عزیز دلم نظر لطفتونه منم 21 سالمه و سنی ندارم الانم ساکن انگلیس و تازه وارد دانشگاه لستر شدم قبلش ایران دانشجو بودم خوب نه باهوش هستم راستش حتی معدل 13 ایران رو هم قبول میکنند بخدا جدی میگم مهم براشون پوله و شهریه که بدی حالا سیستم 3 ترم در سال و دو ترم دارند و دوره 3 ساله و 4و 5 ساله کارشناسی هم دارند و برای سطوح مختلف حالا خواستی بهت میگم .تازه من اونجا خونه دارم با مادر و ابجیم هستم ولی خیلی از ایران سختر میگیرن مدرک مهندسی هوافضا شما با ارائه یک پایه مهندسی گسترده شروع میشه که شامل موضوعات مهندسی مکانیک، برق و الکترونیک هست . سپس دانش و مهارت های خاص بیشتری را در مهندسی مکانیک با تمرکز بر مهندسی هوافضا دارین ابتدا پایه و بعد مکانیک و هوافضا و بعد کلی هوافضا ولی درساش همون درسهای خودمونه
مساله بازل
اگر این معادله را ضرب کنیم و تمام عبارات $x^2 $را جمع آوری کنیم با استقرا می بینیم که ضریب $x^2$
${\displaystyle -\left({\frac {1}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{4\pi ^{2}}}+{\frac {1}{9\pi ^{2}}}+\cdots \right)=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$این دو ضریب باید برابر باشند پس ${\displaystyle -{\frac {1}{6}}=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$
اثبات با استفاده از سری فوریه${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,dx,}$ پس ${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }xe^{-inx}\,dx\\[4pt]&={\frac {n\pi \cos(n\pi )-\sin(n\pi )}{\pi n^{2}}}i\\[4pt]&={\frac {\cos(n\pi )}{n}}i\\[4pt]&={\frac {(-1)^{n}}{n}}i\end{aligned}}}$و دقت کن ${\displaystyle |c_{n}|^{2}={\begin{cases}{\dfrac {1}{n^{2}}},&{\text{for }}n\neq 0,\\0,&{\text{for }}n=0,\end{cases}}}$لذا ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,dx.}$نتیجه ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{4\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$
بازم متوجه نشدی نکته ای که با آن شروع کردم اینه
$\frac{1}{\sin^2 x}=\frac{1}{4\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}+\frac{1}{\sin^2\left(\frac{x+\pi}{2}\right)}\right) \tag{roham hesami rad}$
اکنون دارم
$1=\frac{1}{\sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right)}+\frac{1}{\sin^2\left(\frac{3\pi}{4}\right)}\right)$
درخواست (roham ) مکرر می گیریم
$1=\frac{1}{16}\left (\frac{1}{\sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)}+\frac{1}{\sin^2\left(\frac{3\pi}{8}\right)}+\frac{1}{\sin^2\left(\frac{5\pi}{8}\right)}+\frac{1}{\sin^2\left(\frac{7\pi}{8}\right)}\right)$
بنابراین با تعمیم می گیریم:
$1=\frac{1}{4^n}\sum_{k=0}^{2^n-1} \frac{1}{\sin^2\left(\frac{(2k+1)\pi}{2^{n+1}}\right)}$
خوب اجازه دهید قدم بعدی را توضیح بهت بدم
$1=\frac{1}{4^n}\sum_{k=0}^{2^n-1} \frac{1}{\sin^2\left(\frac{(2k+1)\pi}{2^{n+1}}\right)}=\frac{2}{4^n}\sum_{k=0}^{2^{n-1}-1} \frac{1}{\sin^2\left(\frac{(2k+1)\pi}{2^{n+1}}\right)}$
شک شما اینکه چگونه ضریب 2 آمد بیرون و چرا حد بالایی تغییر کرده است؟این واقعیت استفاده می کنم که $\sin(\pi-x)=\sin x$خوب $\begin{align}
{1\over16}\left({1\over\sin^2\left(\pi\over8\right)}+{1\over\sin^2\left(3\pi\over8\right)}+{1\over\sin^2\left(5\pi\over8\right)}+{1\over\sin^2\left(7\pi\over8\right)} \right)
&={1\over16}\left({1\over\sin^2\left(\pi\over8\right)}+{1\over\sin^2\left(3\pi\over8\right)}+{1\over\sin^2\left(3\pi\over8\right)}+{1\over\sin^2\left(\pi\over8\right)} \right)\\
&={2\over16}\left({1\over\sin^2\left(\pi\over8\right)}+{1\over\sin^2\left(3\pi\over8\right)} \right)
\end{align}$
یک روش دیگه بهت میگم اینجا دیگه راحته چگونه ثابت کنیم که $\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{n^2}+\dots=\frac{\pi^2}{6}$
با استفاده از روش مثلث زاویه قائمه مارپیچی؟از آنجایی که با استفاده از اعداد هارمونیک تعمیم یافته
$\sum_{i=1}^k \frac 1 {i^2}=H_k^{(2)}$
مارپیچ من بی نهایت دور می چرخه
$A_k=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{(k+1) \sqrt{H_k^{(2)}}}\right)$
پس $A_k=\frac{\sqrt{6}}{\pi k}\Bigg[1-\frac{\pi ^2-3}{\pi ^2 k}+\frac{27-13 \pi ^2+2 \pi ^4}{2 \pi ^4
k^2}-\frac{-135+90 \pi ^2-22 \pi ^4+2 \pi ^6}{2 \pi ^6
k^3}+O\left(\frac{1}{k^4}\right) \Bigg]$
ببین عزیز دل می تونی از تابع $f(x)=x^{2}$ استفاده کنی
با $-\pi \leq x\leq \pi$
و بسط آن را به یک سری فوریه مثلثاتی
$\dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx),$
که تناوبی است و به f(x) همگرا میشه$[-\pi, \pi]$
با مشاهده f(x) زوج است، برای تعیین ضرایب کافیه$a_{n}=\dfrac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\;dx\qquad n=0,1,2,3,...,$زیرا$b_{n}=\dfrac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\;dx=0\qquad n=1,2,3,... .$
برای n=0 من دارم$a_{0}=\dfrac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }x^{2}dx=\dfrac{2}{\pi }\int_{0}^{\pi
}x^{2}dx=\dfrac{2\pi ^{2}}{3}.$
و برای n=1،2،3،... من گرفتم$a_{n}=\dfrac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }x^{2}\cos nx\;dx$
$=\dfrac{2}{\pi }\int_{0}^{\pi }x^{2}\cos nx\;dx=\dfrac{2}{\pi }\times \dfrac{
2\pi }{n^{2}}(-1)^{n}=(-1)^{n}\dfrac{4}{n^{2}},$ چون$\int x^2\cos nx\;dx=\dfrac{2x}{n^{2}}\cos nx+\left( \frac{x^{2}}{
n}-\dfrac{2}{n^{3}}\right) \sin nx.$ بدین ترتیب دارم
$f(x)=\dfrac{\pi ^{2}}{3}+\sum_{n=1}^{\infty }\left( (-1)^{n}\dfrac{4}{n^{2}}
\cos nx\right) .$ از آنجایی که $f(\pi )=\pi ^{2}$
، من اینو بدست اوردم$\pi ^{2}=\dfrac{\pi ^{2}}{3}+\sum_{n=1}^{\infty }\left( (-1)^{n}\dfrac{4}{
n^{2}}\cos \left( n\pi \right) \right)$. و$\pi ^{2}=\dfrac{\pi ^{2}}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty }\left( (-1)^{n}(-1)^{n}
\dfrac{1}{n^{2}}\right)$پس $\pi ^{2}=\dfrac{\pi ^{2}}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{2}}.$
از این رو خیلی راحت $\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{2}}=\dfrac{\pi ^{2}}{4}-\dfrac{\pi ^{2}}{12}=
\dfrac{\pi ^{2}}{6}$
اینم بهت بگم تابع $sinx$ جایی که x∈R دقیقاً در $x=n\pi$ صفر است
برای هر عدد صحیح n. اگر آن را به عنوان یک محصول نامتناهی فاکتور کنم به دست میارم
$\sin x = \cdots\left(1+\frac{x}{3\pi}\right)\left(1+\frac{x}{2\pi}\right)\left(1+\frac{x}{\pi}\right)x\left(1-\frac{x}{\pi}\right)\left(1-\frac{x}{2\pi}\right)\left(1-\frac{x}{3\pi}\right)\cdots =$
$= x\left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{2^2\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{3^2\pi^2}\right)\cdots\quad.$
ما همچنین می توانیم sinx را به عنوان یک سری تیلور در x=0و$\sin x = x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\quad.$ضرب در حاصل ضرب و ضریب $x^3$ خوب حالا ببین $\frac{x^3}{3!}=x\left(\frac{x^2}{\pi^2} + \frac{x^2}{2^2\pi^2}+ \frac{x^2}{3^2\pi^2}+\cdots\right)=x^3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2\pi^2}$
یا$\frac{x^3}{3!}=x\left(\frac{x^2}{\pi^2} + \frac{x^2}{2^2\pi^2}+ \frac{x^2}{3^2\pi^2}+\cdots\right)=x^3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2\pi^2}$