۱) اگر $k$ یک عدد طبیعی باشد، آیا حاصل $Ln(\frac{k}{k+1})$ عددی گنگ است؟ اگر بله، جبری یا متعالی؟ ثابت کنید.
۲) اگر $a_n$ دنبالهای از اعداد گنگ مثبت و سری
$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$
همگرای مطلق باشد، آیا حاصل این سری عددی گنگ است؟ (منظور از سری یعنی اینکه تمام اعداد گنگ دنباله جمع بسته شود). اگر $a_n$ متعالی باشد چطور؟ ثابت کنید.
شاید سوالاتم سخت باشه چون شنیدم اثبات گنگ بودن اعداد خیلی سخته چه برسه به اعداد متعالی.
چند سوال راجع به اعداد گنگ
Re: چند سوال راجع به اعداد گنگ
۱) بله. گنگِ متعالیه. برهانِ خلف. فرض کن یه k گویا وجود داشته باشه که ln(k/k+1) گویا باشه. اونوقت e^ln(k/k+1) متعالیه (لیندمان-وایرشتراس) که یعنی k/k+1 متعالیه که شد تناقض.
۲) sum 1/( pi^2 * k^2) = 1/6
۲) sum 1/( pi^2 * k^2) = 1/6