اینکه آشیل شما باید قبل از رسیدن لاک پشت به بی نهایت نقاطی برسه که قبلاً در آنجا بوده همانطور که ارسطو گفته هرگز نمی تواند از لاک پشت سبقت بگیرد! این بدیهی است که اشتباهه
اجازه بدین تورتویس با سرعت $v_t$ و آرشیل با سرعت v حرکت کنند.
$\begin{equation}
d_A = d_0 + d _1 + ...
\end{equation}$
جایی که $d_i$ مسافت طی شده در یک مرحله است. سپس فاصله اولیه $d_0$ تنها جدایی اولیه بین آرشیل و تورتویس است. من $\Delta t _i$را به عنوان زمان مرحله i نشان اوردم. فاصله $d_1$ دقیقاً نشان میده که تورتویس تا چه اندازه توانسته است قدم بگذارد در حالی که آرشیل در حال رسیدن به موقعیت اولیه تورتویس بود. توسط آن داده می شود
$\begin{equation}
d_1=v_t \Delta t_1 =v_t \frac{d_0}{v}
\end{equation}$
به طور مشابه هم فاصله $d_2$ توسط داده میشه
$\begin{equation}
d_2=v_t \Delta t_2 = v_t \frac{d_1 }{v} = \left(\frac{v_t}{v} \right)^2 d_0
\end{equation}$
به راحتی می توان دید که این روند ادامه داره
$\begin{align}
d_A &= d_0 + \frac{v _t }{v} d_0 +\left(\frac{v_t}{v} \right)^2 d_0 + ... \\
&= d _0 \left( 1 + \frac{ v _t }{ v} + \left( \frac{ v _t }{ v } \right) ^2 + ...\right)
\end{align}$
در پرانتز یک سری هندسی دارم. اگر$v_t\le v$ پس$\begin{align}
d _ A & = d_0\frac{1}{ 1 - v _t / v }
\end{align}$
این متناهی است (و از این رو آرشیل می تواند به تورتویس برسد) تا زمانی که$v_t <v$. پارادوکس ظاهری این است که آرشیل باید بی نهایت قدم بردارد. با این حال، انجام بی نهایت قدم به این معنی نیست که مسافت بی نهایت (یا زمان بی نهایت) را می طلبد. یک سری نامتناهی می تواند همگرا شود، مانند این یکی یا واگرا شود.
فکر می کنم حل این مشکل به روش ساده و اجتناب از تقسیم آن به مراحل نیز جالب است. برای آرشیل و تورتویس دارم
$\begin{equation}
d_A=\frac{v}{t}\, , \quad d_t= \frac{v_t}{t}+d_0
\end{equation}$
با تنظیم$d_A = d_t$ و حل این معادلات $\begin{equation}
d_A=d_0 \frac{1}{1-v_t/v}
\end{equation}$
همان طور که خواسته شده.
اجازه دهید ai و bi را به صورت بازگشتی تعریف کنیم خوب حالا $a_0 = 0\\
b_0 = 1\\
a_i = a_{i-1} + (b_{i-1} - a_{i-1})\\
b_i = b_{i-1} + (b_{i-1} - a_{i-1})/2$
اثبات اینکه $b_i>a_i\ \forall i$با استفاده از استقرا آسان است.
بنابراین در حالی که $|b_i-a_i|$به 0 تمایل دارد، ما هرگز$a_i>b_i$ را نخواهیم داشت.
اکنون می توانیم $a_0$ را به عنوان موقعیت شروع آشیل و$b_0$را به عنوان موقعیت شروع تورتویس جایگزین کنم. و سپس موقعیت های بعدی آشیل توسط $a_i$ داده می شود (موقعیت جدید آشیل = موقعیت قدیمی تورتویس است که اولین بازگشته و فرض بر این است که تورتویس با نصف سرعت آشیل حرکت می کند. موقعیت های تورتویس با $b_i$نشان داده می شود. (بنابراین، موقعیت جدید تورتویس = موقعیت قدیمی + 1/2 مسافت طی شده توسط آشیل که دومین بازگشت است.)
من $b_i>a_i\ \forall i$ را ثابت کردم، بنابراین من ادعا میکنم آشیل همیشه پشت تورتویس خواهد بود (او نزدیکتر و نزدیکتر میشود اما هرگز سبقت نمیگیرد).خوب بازم بدیهی است که من اشتباه می کنم، اما دقیقاً کجا / کدام مرحله از اثبات بالا
از آنجایی که این کار را نکردید، اجازه دهید سعی کنم متغیر i شما را به زمان نگاشت کنم.
بیایید فرض کنیم که آشیل و تورتویس سرعت ثابتی دارند (این مهم است) و سرعت آشیل 1 متر بر ثانیه است. بنابراین، از تعریف من از ai و bi، به راحتی می توان دریافت که سرعت تورتویس باید 0.5 متر بر ثانیه باشد.
