سلام
معادله حل نشده ارشمیدس چیه؟
معادله حل نشده ارشمیدس
-
rohamavation
نام: roham hesami radرهام حسامی راد
محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2
عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴
پست: 3265-
سپاس: 5494
- جنسیت:
تماس:
Re: معادله حل نشده ارشمیدس
جواب مسئله گاو ارشمیدس problema Archimedis یک مسئله در تجزیه و تحلیل دیوفانتین هست
مشکل گاو ارشمیدس
شما تعداد گاوهای خورشید را که روزی در دشت چرا میکنند محاسبه کن بر اساس رنگ به چهار گله، یکی سفید شیری، یکی سیاه، یکی داپله و دیگری زرد تقسیم شده. تعداد گاو نر از تعداد گاو بیشتر است و روابط بین آنها اینطوره
$White bulls =(12+13)
black bulls + yellow$
$Black bulls =(14+15)
dappled bulls + yellow$
$Dappled bulls =(16+17)
white bulls + yellow$
$White cows =(13+14)
black herd$
$Black cows =(14+15)
dappled herd,$
$Dappled cows =(15+16)
yellow herd,$
$Yellow cows =(16+17)
white herd$
روابط اضافی زیر را بین گاوهای نر
$White bulls + black bulls = a square number,$ تشکیل مربع
$Dappled bulls + yellow bulls = a triangular number.$ عدد مثلثی
دنباله اعداد، مجموعه‌ای از اعداد پشت سر هم است که با قاعده خاصی به یکدیگر متصل شده‌اندالگویی از نقاطی که یک مثلث ${\displaystyle T_{n}=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2},}$
- ارشمیدس
برخی توضیحات اورده شه
$black herd = black bulls + black cows, white herd = white bulls + white cows$
$(12+13)
black bulls + yellow bulls$، یعنی فقط گاوهای نر سیاه ضریب را می گیرند
گاوهای نر سفید، سیاه، داپلی و زرد و w,x,y,z را نشان می دهندو s جمع کل حال باید مضرب صحیح همه مقادیر را به گونه ای پیدا کنیم که $(W+X)n$ مربع و $(Y+Z)n$ مثلثی باشه$(W+X)n = x^2 \\
8(Y+Z)n + 1 = y^2$
توجه داشته باش که $W+X$ بدون مربع است به جز داشتن ضریب اول 2 ، بنابراین x باید مضرب $\frac{W+X}{2}$ باشه
. جایگزین $x=\frac{W+X}{2}x_1$، سپس داریم $n = \frac{W+X}{4}x_1^2$
این را با معادله y جایگزینکن و کمی مرتب کن سپس نتیجه
$y^2 - 2(W+X)(Y+Z)x_1^2 = 1$بنابراین $2(W+X)(Y+Z)$
. حال فرض کنید آن را حل کرده ایم. سپس مقدار x1 را داریم. پاسخ نهایی ما Sn است یا$S n = \frac{W+X}{4}Sx_1^2$
معادلات دیوفانتین حل $a^2+ b^2=2c^2$همه راه حل های$a^2+b^2=2c^2$ را پیدا کنید
راه حل من (جزئی)می‌توانیم معادله بالا را به صورت زیر بازنویسی کنیم: $c^2 = (a^2 + b^2)/2$
بنابراین ⇒
$a^2 , c^2 , b^2$ در یک تصاعد حسابی هستند ⇒ راه حل های بی نهایت وجود داره بدون از دست دادن کلیت مسالهWLOG، اجازه بدین$a^2$
شرط t
، $b^2$شرط $s$ باشد و $c^2$ m باشه معادله را می توان دوباره به صورت $t + s = 2m$نوشت
حالا، چیزی که من فکر می کردم این بود که آیا باید این معادله دیوفانتین را برای t حل کنم
$ t & s$ بر حسب m ; مقادیر آنها را دوباره در معادله جایگزین کنید و m را پیدا کنی ; و در نهایت این مقدار m را قراربده
بازگشت به مقادیر t و s برای به دست آوردن یک راه حل کلی آیا کسی می تواند به من کمک کنه رابطه فیثاغورثی$u^2 + v^2 = c^2$ را دارید
سپس$\begin{align}
(u^2 + v^2) + (u^2 + v^2) & = 2c^2\\
(u^2 + v^2 + 2uv) + (u^2 + v^2 - 2uv) & = 2c^2\\
(u + v)^2 + (u - v)^2 & = 2c^2\\
\end{align}$بنابراین اگر a=u+v و $b = |u - v|$
$a^2 + b^2 = 2c^2$با توجه به هر سه اعداد صحیح $a, b, c : a^2 + b^2 = 2c^2$
$a^2 + b^2 \equiv 0 \mod 2$که به معنی$a + b \equiv 0 \mod 2$ است،بنابراین $a \equiv b \mod 2$
و$a - b \equiv 0 \mod 2$
WLOG، $a \ge b$ بدون از دست دادن کلیت که اغلب به اختصار WLOG میگیم هر دو $a+b$ و$ a-b $ یکنواختند.
