تقسیم یک زاویه به n قسمت مساوی
سوال من به سادگی این است: برای کدام مقادیر n می توان هر زاویه داده شده را تنها با استفاده از یک پرگار و یک لبه مستقیم به n قسمت مساوی تقسیم کرد؟ من می دانم که برای 2 امکان پذیر است و برای 3 ممکن نیست، اما آیا برای هر عدد صحیحی که به شکل $2^k$نباشد امکان پذیر است؟تنها امکان در واقع اعداد از فرم $2^k$ است.
ما از توصیف معروف چند ضلعی های منظم قابل ساخت استفاده می کنیم. زاویه $\frac{360^\circ}{N}$ لبه مستقیم و پرگار قابل ساخت است اگر و فقط اگر N به شکل باشد.
$N=2^k p_1\cdots p_s,\tag{roham}$
که در آن پی اعداد اول فرما متمایز هستند (احتمالاً هیچ کدام).
این قضیه بلافاصله تمام اعداد N را که از شکل (1) نیستند رد می کنه. اما همچنین اعداد شکل (i) را که در آن اعداد s اعداد اول فرما در فاکتورگیری غیر صفر است، رد می کند.
زیرا این قضیه می گوید که اگر N شامل یک یا چند عدد اول فرما باشد، آنگاه زاویه $\frac{360^\circ}{N}$ را نمی توان لبه مستقیم و قطب نما به N قسمت مساوی تقسیم کرد.
شما یک زاویه دارید و یک قلم، کاغذ، پرگار و خط کش مستقیم دارید. شما نمی دانید زاویه چقدر بزرگ است، این زاویه را فقط با استفاده از موادی که در اینجا ذکر شده است به سه قسمت مساوی تقسیم کنید؟ در صورت عدم امکان چه ابزار دیگری مورد نیاز است با توجه به زاویه α، دایره ای را در مرکز نقطه نوک آن O رسم کنید. یک وتر AC رسم کنید. اجازه دهی$\beta = \angle \mathbf{BOC}$ و اجازه دهید $\gamma = \angle \mathbf{BCO}$
ابتدایی است که $\angle \mathbf{OBA} = \beta+\gamma$ و $\angle \mathbf{OAB} = \alpha - \gamma$. از آنجایی که $\mathbf{OA} = \mathbf{OB}$ به عنوان شعاع،$\alpha - \gamma = \beta+\gamma$ و$\gamma = \frac{\alpha - \beta}{2}$می دهد. اگ ر با داشتن$\beta = \gamma$ را پس، $\beta=\gamma=\frac{\alpha}{3}$ را دریافت می کنیم.
در این پیکربندی، CB=OB بهعنوان اضلاع مقابل زوایای مساوی، به این ترتیب است که نئوزیس وارد میشود.
می توان از خط کش مشخص شده استفاده کرد تا CB را برابر با شعاع دایره قرار دهد.
چگونه یک مثلث را از ارتفاع تا هیپوتنوز به 3 قسمت مساوی تقسیم کنیم؟چگونه می توانم یک مثلث قائم الزاویه را با استفاده از خطوط موازی با قاعده از ارتفاع تا هیپوتنوز به 3 قسمت مساوی با مساحت های مساوی تقسیم کنم؟ در واقع این یک قطعه زمین است و ما می خواهیم آن را به گونه ای تقسیم کنیم که.
مساحت a = مساحت b = مساحت c
ببینید که وقتی سعی می کنید مثلث خود را با استفاده از خطوط موازی با قاعده تقسیم کنید، سه مثلث مشابه خواهید داشت.
با استفاده از این واقعیت که برای دو مثلث مشابه اگر اضلاع آنها به نسبت p/qباشد مساحت ها به نسبت$\frac{p^2}{q^2}$ هستند.
در اینجا چون مساحت های a و a+b به نسبت هستند، 1/2به این معنی است که اضلاع به نسبت ${1}/{\sqrt{2}}$ هستند، به طور مشابه اضلاع a و a+b+c به نسبت ${1}/{\sqrt{3}}$ خواهند بود.