من ai و bi را به عنوان توابع بازگشتی تعریف کردم، اما همچنین می توان آنها را به عنوان یک توابع با ارزش واقعی و پیوسته تعریف کرد. بسط طبیعی تعریف من این است:
$a_i = 2 - 2^{(1 - i)}\\
b_i = 2 - 2^{-i}$
از آنجایی که سرعت آشیل 1 متر بر ثانیه است، زمان برابر است با:
$t(i) = \frac{a_i}{1 \text{m/s}} = 2 - 2^{(1 - i)}$
من میتونم مشکل را ببینیم که $t: \mathbb{R} \rightarrow (-\infty, 2)$است، یعنی $t(i) < 2\ \forall i \in \mathbb{R}$. این بدان معناست که بدون توجه به مقدار i، هرگز نمی تواند جایی را که t≥2$ $در آن باشد، توصیف کند. اگر نمودار a، b و i را با توجه به موقعیت و زمان ترسیم کنیم، واضح می شود در این نمودار باید به چند نکته توجه کرد
هرچه آشیل و لاک پشت به نقطه تقاطع نزدیکتر شوند، در 2 متری، متغیر i تعریف شده شما به سرعت به سمت بی نهایت میل می کند. در واقع $\lim_{i\rightarrow \infty} a_i = 2$که نقطه عبور است.
یعنی منحنی i هرگز از خط t=2 عبور نمی کند.
تابع معکوس i(t) در R برای t≥2$ $تعریف نشده است، همانطور که می بینید $i(t) = \log_2 \left(\frac{2}{2-t}\right)$
بنابراین این همان جایی است که من با تاکیدمن"آشیل همیشه پشت تورتویس خواهد بود مخالفم: ممکن است درست باشد که بگوییم "آشیل برای تمام مقادیر i پشت تورتویس خواهد بود"، اما من نمی توانم کل فاصله زمانی فیزیکی را توصیف کنم اگر سرعت ها ثابت است در عوض من به سادگی برای زمان هایی که آشیل از تورتویس پیشی گرفته است، تعریف نشده است.
دنبالههای an، bn که یادداشت کردهاید، به ترتیب عکسهای فوری مجزای موقعیتهای $x_a(t)$ و$x_b(t)$آشیل و تورتویس هستند. با اجازه دادن به زمان اولیه t0=0، داریم $\begin{align}
a_n &= x_a(t_n)\\
b_n &= x_b(t_n),
\end{align}$
جایی که $\begin{align}
x_a(t) &= vt\\
x_b(t) &= x_0 + \frac{v}{2}t
\end{align}$
اگر زمان اولیه t0=0 را انتخاب کنیم. دنباله خاصی که می سازید از واحدهایی استفاده می کند که در آنها v=1 و $x_0 = 1$ است، اما ممکن است این شرایط اولیه را نیز دلخواه نگه داریم.
دنباله موقعیت های شما همچنین شامل یک انتخاب ضمنی از ترتیب زمان های $t_n$ است که در آن ما این موقعیت ها را مشاهده می کنیم. اجازه دهید این دنباله را با اعمال معادله گسسته زمان-تکامل در این موقعیت ها واضح کنیم. از رابطه $a_n = a_{n-1} + \left[b_{n-1} - a_{n-1}\right] = b_{n-1}$ دریافت کنید
$\begin{align}
x_a(t_n) &= x_b(t_{n-1})\\
\rightarrow vt_n&=x_0+\frac{v}{2}t_{n-1},
\end{align}$
به طوری که
$\begin{align}
t_n = \frac{x_0}{v}+\frac{1}{2}t_{n-1}.
\end{align}$.
با شروع از زمان اولیه $t_0$ دریافت می کنیم
$\begin{align}
t_1 = \frac{x_0}{v},\,
t_2 = \frac{3}{2}\frac{x_0}{v},\,
t_3 = \frac{7}{4} \frac{x_0}{v},\,\ldots
\end{align}$
اکنون، به عنوان $n\rightarrow \infty$ ,$t_n \rightarrow 2x_0/v$داریم، اما برای هر n محدود،$t_n < 2x_0/v$
اگر زمان$t_{\ast}$ را جستجو کنیم که آشیل از تورتویس سبقت می گیره متوجه می شویم
$\begin{align}
x_a(t_{\ast}) = x_b(t_{\ast}) \rightarrow vt_{\ast} = x_0 + \frac{v}{2}t_{\ast} \rightarrow t_{\ast} = 2 \frac{x_0}{v}.
\end{align}$
هر موقعیتی که توسط دنباله شما گرفته می شود باید $t_n < t_{\ast}$ داشته باشد، بنابراین جای تعجب نیست که ما $x_a(t_n) < x_b(t_n)$ را برای هر یک از $t_n$ شما پیدا کنیم.hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا