مشتق و انتگرال به زبان ساده و نمایش مشتق با روش لایب نیتز

[Pooria.pms]

لطفا توضیح دهید که چگونه مشتق وانتگرال بگیریم و چگونه به روش لایب نیتز نمایش دهیم.

[rohamavation]

فرض کنید F(x) تابعی باشه به طوری که f(x) مشتق آن باشه. سپس ∫abf(x) dx = F(b) – F(a). وقتی حدود یک انتگرال معین توابعی از t و انتگرال ها توابعی از x یا بالعکس باشن میتونیم از قضیه نیوتن لایب نیتس برای یافتن مشتق انتگرال معین استفاده کنیم ببین ساده بگم مشتق انتگرال نتیجه ای است که از تفکیک نتیجه یک انتگرال به دست میاد. ادغام فرآیند یافتن مشتق «ضد» هستش لذا با تمایز یک انتگرال باید به خود تابع اصلی برسیم. ساده هم بگم مشتق انتگرال لایبنیتس فرمولی برای حل یک انتگرال معین ارائه میکنه که توابع متغیر دیفرانسیل را به عنوان حدود آن دارن
به نام «قانون انتگرال لایبنیتسLeibniz Integral Rule مشتق از انتگرال منجر به معادله زیر میشه تو بعضی منابع میبینی $\int_{x=0}^{x=L} \frac{\partial p (x,t)}{\partial x} \mathrm dx = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \left( \int_{x=0}^{x=L} p (x,t) \mathrm dx \right)$میپرسی آیا کمیت داخل پرانتز در RHS مستقل از x نیستش به طوری که RHS برابر با 0 خواهد بودنه اشتباهه توجه کن کهwrt این مخفف with respect to مراجعه یا با توجه به یا ارجاع به هست
$\int_0^L p(x,t)\mathrm dx$برای هر t=c ثابت فقط یک عدده بنابراین نگه داشتن t ثابت و متمایز در x یک ثابت را متمایز میکنه و بنابراین 0 میشه مطمئناً منظور نویسنده$\frac{\partial}{\partial t}$ بوده است.
عمومی‌ترین فرم مشتق انتگرال این‌گونه است: اگر f(x,t) یک تابع پیوسته و مشتق‌پذیر پیوسته باشه یعنی مشتقات جزئی آن وجود دارند و خود پیوسته‌اند و حدود انتگرال‌گیری a(x) و b(x) توابعی پیوسته و شتق‌پذیر پیوسته از x باشن آنگاه داریم:$\large \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } \int _ { a ( x ) } ^ { b ( x ) } f ( x , t ) \, \mathrm { d } t = f ( x , b ( x ) ) \cdot b' ( x ) - f ( x , a ( x ) ) \cdot a' ( x ) + \int _ { a ( x ) } ^ { b ( x ) } \frac { \partial } { \partial x } f ( x , t ) \, \mathrm { d } t .$برای مواردی که$a ( x )$ و b (x) توابع ثابتی باشن$\large \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } \int _ { a } ^ { b } f ( x , t ) \,\mathrm { d } t = \int _ { a } ^ { b } \frac { \partial } { \partial x } f ( x , t ) \, \mathrm { d } t .$
.ببین
$\begin{align*}
\frac{\partial }{\partial t} \int_{a}^{b} f(x, t)\mathrm{d}x =
\int_{a}^{b} \frac{\partial }{\partial t} f(x, t)\mathrm{d}x
\end{align*}$
نکته میگی قانون انتگرال لایب نیتس چگونه مشتق میشه$\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\int_{a(x)}^{b(x)}f(x, t) \,\mathrm{d}t\right)= f(x,b(x))\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}b(x)- f(x, a(x))\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}a(x)+ \displaystyle\int_{a(x)}^{b(x)}\dfrac{\partial f(x,t)}{\partial x} \,\mathrm{d}t.$