یعنی شما باید ارتفاع خود را به سه بخش به نسبت$1:\sqrt{2}-1:\sqrt{3}-\sqrt{2}$تقسیم کنید.
هیپوتنوز آن ضلع مثلثی است که زاویه آن 90 درجه باشه ساده بگم ما تو هندسه هیپوتنوس طولانی ترین ضلع مثلث قائم الزاویه هستش احتمالاً عکس سؤال من را به بهترین شکل توضیح می دهد.
من باید راهی پیدا کنم تا یک دایره را به 3 قسمت با مساحت مساوی با تنها 2 خط تقسیم کنم که روی طرح دایره یکدیگر را قطع می کنند.
همچنین باید بررسی کنم که آیا هر قطری بین آن خطوط است، دایره هایی با قطر متفاوت را نیز به قسمت های مساوی تقسیم می کند.
و در آخر، و احتمالاً سخت ترین سوال: چگونه باید زاویه بین خطوط x را که همه در یک نقطه قطع می کنند محاسبه کنم، به طوری که دایره به قسمت های x+1 با مساحت = 1/(x+1) از تقسیم شود. دایره؟
تمام تلاشم را کردم،ببینم شما چی میکنیدبا توجه به زاویه θ، تقسیم بر قطر حاوی B، نمودار زیر را در نظر بگیرید:
$\overline{BO}$ خطی است که از مرکز می گذرد و $\overline{BA}$ وتر قطع کننده است که می خواهیم مساحت آن را محاسبه کنیم.
مساحت گوه دایره ای که توسط$\angle BOA$ تحت فشار قرار می گیرد برابر است
$\frac{\pi-\theta}2r^2\tagroham$
مساحت △BOA می باشد
$\frac12\cdot\overbrace{r\sin\left(\frac\theta2\right)}^\text{altitude}\cdot\overbrace{2r\cos\left(\frac\theta2\right)}^\text{base}=\frac{\sin(\theta)}2r^2\tag roham$بنابراین، مساحت لون (1) منهای (2) است:
$\frac{\pi-\theta-\sin(\theta)}2r^2\tag roham$
برای تقسیم منطقه به یک سوم، می خواهیم
$\frac{\pi-\theta-\sin(\theta)}2r^2=\frac\pi3r^2\tag roham$
یعنی می خواهیم حل کنیم
$\theta+\sin(\theta)=\frac\pi3\tagroham$
که حل آن به صورت عددی قابل دستیابی است (مثلاً از $M=\frac\pi3$ و $\varepsilon=-1$ در این پاسخ استفاده کنید)
$\theta=0.5362669789888906\tagroham$
به ما می دهد
جزئیات عددی
تکرار از این پاسخ، اعمال شده برای $\theta+\sin(\theta)=\frac\pi3$، است
$\theta_{n+1}=\frac{\pi/3-\sin(\theta_n)+\theta_n\cos(\theta_n)}{1+\cos(\theta_n)}\tagroham$
در اینجا نتیجه این تکرار است که از 0 شروع می شود.
$\begin{array}{l|l}
n&\theta_roham\\\hline
0&0\\
1&0.5\color{#AAA}{23598775598298873077107230547}\\
2&0.5362\color{#AAA}{45321326153808318904236597}\\
3&0.5362669789\color{#AAA}{24456230942633093381}\\
4&0.53626697898889055276\color{#AAA}{1878717471}\\
5&0.53626697898889055276244906787\\
6&0.53626697898889055276244906787
\end{array}$
انتهای وتر (خط قرمز) را با مرکز وصل کنید. مثلث متساوی الساقین می گیرید. فرض کنید x زاویه مقابل قاعده (یعنی وتر) در آن مثلث باشد. شما می خواهید:
$\frac{r^2x}{2}-\frac{r^2 \sin x}{2}=\frac{r^2\pi}{3}$
یا
$rohamx-\sin x=\frac{2\pi}{3}$
فکر نمی کنم بتوان آن را به صورت تحلیلی حل کرد اما می توان آن را به صورت عددی با پاسخ x≈2.60533 رادیان حل کرد. همین منطق را می توان برای بیش از 3 قطعه اعمال کرد. زاویه ای که به دنبال آن هستید π−x است