اثبات روابط طولی مثلث قائم الزاویه با قضیه فیثاغورس

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
Alitehrani1000

عضویت : جمعه ۱۴۰۱/۹/۱۸ - ۱۵:۲۷


پست: 1



اثبات روابط طولی مثلث قائم الزاویه با قضیه فیثاغورس

پست توسط Alitehrani1000 »

با استفاده از تشابه مثلث‌ها و قضیه تالس می‌توان در یک مثلث قائم الزاویه روابط زیبایی بین ضلع‌ها، ارتفاعِ وارد بر وتر و پاره‌خط‌های به وجود آمده پیدا کرد. این روابط به روابط طولی در مثلث قائم الزوایه معروف هستند. با استفاده از این روابط طولی می‌توان با داشتن بعضی از اجزاء مثلث قائم الزاویه بقیه اجزاء را پیدا کرد.

ولی این روابط را می توان با استفاده از قضیه فیثاغورس هم اثبات کرد.

برای مثال مثلث قائم الزاویه ای را بصورت $
\mathop{ABC}\limits^{\mathrm{\triangle}}
$ در نظر بگیرید که ارتفاع $
AH
$ از نقطه A بر ضلع $
BC
$ وارد است.
پس داریم:
$
{AB}^{2}\mathrm{{+}}{AC}^{2}\mathrm{{=}}{BC}^{2}
$
و میتوان بجای $
{AC}^{2}
$ و $
{BC}^{2}
$
به ترتیب نوشت $
{AH}^{2}\mathrm{{+}}{CH}^{2}
$ و$
{\mathrm{(}}{BH}\mathrm{{+}}{CH}{\mathrm{)}}^{2}
$ پس نتیجه می گیریم:
$
{AB}^{2}\mathrm{{+}}{AH}^{2}\kern-0.1em\mathrm{{+}}{\kern-0.1emCH}^{2}\kern-0.1em\mathrm{{=}}{\kern-0.1em\mathrm{(}}{\kern-0.1emBH}\kern-0.1em\mathrm{{+}}{\kern-0.1emCH}{\kern-0.1em\mathrm{)}}^{2}
$
طبق اتحاد نوع اول داریم:
$
{AB}^{2}\mathrm{{+}}{AH}^{2}\mathrm{{+}}{CH}^{2}\mathrm{{=}}{BH}^{2}\mathrm{{+}}{CH}^{2}\mathrm{{+}}{2}{BH}\mathrm{\times}{CH}
$
سپس بجای $
{AH}^{2}
$ می توان $
{AB}^{2}\mathrm{{-}}{BH}^{2}
$ را قرار داد و بعد از آن میتوانیم $
{CH}^{2}
$ را از دو طرف تساوی حذف کنیم.پس داریم:
$
{2}{AB}^{2}\mathrm{{-}}{BH}^{2}\mathrm{{=}}{BH}^{2}\mathrm{{+}}{2}{BH}\mathrm{\times}{CH}
$
سپس داریم:
$
{2}{AB}^{2}\mathrm{{=}}{2}{BH}^{2}\mathrm{{+}}{2}{BH}\mathrm{\times}{CH}
$
و میتوانیم طرفین را بر ۲ تقسیم کنیم و سپس با فاکتور گرفتن $
BH
$ داریم:
$
{AB}^{2}\mathrm{{=}}{BH}{\mathrm{(}}{BH}\mathrm{{+}}{CH}{\mathrm{)}}
$ و چون $
{\mathrm{(}}{BH}\mathrm{{+}}{CH}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}{BC}
$ داریم:
$
{AB}^{2}\mathrm{{=}}{BH}\mathrm{\times}{CH}
$

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3282

سپاس: 5494

جنسیت:

تماس:

Re: اثبات روابط طولی مثلث قائم الزاویه با قضیه فیثاغورس

پست توسط rohamavation »

من روش سادهشو میزارم براتون همه بلدند
بارسم یک مربع:یک مربع با طول‌های a+b را رسم کن و اونو را ABCD فرض کن
حالا یه مستطیل با ابعاد a و b را درون مربع ABCD قرار بده. این مستطیل را ECFB نام بزار هرچی دلت خواست خوب رسم یک مربع دیگه یک مربع با طول‌های
b+c را درون مستطیل ECFB قرار بده و اسمشو را EFGH بزار که من اینو گذاشتم تشکیل یک مستطیل دیگه حالا یک مستطیل با ابعاد a و c را درون مربع EFGH قرار میدم و آن را ABHG مینامم.
:مساحت مربع ABCD برابر با $b^2$ است و مساحت مستطیل ECFB برابر با a×b است.و مساحت مربع EFGH برابر با $(c+b)^2$ و مساحت مستطیل ABHG برابر با a×c است.
محاسبه مساحت با دو روش:مساحت مربع ABCD باید برابر با جمع مساحت مستطیل ECFB و مساحت مستطیل ABHG باشه دیگه =a×b+a×cبا جمع زدن و ساده‌سازی به معادله فیثاغورث $a^2 + b^2 = c^2$ می‌رسیم.خوب اینجا
مساحت مربع کل (ABCD) برابر با جمع مساحت دو مستطیل (ECFB و ABHG) هستش که به نتیجه نهایی معروف فیثاغورث میرسه
حل تحلیلی معادله فیثاغورث در یک مثلث قائم‌الزاویه:
فرض کن ABC یک مثلث قائم‌الزاویه باشه (زاویه قائم در نقطه B) و طول کناره‌ها a، b و c باشه و c طول کنار مقابل زاویه قائم هستش
حالا می‌خوام از طریق تحلیل موقعیت نقاط در صفحه معادله فیثاغورث را ثابت کنم.
مختصات نقاط
\begin{align*}
\text{Point A:} & \quad (0,0) \\
\text{Point B:} & \quad (c,0) \\
\text{Point C:} & \quad (0,b) \\
\end{align*}
معادله خطوط AB و AC
\begin{align*}
\text{Line roham, AB:} & \quad y = \frac{c}{b}x \\
\text{Line roham2 AC:} & \quad y = -\frac{b}{c}x + b \\
\end{align*}
نقطه تقاطع خطوط AB و AC
$\text{Intersection point roham (D):} \quad \left(\frac{b^2 + c^2}{bc}, \frac{b^2 + c^2}{b}\right)$
محاسبه فواصل
\begin{align*}
\text{Length AC:} & \quad \lvert AC \rvert = b \\
\text{Length AD:} & \quad \lvert AD \rvert = \frac{bc}{\sqrt{b^2 + c^2}} \\
\text{Length DC:} & \quad \lvert DC \rvert = \frac{b^2c}{\sqrt{b^2 + c^2}} \\
\end{align*}
معادله فیثاغورث
\begin{align*}
\lvert AC \rvert^2 & = \lvert AD \rvert^2 + \lvert DC \rvert^2 \\
b^2 & = \left(\frac{bc}{\sqrt{b^2 + c^2}}\right)^2 + \left(\frac{b^2c}{\sqrt{b^2 + c^2}}\right)^2 \\
b^2 & = \frac{b^2c^2}{b^2 + c^2} + \frac{b^4c^2}{b^2 + c^2} \\
b^2 & = \frac{b^2 + c^2}{b^2 + c^2} \cdot \frac{b^2c^2 + b^4c^2}{b^2 + c^2} \\
b^2 & = \frac{b^2c^2 + b^4c^2}{b^2 + c^2} \\
b^2 & = c^2 \\
\end{align*}
این نشون میده که نقطه D درست روی AC واقع شده . این نتیجه نشان‌دهنده تطابق معادله فیثاغورثه و درستی اونو ثابت میکنه.
{اثبات قضیه فیثاغورث با استفاده از دینامیک و لاگرانژ
میخوام اثبات کنم که در یک مثلث قائم‌الزاویه، مجذور طول فرضیه (وتر) \(c\) برابر با جمع مجذور طول دو ضلع \(a\) و \(b\) هست همینو میخوای
من یک مثلث قائم‌الزاویه با ضلع‌های \(a\)، \(b\) و \(c\) (که \(c\) وتر است) را در نظر میگرم. فرض میکنم زاویه میان ضلع \(a\) و \(c\) برابر با \(90^\circ\) باشه
حالا من قصد داریم از مفاهیم دینامیک و لاگرانژ برای اثباتن این قضیه استفاده کنم.
با توجه به قانون دوم نیوتن نیرو برابر با جرم ضرب شتابه
\[
\mathbf{F} = m\mathbf{a}
\]
اگر فرض کنم که نیروهای خارجی در حالتی که بر ذره اعمال نمیشه (\(\sum \mathbf{F} = 0\))، دارای مجموعه نیروهای \(\mathbf{F}_a\)، \(\mathbf{F}_b\) و \(\mathbf{F}_c\) هست
اگه نیروهایی که بر روی هر ضلع اعمال میشه را در نظر بگیرم. برای ضلع \(a\)، نیرو \(\mathbf{F}_a\) برابره
\[
\mathbf{F}_a = m\mathbf{a}_a
\]
همچنین برای ضلع \(b\) دارم
\[
\mathbf{F}_b = m\mathbf{a}_b
\]
و برای وتر \(c\):
\[
\mathbf{F}_c = m\mathbf{a}_c
\]
حالا این شتاب‌ها را به صورت وکتور میارم
\[
\begin{align*}
\mathbf{a}_a &= a\cos(\theta) \hat{\imath} + a\sin(\theta) \hat{\jmath} \\
\mathbf{a}_b &= -b\sin(\theta) \hat{\imath} + b\cos(\theta) \hat{\jmath} \\
\mathbf{a}_c &= c\hat{\imath}
\end{align*}
\]
که \(\hat{\imath}\) و \(\hat{\jmath}\) وکتورهای یکانی به ترتیب در جهت x و y هستن.
حالا نیروها را به صورت وکتور میارم
\[
\begin{align*}
\mathbf{F}_a &= m(a\cos(\theta) \hat{\imath} + a\sin(\theta) \hat{\jmath}) \\
\mathbf{F}_b &= m(-b\sin(\theta) \hat{\imath} + b\cos(\theta) \hat{\jmath}) \\
\mathbf{F}_c &= m(c\hat{\imath})
\end{align*}
\]
حالا نیروها را با هم جمع میکنم
\[
\begin{align*}
\sum \mathbf{F} &= \mathbf{F}_a + \mathbf{F}_b + \mathbf{F}_c \\
&= m(a\cos(\theta) - b\sin(\theta) + c)\hat{\imath} + m(a\sin(\theta) + b\cos(\theta)) \hat{\jmath}
\end{align*}
\]
زیرا مجموع نیروها باید صفر باشه وکتوربرابر با صفره
\[
m(a\cos(\theta) - b\sin(\theta) + c)\hat{\imath} + m(a\sin(\theta) + b\cos(\theta)) \hat{\jmath} = 0
\]
این برابری نشان می‌دهد که زاویه میان وکتورهای \(\mathbf{a}\) و \(\mathbf{b}\) برابر با \(90^\circ\) است پس
\[
a^2 + b^2 = c^2
\]
که همون قضیه فیثاغورثه
مثال دیگری از اثبات قضیه فیثاغورث با استفاده از لاگرانژ و وکتورها
\begin{equation}
\begin{aligned}
\text{roham wants to prove that it is in a right triangle:} \quad |\mathbf{c}|^2 &= |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2
\end{aligned}
\end{equation}
فرض کن متغیرهای برداری زیر داشته باشم
a: بردار متناظر با ضلع a: و bبردار متناظر با ضلع b
c: بردار متناظر با وتر c (وتر مقابل زاویه 90 درجه)
حالا از لاگرانژی برای این مسئله استفاده میکنم. تابع لاگرانژ ی اینطور میارم
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathcal{L}(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, \lambda) = |\mathbf{c}|^2 - \lambda (|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - |\mathbf{c}|^2)
\end{aligned}
\end{equation}
که λ ضریب لاگرانژه. حالا مشتقات جزئی این تابع نسبت به a، b، c و λ را می‌گیرم و برابر صفر قرار میدمشون
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{a}} &= -2\lambda\mathbf{a} = \mathbf{0} \
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{b}} &= -2\lambda\mathbf{b} = \mathbf{0} \
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{c}} &= 2\mathbf{c} - 2\lambda\mathbf{c} = \mathbf{0} \
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} &= -(|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - |\mathbf{c}|^2) = 0
\end{aligned}
\end{equation}
از معادلات اول و دوم به دست اومده میتونم بگمλ باید صفر باشد یا وکتورهای a و b صفر باشند. اما اگر این وکتورها صفر باشن مثلث قائم‌الزاویه وجود نداره. پس
λ باید صفر باشه
از معادله سوم نیز دارمc همواره هم‌راستا باλc است. این نتیجه نشون میده که وتر c در یک خط با ضلع‌های a و b هم‌راستاهستش. امعنیش میشه که زاویه بین
a و b برابر با 90 درجه هستش
حالا می‌تونم از رابطه گشتاور بردارها برای مشخص کردن ابعاد ضلع‌ها استفاده کنم
\begin{equation}
\begin{aligned}
|\mathbf{c}|^2 &= |\lambda \mathbf{c}|^2 + |\mathbf{a}|^2 \
&= \lambda^2 |\mathbf{c}|^2 + |\mathbf{a}|^2
\end{aligned}
\end{equation}
که از معادله چهارم به دست آمده است. حالا اگه $\|c\| \neq 0$ باشه میشه این معادله را بر $\|\mathbf{c}\|^2 $ تقسیم کنم
\begin{equation}
\begin{aligned}
1 &= \lambda^2 + \frac{|\mathbf{a}|^2}{|\mathbf{c}|^2} \
|\mathbf{c}|^2 &= |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2
\end{aligned}
\end{equation}
که دقیقاً قضیه فیثاغورثه.
آخرین ویرایش توسط rohamavation یک‌شنبه ۱۴۰۲/۱۲/۱۳ - ۰۹:۰۲, ویرایش شده کلا 2 بار
تصویر

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3282

سپاس: 5494

جنسیت:

تماس:

Re: اثبات روابط طولی مثلث قائم الزاویه با قضیه فیثاغورس

پست توسط rohamavation »

خوب من الان روشب بهت میدم که تو دینامیک هم هست و کاربردیه فکر نکنم بدونی اونم میگه روش رهام با دینامیک
اثبات با روش دینامیک
حالا بیایید از نظر دینامیک حلش کنم. در دینامیک میدونی قانون دوم نیوتن میگه که نیرو برابر با جرم ضرب تغییر سرعته
\[
\vec{F} = m\vec{a}
\]
فرض کن یک ذره در یک صفحه حرکت میکنه و نیروهایی مثل گرانش (وزن) یا نیروهای دیگه روی اون عمل میکن. اگر در نظر بگیرم که حرکت این ذره در یک مسیر مستقیم و مستقل از مسیرهای دیگه هستش میتونم قانون دوم نیوتن اینطور بیارم\[
\vec{F} = m\vec{a} = \text{works done by roham}
\]
حالا فرض کنی این ذره از نقطه \(A\) به \(B\) حرکت میکنه. اگر در ابتدا سرعت صفر باشه و اگر این حرکت را در جهت \(x\) اعمال کنم پس
\[
\vec{v} = \int \vec{a} \,dt
\]
حالا اگر حرکت را در جهت \(y\) اعمال کنم
\[
\vec{w} = \int \vec{a} \,dt
\]
بر اساس قضیه کار و انرژی دارم
\[
\text{Work Done} = \text{Change in Kinetic Energy}
\]
اگه این ذره از نقطه \(A\) به نقطه \(B\) حرکت کنه کار انجام شده برابر با تغییر انرژی کینتیکه. اگر \(m\) جرم ذره و \(v\) سرعت آن باشه انرژی کینتیکش برابر با \(\frac{1}{2}mv^2\) هستشز
پس اگه \(\vec{a}\) نیرویی که در جهت \(x\) عمل میکنه باشه می‌تونم بنویسم
\[
\text{work Done by roham} = \int \vec{F} \cdot d\vec{s} = \frac{1}{2}m(v_x^2 - u_x^2)
\]
که \(u_x\) سرعت اولیه در جهت \(x\) و \(v_x\) سرعت نهایی در جهت \(x\)هستش همچنین اگه \(\vec{a}\) نیرویی باشه که در جهت \(y\) عمل میکنه
\[
\text{work Done} = \int \vec{F} \cdot d\vec{s} = \frac{1}{2}m(v_y^2 - u_y^2)
\]
همچنین اگه از قانون دوم نیوتن برای جهت \(x\) استفاده کنم دارم \[
\vec{F} = m\vec{a}
\]
با توجه به اینکه در این مسئله من فقط نیروی گرانشی (وزن) در جهت \(y\) عمل میکنه فقط در این جهت \(\vec{a}\) دارم و پس \[
\vec{F} = m\vec{a} \Rightarrow \vec{a} = \vec{g}
\]
حالا کار انجام شده در جهت \(y\) برابره با
\[
\text{work Done} = \int \vec{F} \cdot d\vec{s} = \frac{1}{2}m(v_y^2 - u_y^2)
\]
حالا اگر این ذره از نقطه \(A\) به نقطه \(B\) حرکت کنه و فرض کنم که در ابتدا و انتها در حالت استراحته یعنی سکونه
\[
\vec{u} = \vec{v} = \vec{0}
\]
پس دارم
\[
\text{work Done} = \frac{1}{2}m(v_x^2 + v_y^2)
\]
حالا اگه همه اینارو را با هم جمع کنم
\[