$\begin{align}
f(u,v) &= \frac{\partial}{\partial v} F(u,v) \\
g(u,v) &= \frac{\partial}{\partial u} F(u,v) \\
\lambda (u,v) &= \frac{\partial}{\partial v} g(u,v) \\
&= \frac{\partial^2}{\partial v \, \partial u} F(u,v) \\
&= \frac{\partial^2}{\partial u \, \partial v} F(u,v) \\
&= \frac{\partial}{\partial u} f(u,v) \\
\int f(u,v) \, dv &= F(u,v) \\
\frac{d}{dx} \int f(u,v) \, dv &=
u'(x) \frac{\partial}{\partial u} F(u,v)+
v'(x) \frac{\partial}{\partial v} F(u,v) \\
&= u'(x) g(u,v)+v'(x)f(u,v) \\
\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t) \, dt &=
b'(x)f[x,b(x)]-a'(x)f[x,a(x)]+g[x,b(x)]-g[x,a(x)] \\
&= b'(x)f[x,b(x)]-a'(x)f[x,a(x)]+\int_{a(x)}^{b(x)} \lambda (x,t) \, dt \\
&= b'(x)f[x,b(x)]-a'(x)f[x,a(x)]+
\int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x} f(x,t) \, dt \\
\end{align}$
من میخوام مشتق انتگرال زیر محاسبه کنم $F(x) =\int\limits_{sin x}^{x^3} t(t-3) dt$و$F(x)= \int\limits_{x^2}^{\sin x}\sqrt{1+t^4}dt$ ببین من دومیروحل میکنم$\int\limits_{x^2}^{\sin x}\sqrt{1+t^4}dt=F(\sin x)-F(x^2)$ببین $\left(\int\limits_{x^2}^{\sin x}\sqrt{1+t^4}dt\right)'=\left(F(\sin x)-F(x^2)\right)'=\cos xF'(\sin x)-2xF'(x^2) =$میشه $=\cos x\sqrt{1+\sin^4x}-2x\sqrt{1+x^8}$
اولیش $\begin{align}\frac{dF(x)}{dx}&=g(x^3)(x^3)^\prime-g(\sin (x))(\sin (x))^\prime\\&=3x^2g(x^3)-\cos (x)g(\sin (x))\\&=3x^2\cdot x^3(x^3-3)-\cos (x)\sin (x)(\sin (x)-3)\\&=3x^5(x^3-3)-\cos(x)\sin(x)(\sin(x)-3).\end{align}$ببین قاعده من $\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt=f(v(x))v^\prime(x)-f(u(x))u^\prime(x).$
یک مثال دیگه میخوام $f(x,y)=\int_x^ye^{\cos t}dt$چیزی که نیاز دارم قانون لایب‌نیتز برای مشتق‌گرفتن از انتگراله. به فرض تابع‌های a(x) و b(x) تابع‌هایی کراندار و مشتق‌پذیر باشن و a(x)<b(x)
، و همینطور تابعِ f(x,t) تابعی دو متغیره و دارای مشتق پاره‌ای (مشتق جزئی) نسبت به x در اینصورت دارم:$\frac{d}{dx}\big(\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)dx\big)=f\big(x,b(x)\big)\frac{d}{dx}b(x)-f\big(x,a(x)\big)\frac{d}{dx}a(x)+\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial}{\partial x}f(x,t)dt$توجه کنید که جایگذاری‌ها در متغیرِ t-ِ تابعِ f انجام‌شده‌اند نه در متغیرِ x -ِ اون بعلاوه توجه کن که مشتق‌ها همگی مشتق ساده هستند نه پاره‌ای به جز آخرین مشتق در داخل انتگرال در سمت راست فرمولم
الآن بیاییم چون حرفی از y نه به عنوان متغیر انتگرال و نه به عنوان متغیر مشتق زده‌نشده‌است پس در واقع میتونم خیلی راحت آن را به چشم یک پارامتر ببینم و اصلا بنویسم $f(x)=\int_x^ye^{\cos t}dt$. در هر صورت پاسخ فرقی نخواهد کرد. برای $\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)$ که همان $\frac{d}{dx}f(x)$ است دارم $\begin{align}
\frac{\partial}{\partial x}f(x,y) &= e^{\cos y}\frac{d}{dx}(y)-e^{\cos x}\frac{d}{dx}(x)+\int_x^y\frac{\partial}{\partial x}(e^{\cos t})dt\\
&= e^{\cos y}(0)-e^{\cos x}(1)+\int_x^y(0)dt\\
&= -e^{\cos x}
\end{align}$
خوب من میخوام مشتق انتگرال معین حساب کنم $\large \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { t ^ { 3 } - 1 } { \ln t } \, d t .$
باید از شر تابع ln خلاص بشم$\large \frac { d } { d x } t ^ x = t ^ x \ln t ,$یعنی من $\large g ( x ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { t ^ x - 1 } { \ln t } \, d t .$تعریف میکنم خوب$g ( 3 )$محاسله کنم دیگه
طبق فرمول انتگرال لایبنیتس$\large g' ( x ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \partial } { \partial x } \frac { t ^ x - 1 } { \ln t } \, d t = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { t ^ x \ln t } { \ln t } \, d t = \frac { t ^ { x + 1 } } { x + 1 } \Bigg \vert _ { 0 } ^ { 1 } = \frac { 1 } { x + 1 } .$خیلی ساده جوابم $g ( x ) = \ln |x + 1 | + C$برای مشخص کردن C از g(0)=0 کمک می‌گیریم
با استفاده از فرمول لایبنیتس میتونم مشتق مرتبه nاُم ضرب دو تابع را محاسبه کنم. فرض کن مشتق‌های توابع u(x) و v(x) تا مرتبه n موجود باشند. مشتق زنجیره‌ای مرتبه اول ضرب این دو تابع به‌صورت زیر تعریف میشود$\large {\left( {uv} \right)^\prime } = u’v + uv’.$مرتبه دوم $\large {{\left( {uv} \right) ^{\prime\prime}} = {\left[ {{{\left( {uv} \right)}^\prime }} \right] ^\prime } }
= {{\left( {u ’v + uv ’} \right) ^\prime } }
= {{\left( {u’v} \right) ^\prime } + {\left( {uv’} \right)^\prime } } \\ \large
= {u^{\prime\prime}v + u’v’ + u’v’ + uv^{\prime\prime} }={ u^{\prime\prime}v + 2u’v’ + uv^{\prime\prime}.}$
ومرتبه nام $\large {\left( {uv} \right)^{\left( n \right)}} = {\sum\limits_{i = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
i
\end{array}} \right){u^{\left( {n – i} \right)}}{v^{\left( i \right)}}} ,}$
ساده بود فقط دقت لازم داره گاهی خودم تو محاسبات گیج میشم .