 2 ~v_{circular}$
برای مدارهای دایره ای، e=0، تابع ما باید با$\frac{mv_0^2}{r_0}=F=\frac{GMm}{r_0^2}$ مطابقت داشته باشد
وبرای سرعت فرار، e=1، تابع ما باید با$v=\sqrt 2 ~v_{circular}$ مطابقت داشته باشد
(با استفاده از زیرنویس 0 برای مدار مرجع دایره ای، و 1 حضیض و 2 آفلیون است.)
برای مدار مرجع، ما داریم،
$\frac{mv_0^2}{r_0}=F=\frac{GMm}{r_0^2}$
$GM=r_0 v_0^2$
با استفاده از پایستگی انرژی، به دست می آوریم
$E_1=E_2$
$\frac{1}{2} m v_1^2-\frac{GMm}{r_1}=\frac{1}{2} m v_2^2-\frac{GMm}{r_2}$
$\frac{1}{2} v_1^2-\frac{GM}{r_1}=\frac{1}{2} v_2^2-\frac{GM}{r_2}$
$\frac{1}{2} v_1^2-\frac{r_0 v_0^2}{r_1}=\frac{1}{2} v_2^2-\frac{r_0 v_0^2}{r_2}$
$r_1=r_0$
$\frac{1}{2} v_1^2-v_0^2=\frac{1}{2} v_2^2-\frac{r_1 v_0^2}{r_2}$
با استفاده از پایستگی تکانه زاویه ای، به دست می آوریم
$m r_1 v_1=m r_2 v_2$
$v_2=\frac{r_1}{r_2} v_1$
$\frac{1}{2} v_1^2-v_0^2=\frac{1}{2} (\frac{r_1}{r_2})^2 v_1^2-\frac{r_1 v_0^2}{r_2}$
$v_1^2-(\frac{r_1}{r_2})^2 v_1^2=2(v_0^2-\frac{r_1}{r_2} v_0^2)$
$v_1^2(1-(\frac{r_1}{r_2})^2)=2 v_0^2(1-\frac{r_1}{r_2})$
بنابراین در اینجا، می‌توانیم ببینیم که جبر در حال گیرکردن است. اگر هر دو طرف را بر $1-\frac{r_1}{r_2}$ تقسیم کنم، این فرمول را از اعمال زمانی که $r_1=r_2$ حذف می‌کند، حذف می‌کند، اما فرمولی که من می‌خواهم باید در آن مورد اعمال شود.
اگر پیش برویم و این تقسیم بندی را به هر حال انجام دهیم، می گیریم
$v_1^2(1+\frac{r_1}{r_2})=2 v_0^2$
$1+\frac{r_1}{r_2}=1+\frac{1-e}{1+e}=\frac{2}{1+e}$
$v_1^2(\frac{2}{1+e})=2 v_0^2$
$v=v_0 \sqrt{1+e}$
که با موارد آسان من در بالا مطابقت دارد. و بنابراین باید راه حل بسیار خوبی باشد.
امااستخراج در اینجا e=0 را حذف کرد، بنابراین من مشکل دارم.
از پایستگی تکانه زاویه ای استفاده کنید تا بگویید که $mv_1r_1 = mv_2r_2 \implies v_1 = v_2$ وقتی $r_1 = r_2.$ باشد. سپس، می توانید توجه داشته باشید که این ناپیوستگی در $v=v_0\sqrt{1+e}$ وقتی e=0 را پر می کند.
یک آرگومان حد ایجاد کنید تا $r_1 \neq r_2$ شروع از آخرین معادله غیر جم شده
$v_1^2\left(1-\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2\right)=2 v_0^2\left(1-\frac{r_1}{r_2}\right)$
$v_1^2=2 v_0^2\left(\frac{1-\frac{r_1}{r_2}}{1-\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2}\right)$
$\lim_{r_1 \to r_2}v_1^2=\lim_{r_1 \to r_2}2 v_0^2\left(\frac{1-\frac{r_1}{r_2}}{1-\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2}\right)$
$\lim_{r_1 \to r_2}v_1^2=\lim_{r_1 \to r_2}2 v_0^2\left(\frac{1}{1+\frac{r_1}{r_2}}\right)$
$\lim_{r_1 \to r_2}v_1^2=v_0^2$hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا
