ضرب دوسری در هم

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3222

سپاس: 5492

جنسیت:

تماس:

ضرب دوسری در هم

پست توسط rohamavation »

چگونه دو سری را با هم ضرب کنم؟ یا آنها را به دو سری جداگانه تقسیم کنید؟مثل اینجا که اوردم
$\sum_{y=1}^{b}\sum_{x=1}^{a}2^{(2x+3y)}$
از $2^{2x+3y}=2^{2x}\cdot 2^{3y}$ استفاده کنید و غیره$\sum_{x=1}^a\sum_{y=1}^b 2^{2x+3y}=\left\{\sum_{x=1}^a2^{2x}\right\}\cdot\left\{\sum_{y=1}^b2^{3y}\right\}$که به درستی بازده را بیان می کنید
$\left\{\sum_{x=1}^a 4^x\right\}\cdot\left\{\sum_{y=1}^b8^y\right\}.$
اینها سری های هندسی محدودندبیایید مجموع اول را محاسبه کنیم:$\sum_{x=1}^a 4^x=\left\{\sum_{x=0}^a4^x\right\} -1=\frac{1-4^{a+1}}{1-4}-1.$حالا می تونم این را کمی ساده کنم
خوب حالاچگونه دو سری بی نهایت را به درستی ضرب کنم؟
توانستم حاصل ضرب دو سری بی نهایت $\sum_{i=0}^{\infty} a_{i}$و$\sum_{j=0}^{\infty} b_{j}$ را بدست بیاورم. توسط محصول کوشی مشخص شده. فرمول محصول کوشی هم میدونی
$\sum_{i=0}^{\infty} a_i \sum_{j=0}^{\infty} b_j = \sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{i} a_{j} b_{i-j}.$
اما در آن ضرب دو سری بی نهایت از محصول کوشی پیروی نمی کند. چرا خوب
مثال من
$\sum_{n=0}^{\infty} H_{n}(x) \frac{t^n}{n!} \, \sum_{m=0}^{\infty} H_{m}(x) \frac{s^m}{m!} = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x) H_{m}(x)}{n! \, m!} t^n s^m$
آیا مثال من معتبره و اگر چنین است چرا معتبر است؟ آیامن نباید از روش کوشی استفاده می کردم ممنونم هوپاییهای عزیز
همگرایی و قضیه mertens
بگذار $(a_n)_n$ و$(b_n)_n$ دنباله های واقعی یا پیچیده باشند. اگر سری$\sum_{n=0}^\infty a_n$
به A همگرا میشن $\sum_{n=0}^\infty b_n$ به B همگرا میشه
و حداقل یکی از آنها کاملاً همگرا می شود، سپس محصول کوشی آنها به AB همگرا می شود.
.همگرا بودن هر دو سری کافی نیست. اگر هر دو دنباله به طور مشروط همگرا باشند، لازم نیست حاصلضرب کوشی به سمت حاصلضرب دو سری همگرا شود
یک مثال متضاد در موردی که این دو سری فقط به صورت مشروط همگرا هستند، ادامه می‌دهد.
حالا چرا مثال من درسته ؟ خوب،من قطعا می توانم برای همه N,M بنویسم
$\sum_{n=0}^N H_n(x) \frac{t^n}{n!} \cdot
\sum_{m=0}^M H_m(x) \frac{s^m}{m!}
= \sum_{n=0}^N\sum_{m=0}^M H_n(x)H_m(x) \frac{s^m}{m!}\frac{t^n}{n!}$
حال، اگر هر دو عبارت چپ و راست هنگام$N,M\to \infty$ همگرا شوند
اگر بدونم $\sum_{n=0}^{\infty} H_{n}(x) \frac{t^n}{n!}$
همگرا می شود و $\sum_{m=0}^{\infty}H_m(x) \frac{s^m}{m!}$
همگرا می شود، آیا می توانم بگویم که این سه گزاره همه معادلندتا زمانی که بدانم هر یک از این گزاره ها همگرایند
$\sum_{n=0}^{\infty} H_{n}(x) \frac{t^n}{n!} \sum_{m=0}^{\infty} H_{m}(x) \frac{s^m}{m!} = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{n} H_{m}(x) \frac{t^m}{m!} H_{n-m}(x) \frac{s^{n-m}}{(n-m)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} H_{n}(x) \frac{t^m}{m!} H_{m}(x)\frac{s^m}{m!}$
روش کوشی ممکنه برای سری‌های بی‌نهایت یا سری‌های قدرتی اعمال شه وقتی شماآن را برای دنباله‌های محدودیا سری‌های محدود اعمال می‌کنند، می‌توان آن را صرفاً به عنوان یک مورد خاص از حاصلضرب سری با تعداد محدودی از ضرایب غیرصفر دید
روش کوشی دو سری بی نهایت
اجازه بدین بچه های هوپا${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ و${\textstyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{j}}$ دو سری نامتناهی با اصطلاحات پیچیده باشه حاصلضرب کوشی این دو سری نامتناهی با یک پیچیدگی گسسته اینطوره
$\left(\sum_{i=0}^\infty a_i\right) \cdot \left(\sum_{j=0}^\infty b_j\right) = \sum_{k=0}^\infty c_k $
جایی که$c_k=\sum_{l=0}^k a_l b_{k-l}.$
کوشی دو سری توان زیر را ببین$\sum_{i=0}^\infty a_i x^i $و$\sum_{j=0}^\infty b_j x^j$
با ضرایب مختلط$\{a_{i}\} $ و همچنین برای$\{b_{i}\} $ پیچش گسسته $\left(\sum_{i=0}^\infty a_i x^i\right) \cdot \left(\sum_{j=0}^\infty b_j x^j\right) = \sum_{k=0}^\infty c_k x^k $, $c_k=\sum_{l=0}^k a_l b_{k-l}$
ضرب سری نامتناهی باید به همین روش انجام بشه. با ضرب، ما واقعاً از ما می خواهیم کارهای زیر را انجام دهیم،$\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}} } \right)\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{b_n}} } \right) = \left( {{a_0} + {a_1} + {a_2} + {a_3} + \cdots } \right)\left( {{b_0} + {b_1} + {b_2} + {b_3} + \cdots } \right)$برای انجام این ضرب باید عدد را توزیع کنم${a_0}$ از طریق شرایط دوم، توزیع کنید${a_1}$ . این تقریباً غیرممکنه زیرا هر دو سری دارای مجموعه ای نامتناهی از عبارت ها هستن با این حال از فرمول زیر می توان برای تعیین حاصل ضرب دو سری استفاده کرد.$\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}} } \right)\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{b_n}} } \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{c_n}}$اینجا ${c_n} = \sum\limits_{i = 0}^n {{a_i}{b_{n - i}}}$ببین ما همچنین نمی تونیم در مورد همگرایی جواب چیز زیادی بگوییم. حتی اگر هر دو سری اصلی همگرا باشن، ممکن است محصول واگرا باشد.دقت کن بازم میگم $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \\
g(x)=\sum_{n=0}^\infty b_n x^n$بین $\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n\right) \cdot \left(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} b_n x^n\right) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} c_n x_n$که$c_n = \displaystyle\sum_{j = 0}^{n} a_j b_{n-j}$تاکید من $\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right)\left(\sum_{i=0}^\infty b_i\right) =
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n a_i \cdot\lim_{n \to \infty } \sum_{i=0}^n b_i =
\lim_{n \to \infty } \sum_{i=0}^n a_i \sum_{i=0}^n b_i$طبق تعریف سری بی نهایت فقط حد است
واقعیت اینه که بنابراین مشخص نیست که چرا باید حد را به صورت n→∞ انتظار داشته باشین
یکسان است. اگر قطعا نیاز به استدلال بسیار دقیق تری دارد $\left(\sum_{i=0}^n a_i\right)\left(\sum_{i=0}^nb_i\right) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i a_jb_{i-j} + \sum_{i=0}^n\sum_{j=i}^n a_jb_{n+i-j}$
تصویر

ارسال پست