سه مفهوم قضیه ویت

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3222

سپاس: 5492

جنسیت:

تماس:

سه مفهوم قضیه ویت

پست توسط rohamavation »

اجازه دهید m v باشد- فضای برداری بعدی بر روی یک میدان K مجهز به فرم درجه دوم، متقارن، متناوب یا هرمیتی غیر منحط. سپس، قضیه ویت می گوید که هر ایزومتری بین دو زیرفضای U1
و U2 از V به ایزومتری V گسترش می یابدمن خواندم که از قضیه ویت می توانیم حقایقی در مورد حداکثر زیرفضاهای همسانگرد V استنتاج کنیم.
و گروه ایزومتریک V. اما من نمی دانم چرا. بنابراین، این سه سوال من است:
چرا قضیه ویت بیانگر این است که هر زیرفضای فرعی کاملاً همسانگرد حداکثری V همین بعد را دارد که رتبه فضای قطبی را مشخص می کند؟
چرا قضیه ویت نشان می دهد که هر زیرفضای کاملاً همسانگرد در یک زیرفضای کاملاً همسانگرد حداکثر قرار دارد؟
چرا قضیه ویت بیانگر این است که گروه ایزومتریک V روی هر مجموعه ای متشکل از زیرفضاهای کاملاً همسانگرد با ابعاد یکسان عمل می کند؟
نکته اصلی که برای اثبات تمام جملاتی که ذکر کردید، موارد زیر است:
لما اجازه دهید $U1,U2⊆V$ زیرفضاهای کاملاً همسانگرد و $T:U1→U2$باشند
یک نقشه خطی دوطرفه سپس t ایزومتریک استاثبات لم آسان است، زیرا برای هر u,w∈U1
ما آن را داریم$0=(u,w)=(Tu,Tw)=0,$
جایی که اولین برابری پس از U1 برقرار است کاملا ایزوتروپیک است و آخرین مورد از زمان U2 است
است.حال، (3) به شرح زیر است، زیرا هر دو زیرفضا از یک بعد هم شکل هستند، به عنوان فضاهای برداری، که با لم، ایزومتریکی از این دو فضا است و تا ایزومتری V گسترش می یابد.
. بنابراین، با توجه به دو زیرفضای کاملاً ایزومتریک از یک بعد، ایزومتری V داریم
نقشه برداری از یکی به دیگری(1) از لم نیز به دست می آید. زیرا، اگر نسبت به تناقض فرض کنیم که U1,U2⊆V
حداکثر زیرفضاهای همسانگرد و dimU1<dimU2 هستند. سپس با جبر خطی یک نقشه تزریقی T:U1→U2 داریم
که بر اساس قضیه لما و ویت، تا ایزومتری U1 گسترش می یابد بر روی زیرفضای مناسب U2، که هر دو حداکثر همسانگرد هستند. یک تناقض
در نهایت، برای اثبات (2)، با همان استدلال (1)، اثبات وجود یک زیرفضای همسانگرد حداکثری کافی است. برای، با توجه به چنین زیرفضایی U
و هر زیرفضای کاملاً همسانگرد W⊆V، ممکن است یک ایزومتریک S:V→V پیدا کنیم به طوری که SW⊆V، و از این رو W
در فضای فرعی S-1V حداکثر همسانگرد گنجانده شده است. وجود چنین زیرفضایی مثلاً از وجود پایگاه های داربوکس ناشی می شود.
من در تلاش برای درک قضیه تجزیه ویت هستم. به طور خاص، من به دنبال یافتن بخش هذلولی یک فرم درجه دوم هستم. من می توانم شاخص ویت یک فرم درجه دوم مورب کلی را پیدا کنم، بنابراین بعد قسمت هذلولی را می دانم، اما می خواستم بدانم آیا نوعی الگوریتم برای یافتن این بخش برای هر فرم درجه دوم کلی وجود دارد؟
برای درک قضیه ویت، سعی کرده‌ام به صراحت چند نمونه از اشکال درجه دوم عقلی را به قسمت‌های ناهمسانگرد، رادیکال و هذلولی تجزیه کنم، اما در تلاش بودم. به عنوان مثال، من می دانم که شکل درجه دوم $$x^2 + y^2 - 2z^2$$ دارای شاخص Witt 1 است. چگونه می توانم این را به عنوان مجموع مستقیم اشکال درجه دوم هذلولی و ناهمسانگرد بنویسم؟ آیا راهی کلی برای انجام این کار برای $$\sum_{i=1}^N n_i x_i^2 - \sum_{j=1}^M m_i y_i^2$$ وجود دارد؟ آیا موارد خاصی وجود دارد که تجزیه و تحلیل آنها آسان تر باشد، به عنوان مثال. وقتی مجموع ضرایب برابر است (مانند مثال اول)؟
تجزیه ویت بسیار غیر منحصر به فرد است. هیچ بخش هذلولی منحصر به فردی وجود ندارد مگر اینکه فرم شما هذلولی باشد. برای یافتن یک زیرفضای هذلولی حداکثر، باید بردارهای همسانگرد غیر رادیکال را پیدا کنید و شروع به جفت کردن آنها کنید. از اینجا من فقط می گویم تهی به معنای همسانگرد غیر رادیکال. به طور مشخص:
بردار تهی $\nu_1$ را پیدا کنید.
بردار تهی $\nu_1$\eta_1 را پیدا کنید به طوری که $B(\nu_1, \eta_1) \ne 0$
جایی که $B(\cdot,\cdot)$ فرم دوخطی مرتبط با فرم درجه دوم شما است.از مرحله (1) تکرار کنید اما خود را به مکمل متعامد$\{\nu_1, \eta_1\}$ محدود کنید.
.این فرآیند بردارهای تهی $\nu_1, \nu_2, \dotsc, \nu_w$ و$\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_w$را به دست می‌دهد با w شاخص Witt و $B(\nu_i, \eta_i) \ne 0$
اما$B(\nu_i, \eta_j) = 0$ برای i≠j. فضاهای $W = \mathrm{span}\{\nu_1,\dotsc,\nu_w\}$
و $W' = \mathrm{span}\{\eta_1,\dotsc,\eta_w\}$ زیرفضاهای کاملاً ایزوتروپیک و W⊕W′ هستند یک زیرفضای هذلولی حداکثر است.
به طور متناوب، ما می توانیم روند زیر را دنبال کنیم:$e_1$ را پیدا کنید و f_1$$ به طوری که $q(e_1) = -q(f_1)$
و $B(e_1, f_1) = 0$ جایی که q شکل درجه دوم ما است.از مرحله (1) تکرار کنید، اما محدود به مکمل متعامد $\mathrm{span}\{e_1, f_1\}$
.این فرآیند معادل است زیرا می توانیم $\nu_1 = e_1 + f_1$ بگیریم
و$\eta_1 = e_1 - f_1$، یا به طور مشابه $e_1 = \nu_1 + \eta_1$ و $f_1 = \nu_1 - \eta_1$. هر دو روش دارای معاوضه هایی هستند: در روش اول، یافتن بردارهای تهی آسان است، اما یافتن بردارهای تهی غیرمتعامد ممکن است دشوار باشد. در روش دوم، یافتن بردارهای متعامد آسان است، اما اگر میدان شما ریشه مربع نداشته باشد، یافتن بردارهای متعامد با قدر مخالف ممکن است دشوار باشد.
برای مثال من فرم درجه دوم$q(x, y, z) = x^2 + y^2 - 2z^2,\quad B(x_1, y_1, z_1, x_2, y_2, z_2) = x_1x_2 + y_1y_2 - 2z_1z_2$
ما آن را می بینیم$e_1 = (1, 1, 0),\quad f_1 = (0, 0, 1).$متعامد هستند و قدر مخالف دارند. از آنجایی که می‌دانید شاخص Witt 1 است، پس می‌دانید که کار ما تمام است و این بازه$\mathrm{span}\{e_1,f_1\}$ یک زیرفضای هذلولی حداکثر است.در اینجا روش سوم وجود دارد: اگر زیر فضای ناهمسانگرد K را پیدا کنیم با ابعاد$2w + r$
جایی که r بعد رادیکال است، سپس $K^\perp = H\oplus R$ جایی که $H$ هذلولی است و R رادیکال است. این از قضیه تجزیه ویت نتیجه می شود و به این دلیل که $K\cap K^\perp = \{0\}$
برای چنین فضای فرعی برای مثالم $2w + r = 2$بنابراین هر بردار غیر همسانگرد یک زیرفضای هذلولی حداکثر به ما می دهد. بنابراین هر $v = (x, y, z)$ با$q(v) = x^2 + y^2 - 2z^2 \ne 0$
$\{v\}^\perp$ می دهد به عنوان یک زیرفضای هذلولی حداکثر.
تصویر

ارسال پست