بگذارید 2u=a+b باشد و $2v=a-b$
$4u^2 + 4v^2 = (a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2) = 4c^2$
$u^2 + v^2 = c^2$
یعنی u,v,c سه گانه فیثاغورثی است.
بنابراین هر سه اعداد صحیح $a, b, c : a^2 + b^2 = 2c^2$
مربوط به سه گانه فیثاغورثی است.
چگونه معادله دیوفانتین خطی را با 3 متغیر حل کنیم
من چندین بار روی این مشکل کار کردم، اما به دلایلی، به نظر نمی رسد که آن را درک کنم. مشکل اینجاست:
$6x + 15y + 10z = 53$اینها تلاش های من است:
اجازه دهید$w = 2y + 2z$. بنابراین معادلات ما عبارتند از: $6x+5w=53 (1)$
و $3y+2z=w (2)$. برای (1)، پس از استفاده از الگوریتم اقلیدسی،$ x=53+5n$ را دریافت کردم
و $w=-53-6n$. اکنون در حال جایگزینی با (2)
،$ 3y+2z=-53-6n$ را دریافت می کنیم. اینجاست که من گیر کرده ام.
بزار $w=2x+5y$. بنابراین معادلات ما عبارتند از:$ 2x+5y=w (roham1)$
و$ 3w+10z=53 (roham2)$
. برای 2)، پس از استفاده از الگوریتم اقلیدسی،$ w=−159+10n$ را دریافت کردم و $w=53-3n$
. اکنون در حال جایگزینی با (1)،$ 2x+5y=-159+10n$ را دریافت می کنیم
. بازم گیر کردم!
هر گونه کمکی بسیار قدردانی میکنم. پیشاپیش از شما متشکرم!بچه های هوپا
حل$ 6x+15y+10z=53→6x+5(3y+2z)=53.$
اجازه دهید$ w=3y+2z.$
حل:3y+2z=w (1)6x+5w=53$ (2)$
راه حل $(2roham):\ gcd(6,5) = 1.$
بنابراین با تشکیل یک ترکیب خطی، $6(1)+5(-1)=1$ را بدست آورید. در 53 ضرب کنید،$ 6(53)+5(-53)=53 $بدست آورید
. بنابراین،$x=x_0+(b/d)n = 53+5n$
$w=w_0-(a/d)n = -53-6n.$.
راه حل (1): ابتدا 3y+2z=1$ $را حل کنید. بنابراین، $gcd(3،2)=1$ بزرگترین مقسوم علیه مشترک (Greatest Common Divisor همون gcd و کوچکترین مخرج مشترک (Lowest Common Denominator همون lcd; ترکیب خطی را تشکیل دهید،$ 3(1)+2(-1)=1$ را بدست آورید. ضرب در $w=−53−6n$
برای بدست آوردن$3(w)+2(-w)=w \rightarrow 3(-53-6n)+2(53+6n)=-53-6n$
سپس $y_0=-53-6n\ and\ z_0=53+6n$
. بنابراین،$y=y_0+(b/d)m =-53-6n+2m$
$z=z_0 -(a/d)m = 53+6n-3m$
به طور مشابه، می توانید اجازه دهید $w=2x+5y$
و شما همان پاسخ را دریافت خواهید کرد. امیدوارم این روند تا حدودی منطقی باشه
1. جداسازی Separatrix. یک آونگ در حال حرکت می تواند از یک طرف به طرف دیگر حرکت کند یا در یک دایره پیوسته بچرخد. نقطه ای که در آن از یک نوع حرکت به نوع دیگر می رود جدایی نامیده میشه و این را می توان در اکثر موقعیت های ساده محاسبه کرد.یک آونگ در حال حرکت می تواند از یک طرف به طرف دیگر حرکت کند یا در یک دایره پیوسته بچرخد. نقطه ای که در آن از یک نوع حرکت به نوع دیگر می رود، جدایی نامیده می شود، و این را می توان در اکثر موقعیت های ساده محاسبه کرد. هر چند وقتی آونگ با سرعت تقریباً ثابتی پیش می‌رود، ریاضیات از هم می‌پاشد. آیا معادله ای وجود دارد که بتواند آن نوع جدایی را توصیف کند؟معادله دیفرانسیل را که حرکت یک آونگ ساده را توصیف می کند در نظر بگیرید:
${\displaystyle {d^{2}\theta \over dt^{2}}+{g \over \ell }\sin \theta =0.}$
جایی که$ℓ\ell$ نشان دهنده طول آونگه g شتاب گرانشی و\theta $ $
زاویه بین آونگ و عمودی به سمت پایین در این سیستم یک کمیت حفظ شده H (همیلتونی) وجود دارد که با داده می شود
