فرض کنید یه مسئله دینامیک دارین یعنی در حال حرکت و تغییر. حالا شما می‌خواهید بفهمید چجوری باید برخورد کنید تا بهینه و با محدودیت‌هایی که دارین به جلو برین.
لاگرانژی به شما این اجازه رو میده که با محدودیت‌هایتون راحت‌تر کار کنین. خیلی وقتا مثل اینه که توی یه رقص شلوغ شده‌اید و لاگرانژی میاد و میگه: خوب دیگه شما برقصید،من می‌بینم و باهاتون هماهنگ می‌شم
توی دینامیک معمولاً با استفاده از لاگرانژی، مسائل بهینه‌سازی رو که معمولاً مثل چیزهایی که دوست داریم بیشینه بشه یا کمینه بشه، بهتر می‌تونیم حل کنیم. مثلاً اگر یک ماشین داریم و می‌خواهیم بفهمیم چجوری باید سرعتش رو تغییر بدیم تا به سرعت بیشینه برسیم، اینجا لاگرانژی به ما کمک میکنه.
پس برای اینکه لاگرانژی رو درک کنیم، مثل تعامل با یک دوست باهوش است. همیشه زمان خوبیه که دوست داشتنی‌ترین رقصی که در حال اجرا هستیم، با محدودیت‌هامون بهترین شکل رو بگیره.
لاگرانژی یک فرمولاسیون ریاضیه که برای حل مسائل بهینه‌سازی با محدودیت‌ها استفاده میشه. در واقع، وقتی با مسائل بهینه‌سازی و محدودیت‌ها سر و کار داریم، لاگرانژی یه ابزار قدرتمنده.
بیاین یکم فرآیند رو توضیح بدم. فرض کنید می‌خواهید یک مسئله بهینه‌سازی داشته باشید. معمولاً این مسائل دو جزء دارند: تابع هدف که می‌خواهید آن را بهینه کنید، و محدودیت‌ها که شرایطی هستند که باید رعایت کنید.
حالا بیاین من یه مثال بزنم جلو. بفرضید می‌خواهید یک باغچه برای کاشت گل‌ها طراحی کنید. شما می‌خواهید مساحت باغچه را بهینه کنید (تابع هدف)، اما همزمان محدودیت‌هایی مثل مساحت محدود برای گلخانه و تعداد آبیاری‌ها را هم باید رعایت کنید.
حالا معادله لاگرانژی برای این مسئله به صورت زیر خواهد بود:$L(A, \lambda_1, \lambda_2) = \text{Area of the garden} - \lambda_1 (\text{Permitted greenhouse area} - \text{Actual greenhouse area}) - \lambda_2 (\text{Permitted irrigations} - \text{Actual irrigations})$
ضرایب لاگرانژ مربوط به محدودیت‌ها هستن. این ضرایب لاگرانژ به مت و شما کمک می‌کنند که محدودیت‌ها را به تابع هدف اضافه کنیم و به بهینه بودن مسئله دست پیدا کنیم.
بنا به تعریف لاگرانژی تفاضل کینتیک انرژی و انرژی پتانسیله. یعنی: که همون قانون دوم نیوتنه
اپتیمایزیشن (Optimization): این اصطلاح به بهینه‌سازی یک فرایند یا سیستم بر اساس یک معیار خاص یا چندین معیار می‌پردازه. هدفش اینه که بهترین مقدار یا وضعیت را برای مسئله مشخصی بیابه.
واریابل (Variable) واریابل یا متغیر نمایانگر مقداریه که میتونه در یک تابع تغییر کنه. تو مسائل بهینه‌سازی ما می‌تونیم بهینه‌سازی یک تابع را با تغییر واریابل‌های مربوطه انجام بدیم
کنستریت (Constraint) خوب میگه در مسائل بهینه‌سازی شما با محدودیت‌ها یا شرایطی که باید براورده شوند برخورد کنی. این محدودیت‌ها همون کنسترینت‌ها .
ریاضیات مفهوم لاگرانژی روشی برای حل مساله های اپتیمایزیشن بهینه سازی با کنسترینت همون محدودیت(Constrained Optimization) استفاده میشه. پس لاگرانژی یک تابع از واریابل همون متغییر های هدف (تابعی که باید بهینه شه) و واریابل های کنسترینت
فرض کن که من یک مسأله اپتیمایزیشن با تابع هدف دارم$f(x
1
,x
2
,…,x
n
)$
و یک مجموعه از کنسترینت‌ها به شکل
)=0. لاگرانژیان مرتبط با این مسأله به شکل زیر تعریف میشه:$L(x
1
,x
2
,…,x
n
,λ
1
,…,λ
m
)=f(x
1
,x
2
,…,x
n
)+∑
i=1
m
λ
i
g
i
(x
1
,x
2
,…,x
n
)+∑
j=1
p
μ
j
h
j
(x
1
,x
2
,…,x
n
)$
برای یافتن ماکزیمم یا مینیمم تابع $f(x,y,z)$ زیر کنسترینت$g(x,y,z)=k$, از روش لاگرانژی استفاده میشه. فرض کن میخام تابع زیر را اپتیمایزیشن کنم
$F(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λ(g(x,y,z)−k)$
که λ چندگان لاگرانژی است. حالا با گرفتن مشتقات جزئی از F نسبت به x, y, z و λ و قرار دادن آنها برابر با صفر معادلات ناشی از این مشتقات جزئی را حل میکنم. این کار با حل یک سیستم معادلات صورت می‌گیره.$∂x/∂F =0$و برای بقیه همینطوره
در مکانیک تئوری لاگرانژ بر اساس اصل عمل ایستا و اصل حرکت تعریف میشه. این تئوری اینطور کار میکنه که مسیر واقعی یک سیستم از مسیری پیش‌فرض بهینه‌تره خودش اصله ها.
