قضیه فیشر

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3222

سپاس: 5492

جنسیت:

تماس:

قضیه فیشر

پست توسط rohamavation »

در ریاضیات، قضیه Riesz-Fischer در تحلیل واقعی، هر یک از تعدادی از نتایج نزدیک به هم مربوط به خصوصیات فضای L2 توابع انتگرال پذیر مربع است. که فضاهای Lp وجود دارد$L^{p} $از نظریه ادغام Lebesgue کامل است.
برای هر بردار${\displaystyle x\in H,}$"
${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{y\in A}|\langle x,y\rangle |^{2}.}$نتیجه دیگری که گاهی اوقات نام ریس و فیشر را نیز به همراه دارد، قضیه ای است که
$L^{2}$ (یا به طور کلی تر
∞${\displaystyle L^{p},0<p\leq \infty }$کامل شد.
در اثبات قضیه ریش-فیشر
اول، اثبات ارائه شده در زیر 100 است
٪ درست ؟ب) چگونه می توان LHS (2) را توجیه کرد
? آیاراه حل من درست است؟
افکار: یکی از راه هایی که من آن را در سه زمان می بینم: ابتدا توجه می کنیم که$(\cdot)^{1/p}$ پیوسته است، سپس قضیه همگرایی یکنواخت (MON) را اعمال می کنیم و در نهایت توجه می کنیم که$|\cdot|^p$
پیوسته است، به طوری که در مجموع می توانیم حد را تا انتها وارد کنیم (حتی اگر $\displaystyle\sum_{k\geq1} |f_k|$
در این مورد نامحدود است).راه دیگری که من آن را می بینم این است که توجه داشته باشم که هر هنجار (Lipschitz) پیوسته است، به طوری که ما می توانیم به طور موثر حد را به داخل بیاوریم (حتی اگر در این مورد نامحدود باشد).ج) چرا باید قدر مطلق fk را بگیریم هنگام بررسی $\displaystyle\sum|f_k|$فکر من : من فکر می کنم که MON برای ب) درخواست نمی کند.
و من فکر می کنم که اگر قدر مطلق را نمی گرفتیم، نمی توانستیم به طور پیشینی از حد صحبت کنیم، یعنی $\displaystyle\sum_{k\geq1} |f_k|$
، در 2). با گرفتن قدر مطلق، یک سری با عبارات مثبت به دست می‌آید و چنین سری‌هایی به ∞ همگرا یا واگرا می‌شوند.
. یک سری با اصطلاحات منفی می تواند با نوسان از هم جدا شود.
د) در (4)، تعریف F توسط 0 کاملاً خودسرانه است، درست است؟ ما می توانیم F را تعریف کنیم
هر چیزی در مجموعه تهی باشد، درست است؟ همچنین، $\displaystyle\sum_{k\geq1} f_k$
آیا در مجموعه داده شده وجود دارد زیرا همگرایی مطلق دلالت بر همگرایی برای سری اعداد دارد، درست است؟
ه) برابری (5) از آنجا که درست است
$F-\sum_{k=1}^{n}f_k=\sum_{k=n+1}^{\infty}f_k$
تقریبا در همه جا، درست است؟
و) آیا منصفانه است که بگوییم آنچه برای اثبات کافی بو$\displaystyle\sum_{k\geq1}|f_k|<\infty$ بود
a.e.، [اضافه شد] و دلیل بی اهمیت نبودن دلیل این است که Lp(μ)
طبق تعریف شامل توابع با مقدار محدود است؟ منظورم این است که در تئوری اندازه گیری با توابعی با محدوده در خط واقعی توسعه یافته کار می کنیم، [−∞،∞]
و اگر به توابع در Lp(μ) اجازه دهیم
برای گرفتن مقادیر نامتناهی، در واقع هر سری در$L^p(\mu)$ همگرا خواهد بود (به طور بی اهمیت)
. آیا این درست است؟
Def.تعیین شده : اجازه دهید$(X,\cal{A},\mu)$ یک فضای اندازه گیری شده باشد سپس برای $1\leq p<\infty$
تعریف می کنیم$L^p(\mu):=\{f:X\to\mathbb{R}\text{ measurable and s.t. }\|f\|_p<\infty\},$ قابل اندازه گیری و $L^p(\mu):=\{f:X\to\mathbb{R}\text{ measurable and s.t. }\|f\|_p<\infty\},$
جایی که $\|f\|_p:=\left(\int|f|^pd\mu\right)^{1/p}$
. طبق معمول ما واقعاً کلاس های هم ارزی توابع را می گیریم که فقط در یک مجموعه تهی متفاوت هستند.
Thmتئوری فیشر(ریز-فیشر): $(L^p(\mu),\|\cdot\|_p)$
برای$1\leq p<\infty$کامل است.
dem. : ما می دانیم که نشان دادن این که هر سری کاملاً همگرا همگرا هستند کافی است.
اجازه دهید $(f_k)_{k\geq1}\subset L^p(\mu)$
دنباله ای باشد به گونه ای که
$\sum_{k=1}^{\infty}\|f_k\|_p<\infty.\tag{roham0}$
از آنجایی که بر اساس نابرابری مینکوفسکی، یکی شده است
$\left\|\sum_{k=1}^n|f_k|\right\|_p\leq\sum_{k=1}^n\|f_k\|_p,\tag{1}$
اجازه دادن به$n\to\infty$
می دهد
$\left\|\sum_{k=1}^{\infty}|f_k|\right\|_p\leq\sum_{k=1}^{\infty}\|f_k\|_p<\infty,\tag{roham2}$
بدین ترتیب
$\sum_{k=1}^{\infty}|f_k|<\infty\quad\text{a.e.}\tag{3}$
حالا تعریف کن
$F:=\begin{cases}\displaystyle\sum_{k\geq1}f_k&\text{on }\left\{\displaystyle\sum_{k\geq1}|f_k|<\infty\right\},\\0&\text{otherwise}.\end{cases}\tag{roham4}$}، در غیر این صورت.(4)
سپس f در $L^p(\mu)$) است از آنجایی که $|F|\leq\displaystyle\sum_{k\geq1}|f_k|$
و توسط (2). همچنین، f به گونه ای است که
$\sum_{k=1}^{\infty}f_k=F,$
زیرا
$\begin{align}
\left\|F-\sum_{k=1}^{n}f_k\right\|_p&=\left\|\sum_{k=n+1}^{\infty}f_k\right\|_p\tag{5}\\
&\leq\left\|\sum_{k=n+1}^{\infty}|f_k|\right\|_p\\
&\stackrel{(2)}{\leq}\sum_{k=n+1}^{\infty}\|f_k\|_p\xrightarrow[(n\to\infty)]{(0)}0.\quad\text{Q.E.D.}
\end{align}$
این ربطی به تداوم ندارد. فقط با قضیه همگرایی یکنواخت. توجه داشته باشید که ما نمی توانیم از آن پیوستگی $L^p$ استفاده کنیم
-norm: به منظور استنباط$\|g_n\|_p \to \|g\|_p$از تداوم هنجار، از قبل باید بدانیم که$g_n \to g$
در $L^p$
(به یاد بیاورید که هنجار به عنوان یک نقشه پیوسته است$\|\cdot\|: (L^p,\|\cdot\|_p) \to (\mathbb{R},|\cdot|)$
. استدلال به شرح زیر است: با نابرابری مینکوفسکی،
$\left\| \sum_{k=1}^n |f_k| \right\|_p \leq \sum_{k=1}^n \|f_k\|_p \leq \sum_{k=1}^{\infty} \|f_k\|_p. \tag{roham1}$
از آنجایی که$|f_k| \geq 0$
، ما میدانیم
$\sum_{k=1}^n |f_k| \uparrow \sum_{k=1}^{\infty} |f_k| \qquad \text{as} \,\, n \to \infty. \tag{2}$
بنابراین، از قضیه همگرایی یکنواخت چنین برمی آید که
$\left\| \sum_{k=1}^{\infty} |f_k| \right\|_p = \sup_{n \in \mathbb{N}} \left\| \sum_{k=1}^n |f_k| \right\|_p \stackrel{(1)}{\leq} \sum_{k=1}^{\infty} \|f_k\|_p < \infty.$
بله، درست است. سری $\{f_{n_k}\}\subseteq\{f_n\}$
به خوبی تعریف شده است زیرا هر افزودنی غیر منفی است. علاوه بر این، غیر منفی بودن در (2) بسیار مهم است.
(در غیر این صورت نمی توانیم قضیه همگرایی یکنواخت را اعمال کنیم).
آره.آره.نه، به این راحتی نیست. اگر درست متوجه شده باشم، دوست دارید تنظیم کنید
$F := \sum_{k=1}^{\infty} f_k$(به عنوان یک حد نقطه ای) که ممکن است مقادیر [-∞،∞] را بگیرد.. مشکل این است که سریال
$F := \sum_{k=1}^{\infty} f_k$
لزوماً همگرا نیست، به عنوان مثال در نظر بگیرید.$\sum_{k=1}^{\infty} f_k$
. این بدان معنی است که F در برخی از مجموعه های استثنایی به خوبی تعریف نشده است و باید اطمینان حاصل کنیم که این مجموعه استثنایی کوچک است (در Lp
-احساس، مفهوم). این دقیقاً همان چیزی است که اثبات بالا در مورد آن است: نشان می دهیم که مجموعه استثنایی دارای اندازه 0 است
.
تصویر

ارسال پست