\frac{1}{2}m(v_x^2 + v_y^2) = \frac{1}{2}m(v_x^2 - u_x^2) + \frac{1}{2}m(v_y^2 - u_y^2)
\]
این همون فرمول فیثاغورثه
\[
c^2 = a^2 + b^2
\]
که در اینجا \(c\) طول مسیر مستقیم (فیثاغورث) \(a\) طول مسیر در جهت \(x\) و \(b\) طول مسیر در جهت \(y\) هستش
روش دوم من
در این اثبات از روش لاگرانژی استفاده میکنم
میخوام بگم بهتون از مفهوم تفاوت مجذور طول دو ضلع نسبت به مجذور طول وتر (فیثاغورث) استفاده کنم
ابتدا من یک تابع لاگرانژ تعریف میکنم که تفاوت مجذور طول دو ضلع مثلث نسبت به مجذور طول وتر را به حداقل میرسونه. $\mathcal{L}(\mathbf{c}, \lambda) = |\mathbf{c}|^2 - \lambda(|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - |\mathbf{c}|^2)$
برای این کار از مفهوم لاگرانژی استفاده میکنم. لاگرانژی یک تابعه که به مسئله اضافه میشه تا بشه موقعیت مطلوب راحساب کرد. من میخام تفاوت میان مجذور سه ضلع را به حداقل برسونم
خوی سه بردار دارم
فرض کنید دو بردار $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ با مقادیر $a$ و $b$ به ترتیب داشته باشم. و $\mathbf{c}$ جمع بردار $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ باشه
\[
\mathbf{c} = \mathbf{a} + \mathbf{b}
\]
هدف من میخوام براتون اثبات کنم
\[
|\mathbf{c}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2
\]
من، از لاگرانژی استفاده میکنم
\[
\mathcal{L}(\mathbf{c}, \lambda) = |\mathbf{c}|^2 - \lambda(|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - |\mathbf{c}|^2)
\]
که در اون $\lambda$ ضریب لاگرانژه. خوب مشتقات جزئی از لاگرانژی نسبت به مؤلفه‌های $\mathbf{c}$ و $\lambda$ را میگیرم و اونا را برابر صفر قرار میدم
که $\lambda$ یک ضریب لاگرانژه. خوب من مشتقات جزئی این تابع را نسبت به $\mathbf{c}$ و $\lambda$ میگیرم و اونا را برابر صفر قرار میدم.
مشتق جزئی نسبت به $\mathbf{c}$:
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{c}} = 2\mathbf{c} - 2\lambda \mathbf{c} = 2(1 - \lambda)\mathbf{c}
\]
این میگه
\[
\mathbf{c} = \lambda \mathbf{c}
\]
که نشون دهنده هم‌راستا بودن $\mathbf{c}$ و $\lambda \mathbf{c}$ هستش. حالا با گرفتن مشتق جزئی نسبت به $\lambda$ دارم
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = -(|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - |\mathbf{c}|^2)
\]
با قرار دادن این مشتق برابر با صفر به رابطه زیر می‌رسم
\[
|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 = |\mathbf{c}|^2
\]
که دقیقاً جمله فیثاغورثه جالب بو نه.
تصویر

ارسال پست