لاگرانژی میگه L=T−Uببین T نمایانگر سنتيک سیستم انرژی حرکته.U نمایانگر انرژی پتانسیل سیستمه.
اصل عمل ایستا: برای یک سیستم در حالت ایستا (T=0) مسیر واقعی باید انرژی کمینه‌ای (حداقل انرژی پتانسیل) داشته باشه.
اصل حرکت: برای یک سیستم در حال حرکت مسیر واقعی باید مسیری باشه که انرژی کل (کینتی و پتانسیل) حداقل یا حداکثر باشه (بسته به مسئله).
مسأله اپتیمایزیشن با لاگرانژی به شکل حل کردن مینیمم یا ماکزیمم لاگرانژیان به شرط تساوی صفر کردن مشتقات جزئی نسبت به تمام وریبل ها است.
مزایا و مفید بودن روش لاگرانژی چیه
تبدیل به مسئله بدون کنسترینت تبدیل مسئله اپتیمایزیشن با کنسترینت به یک مسئله بدون کنسترینت حلشو ساده میکنه
حل سریع مساله شما
اعمال کردن کنسترینت رو به‌صورت مستقیم: با استفاده از واریابل های لاگرانژی میشه کنسترینت را به‌صورت مستقیم به تابع هدف اضافه کرد و تو اپتیمایزیشن مدلش کرد.
معادلات حرکت لاگرانژ ااینطوری هستند:${\displaystyle {\partial L \over {\partial x}}-{d \over {dt}}{\partial L \over {\partial {\dot {x}}}}=0}$
در مکانیک که من خوندم کنسترینت در یک سیستم پارامتریه که سیستم باید از آن تبعیت کنه. مثل یه جعبه ای که از یک شیب به پایین می لغزه باید روی شیب باقی بمونه. دو نوع کنسترینت مختلف وجود داره هولونومیک و غیرهولونومیک.سادشو بگم
در مکانیک کنسترینت یعنی کنسترینتی که روی حرکت یا حالت یک سیستم اثر می‌گذاره. این کنسترینت میتونه کنسترینت‌های مختلفی باشه که بر اساسش تحلیل و حرکت سیستم‌های مکانیکی انجام میشه.
به عنوان مثال:
کنسترینت‌های مکانی: مثلاً یه جسم میتونه کنسترینت‌های مختلفی در حرکتش داشته باشه، مثل کنسترینت‌هایی برای حرکت روی یک سطح یا روی یه مسیر خاص.
کنسترینت‌های زمانی: بعضی از مسائل مکانیک ممکنه کنسترینتشهایی بر زمان داشته باشن، مثل زمان‌های خاص برای حرکت یا رخدادهای خاص.
کنسترینت‌های انرژی: ممکنه کنسترینت‌هایی بر روی انرژی سیستم اعمال بشه.
در فرمول لاگرانژی معمولاً به آن نیروی کنسترینت می گویند. نیروی کنسترینت اصطلاحی کلی است که بر روی یک ذره اعمال می شود تا حرکت آن در یک مسیر خاص را محدود کند.
در مورد یه جسمی که روی سطح حرکت میکنه، نیروهای کنسترینت به اصطلاح نیروهایی گفته میشن که براشون می‌فهمونن که باید چطوری حرکت کنه. برای مثال، یه نیروی مثل وزن (که به پایین جذب میشه) و یه نیروی عمودی به سطح (نیروی عادی) که سطح به جسم فشار می‌اره نیروهای کنسترینت حساب میشن.
تو مواقعی که نیروهای کنسترینت وجود دارن و سیستم با اون‌ها حرکت میکنه، از یه تئوری به اسم لاگرانژ استفاده میشه. این تئوری این امکان رو میده که مسائل اپتیمایزیشن با کنسترینت‌ها رو به مسائل بدون کنسترینت تبدیل کنیم و از روش‌هایاپتیمایزیشن برای حلشون استفاده کنیم.
با استفاده از فرمولهای لاگرانژی، میشه کنسترینت‌های مختلف رو به عنوان شرایط اپتیمایزیشن به مسئله اضافه کرد و بعد مسئله رو با روش‌های معمول حل کرد. این روش معمولاً برای حل مسائل مهندسی و علوم طبیعی با کنسترینت‌های پیچیده واقعی استفاده میشه.
در مکانیک کلاسیک، کنسترینت به معنای شرایطیه که سیستم باید ازش پیروی کنه. این کنسترینت معمولا به شکل روابطی بین مختصات یا سرعتاش مطرح میشن. دو نوع اصلی از کنسترینت تو مکانیک کلاسیک به اسم کنسترینت هولونومیک و غیرهولونومیک شناخته میشن.
۱. کنسترینت Constraint هولونومیک:
این نوع کنسترینتا به روابط ریاضی خطی بین مختصات سیستم ارتباط دارن. به عبارت دیگه، میشه اینا رو با معادلات خطی بیان کرد.
مثال: اگه یه ذره روی یه صفحه حرکت کنه، میشه با یه رابطه خطی مثل "ax + by + cz = 0" کنسترینت هولونومیک رو نشون داد.
۲. کنسترینتا Constraintغیرهولونومیک:
این نوع کنسترینت به روابط غیرخطی بین مختصات یا سرعتاش مرتبط میشن.