${\displaystyle H={\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{2}}-{\frac {g}{\ell }}\cos \theta .}$
با این تعریف می توان منحنی H ثابت را در فضای فاز سیستم رسم کرد. فضای فاز یک نمودار باtheta $ $ در امتداد محور افقی و˙${\dot {\theta }}$ در محور عمودی$˙{\dot {\theta }}$ در محور عمودی نوع منحنی حاصل به مقدار H بستگی داره فضای فاز برای آونگ ساده
اگر$ℓ{\displaystyle H<-{\frac {g}{\ell }}}$ پس هیچ منحنی وجود نداره
$˙{\dot {\theta }} $اگر
$ℓ{\displaystyle -{\frac {g}{\ell }}<H<{\frac {g}{\ell }}} $سپس منحنی یک منحنی بسته ساده خواهد بود که برای H کوچک تقریبا دایره‌ای است و تبدیل به " زمانی که H به کران بالایی نزدیک می شود، شکل می گیرد. این منحنی ها مربوط به نوسان آونگ به صورت دوره ای از سمتی به سمت دیگر هاگر
${\displaystyle {\frac {g}{\ell }}<H} $سپس منحنی باز است، و این مربوط به آونگی است که برای همیشه در دایره‌های کامل می چرخد.
در این سیستم جدایی منحنی است که با آن مطابقت دارد
$ℓ{\displaystyle H={\frac {g}{\ell }}}.$ فضای فاز را به دو ناحیه مجزا تقسیم می‌کند - از این رو نامش هم برمی‌آید. ناحیه داخل جداکننده دارای تمام آن منحنی‌های فضای فازی است که مربوط به نوسان آونگ به جلو و عقب است، در حالی که ناحیه خارج از جداکننده دارای تمام منحنی‌های فضای فاز است که مربوط به چرخش مداوم آونگ از طریق دایره‌های مسطح عمودی است.
مشکل گاو ارشمیدس
شما تعداد گاوهای خورشید را که روزی در دشت چرا میکنند محاسبه کن بر اساس رنگ به چهار گله، یکی سفید شیری، یکی سیاه، یکی داپله و دیگری زرد تقسیم شده. تعداد گاو نر از تعداد گاو بیشتر است و روابط بین آنها اینطوره
$White bulls =(12+13)
black bulls + yellow$
$Black bulls =(14+15)
dappled bulls + yellow$
$Dappled bulls =(16+17)
white bulls + yellow$
$White cows =(13+14)
black herd$
$Black cows =(14+15)
dappled herd,$
$Dappled cows =(15+16)
yellow herd,$
$Yellow cows =(16+17)
white herd$
روابط اضافی زیر را بین گاوهای نر
$White bulls + black bulls = a square number,$ تشکیل مربع
$Dappled bulls + yellow bulls = a triangular number.$ عدد مثلثی
دنباله اعداد، مجموعه‌ای از اعداد پشت سر هم است که با قاعده خاصی به یکدیگر متصل شده‌اندالگویی از نقاطی که یک مثلث ${\displaystyle T_{n}=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2},}$
- ارشمیدس
برخی توضیحات اورده شه
$black herd = black bulls + black cows, white herd = white bulls + white cows$
$(12+13)
black bulls + yellow bulls$، یعنی فقط گاوهای نر سیاه ضریب را می گیرند
گاوهای نر سفید، سیاه، داپلی و زرد و w,x,y,z را نشان می دهندو s جمع کل حال باید مضرب صحیح همه مقادیر را به گونه ای پیدا کنیم که $(W+X)n$ مربع و $(Y+Z)n$ مثلثی باشه$(W+X)n = x^2 \\
8(Y+Z)n + 1 = y^2$
توجه داشته باش که $W+X$ بدون مربع است به جز داشتن ضریب اول 2 ، بنابراین x باید مضرب $\frac{W+X}{2}$ باشه
. جایگزین $x=\frac{W+X}{2}x_1$، سپس داریم $n = \frac{W+X}{4}x_1^2$
این را با معادله y جایگزینکن و کمی مرتب کن سپس نتیجه
$y^2 - 2(W+X)(Y+Z)x_1^2 = 1$بنابراین $2(W+X)(Y+Z)$
. حال فرض کنید آن را حل کرده ایم. سپس مقدار x1 را داریم. پاسخ نهایی ما Sn است یا$S n = \frac{W+X}{4}Sx_1^2$
معادلات دیوفانتین حل $a^2+ b^2=2c^2$همه راه حل های$a^2+b^2=2c^2$ را پیدا کنید
راه حل من (جزئی)می‌توانیم معادله بالا را به صورت زیر بازنویسی کنیم: $c^2 = (a^2 + b^2)/2$
بنابراین ⇒
$a^2 , c^2 , b^2$ در یک تصاعد حسابی هستند ⇒ راه حل های بی نهایت وجود داره بدون از دست دادن کلیت مسالهWLOG، اجازه بدین$a^2$
شرط t
، $b^2$شرط $s$ باشد و $c^2$ m باشه معادله را می توان دوباره به صورت $t + s = 2m$نوشت
حالا، چیزی که من فکر می کردم این بود که آیا باید این معادله دیوفانتین را برای t حل کنم
$ t & s$ بر حسب m ; مقادیر آنها را دوباره در معادله جایگزین کنید و m را پیدا کنی ; و در نهایت این مقدار m را قراربده
بازگشت به مقادیر t و s برای به دست آوردن یک راه حل کلی آیا کسی می تواند به من کمک کنه رابطه فیثاغورثی$u^2 + v^2 = c^2$ را دارید
سپس$\begin{align}
(u^2 + v^2) + (u^2 + v^2) & = 2c^2\\
(u^2 + v^2 + 2uv) + (u^2 + v^2 - 2uv) & = 2c^2\\
(u + v)^2 + (u - v)^2 & = 2c^2\\
\end{align}$بنابراین اگر a=u+v و $b = |u - v|$
$a^2 + b^2 = 2c^2$با توجه به هر سه اعداد صحیح $a, b, c : a^2 + b^2 = 2c^2$
$a^2 + b^2 \equiv 0 \mod 2$که به معنی$a + b \equiv 0 \mod 2$ است،بنابراین $a \equiv b \mod 2$
و$a - b \equiv 0 \mod 2$
WLOG، $a \ge b$ بدون از دست دادن کلیت که اغلب به اختصار WLOG میگیم هر دو $a+b$ و$ a-b $ یکنواختند.
بگذارید 2u=a+b باشد و $2v=a-b$
$4u^2 + 4v^2 = (a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2) = 4c^2$
$u^2 + v^2 = c^2$
یعنی u,v,c سه گانه فیثاغورثی است.
بنابراین هر سه اعداد صحیح $a, b, c : a^2 + b^2 = 2c^2$
مربوط به سه گانه فیثاغورثی است.
چگونه معادله دیوفانتین خطی را با 3 متغیر حل کنیم
من چندین بار روی این مشکل کار کردم، اما به دلایلی، به نظر نمی رسد که آن را درک کنم. مشکل اینجاست:
$6x + 15y + 10z = 53$اینها تلاش های من است:
اجازه دهید$w = 2y + 2z$. بنابراین معادلات ما عبارتند از: $6x+5w=53 (1)$
و $3y+2z=w (2)$. برای (1)، پس از استفاده از الگوریتم اقلیدسی،$ x=53+5n$ را دریافت کردم
و $w=-53-6n$. اکنون در حال جایگزینی با (2)
،$ 3y+2z=-53-6n$ را دریافت می کنیم. اینجاست که من گیر کرده ام.
بزار $w=2x+5y$. بنابراین معادلات ما عبارتند از:$ 2x+5y=w (roham1)$
و$ 3w+10z=53 (roham2)$
. برای 2)، پس از استفاده از الگوریتم اقلیدسی،$ w=−159+10n$ را دریافت کردم و $w=53-3n$
. اکنون در حال جایگزینی با (1)،$ 2x+5y=-159+10n$ را دریافت می کنیم
. بازم گیر کردم!
هر گونه کمکی بسیار قدردانی میکنم. پیشاپیش از شما متشکرم!بچه های هوپا
حل$ 6x+15y+10z=53→6x+5(3y+2z)=53.$
اجازه دهید$ w=3y+2z.$
حل:3y+2z=w (1)6x+5w=53$ (2)$
راه حل $(2roham):\ gcd(6,5) = 1.$
بنابراین با تشکیل یک ترکیب خطی، $6(1)+5(-1)=1$ را بدست آورید. در 53 ضرب کنید،$ 6(53)+5(-53)=53 $بدست آورید
. بنابراین،$x=x_0+(b/d)n = 53+5n$
$w=w_0-(a/d)n = -53-6n.$.
راه حل (1): ابتدا 3y+2z=1$ $را حل کنید. بنابراین، $gcd(3،2)=1$ بزرگترین مقسوم علیه مشترک (Greatest Common Divisor همون gcd و کوچکترین مخرج مشترک (Lowest Common Denominator همون lcd; ترکیب خطی را تشکیل دهید،$ 3(1)+2(-1)=1$ را بدست آورید. ضرب در $w=−53−6n$
برای بدست آوردن$3(w)+2(-w)=w \rightarrow 3(-53-6n)+2(53+6n)=-53-6n$
سپس $y_0=-53-6n\ and\ z_0=53+6n$
. بنابراین،$y=y_0+(b/d)m =-53-6n+2m$
$z=z_0 -(a/d)m = 53+6n-3m$
به طور مشابه، می توانید اجازه دهید $w=2x+5y$
و شما همان پاسخ را دریافت خواهید کرد. امیدوارم این روند تا حدودی منطقی باشه
1. جداسازی Separatrix. یک آونگ در حال حرکت می تواند از یک طرف به طرف دیگر حرکت کند یا در یک دایره پیوسته بچرخد. نقطه ای که در آن از یک نوع حرکت به نوع دیگر می رود جدایی نامیده میشه و این را می توان در اکثر موقعیت های ساده محاسبه کرد.یک آونگ در حال حرکت می تواند از یک طرف به طرف دیگر حرکت کند یا در یک دایره پیوسته بچرخد. نقطه ای که در آن از یک نوع حرکت به نوع دیگر می رود، جدایی نامیده می شود، و این را می توان در اکثر موقعیت های ساده محاسبه کرد. هر چند وقتی آونگ با سرعت تقریباً ثابتی پیش می‌رود، ریاضیات از هم می‌پاشد. آیا معادله ای وجود دارد که بتواند آن نوع جدایی را توصیف کند؟معادله دیفرانسیل را که حرکت یک آونگ ساده را توصیف می کند در نظر بگیرید:
${\displaystyle {d^{2}\theta \over dt^{2}}+{g \over \ell }\sin \theta =0.}$
جایی که$ℓ\ell$ نشان دهنده طول آونگه g شتاب گرانشی و\theta $ $
زاویه بین آونگ و عمودی به سمت پایین در این سیستم یک کمیت حفظ شده H (همیلتونی) وجود دارد که با داده می شود
${\displaystyle H={\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{2}}-{\frac {g}{\ell }}\cos \theta .}$
با این تعریف می توان منحنی H ثابت را در فضای فاز سیستم رسم کرد. فضای فاز یک نمودار باtheta $ $ در امتداد محور افقی و˙${\dot {\theta }}$ در محور عمودی$˙{\dot {\theta }}$ در محور عمودی نوع منحنی حاصل به مقدار H بستگی داره فضای فاز برای آونگ ساده
اگر$ℓ{\displaystyle H<-{\frac {g}{\ell }}}$ پس هیچ منحنی وجود نداره
$˙{\dot {\theta }} $اگر
$ℓ{\displaystyle -{\frac {g}{\ell }}<H<{\frac {g}{\ell }}} $سپس منحنی یک منحنی بسته ساده خواهد بود که برای H کوچک تقریبا دایره‌ای است و تبدیل به " زمانی که H به کران بالایی نزدیک می شود، شکل می گیرد. این منحنی ها مربوط به نوسان آونگ به صورت دوره ای از سمتی به سمت دیگر هاگر
${\displaystyle {\frac {g}{\ell }}<H} $سپس منحنی باز است، و این مربوط به آونگی است که برای همیشه در دایره‌های کامل می چرخد.
در این سیستم جدایی منحنی است که با آن مطابقت دارد
$ℓ{\displaystyle H={\frac {g}{\ell }}}.$ فضای فاز را به دو ناحیه مجزا تقسیم می‌کند - از این رو نامش هم برمی‌آید. ناحیه داخل جداکننده دارای تمام آن منحنی‌های فضای فازی است که مربوط به نوسان آونگ به جلو و عقب است، در حالی که ناحیه خارج از جداکننده دارای تمام منحنی‌های فضای فاز است که مربوط به چرخش مداوم آونگ از طریق دایره‌های مسطح عمودی است.
