مجموع معکوس مربعات اعداد طبیعی

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
پرتوزا

عضویت : دوشنبه ۱۴۰۱/۴/۶ - ۱۰:۱۴


پست: 41



مجموع معکوس مربعات اعداد طبیعی

پست توسط پرتوزا »

اویلر چطوری به این نتیجه رسید؟
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+…=\frac{\pi^{2}}{6}$$

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3222

سپاس: 5492

جنسیت:

تماس:

Re: مجموع معکوس مربعات اعداد طبیعی

پست توسط rohamavation »

مسئله بازل جمع دقیق متقابل مجذورات اعداد طبیعی یعنی مجموع دقیق سری نامتناهی:${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots .}$خوب بسط تیلور در سینوس میدونی${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$قضیه فاکتورسازی وایرشتراس نشون میده که سمت چپ حاصلضرب عوامل خطی است که توسط ریشه‌های آن داده می‌شه درست مانند چندجمله‌ای محدود. اویلر برای بسط چند جمله ای درجه بی نهایت بر حسب ریشه آن فرض کرد اما در واقع همیشه برای کلیدرست نیست${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots .}$ دفت کن ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin x}{x}}&=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots \\&=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdots \end{aligned}}}$اینو در $x^2$ ضرب کن ${\displaystyle -\left({\frac {1}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{4\pi ^{2}}}+{\frac {1}{9\pi ^{2}}}+\cdots \right)=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$
آره. رایج ترین روش برای انجام این کار به اویلر نسبت داده میشه. با این حال، هنوز به سری Maclaurin نیاز دارید.
چند جمله ای Maclaurin را برای ٍٍ$\frac{\sin x}{x}$در نظر بگیرید
$\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \cdots$
با این حال، توجه داشته باشید که این یک چند جمله‌ای p(x) است. با فرض$\{\pm k\pi\;|\;k \in \Bbb N\}$
و برای آن p(0)=1. این دو خاصیت به این معناست
$\frac{\sin x}{x} = \left(1 + \frac{x}{\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\cdots$و با ضرب عبارت های مجاور،$\frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right)\cdots$
برابر کردن$x^2$
شرایط موجود در چند جمله‌ای Maclaurin و شکل فاکتوری آن به دست میاد$-\frac{x^2}{3!} = -x^2\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \cdots\right)$
و هر دو طرف را در$-\frac{pi^2}{x^2}$ ضرب کن$\frac{\pi^2}{6} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \cdots$
به ما می دهد$\frac{\pi^2}{6} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \cdots$
از فرمول دیگه اویلر$\begin{align*}
\frac{\pi^2}{6}&=\frac{4}{3}\frac{(\arcsin 1)^2}{2}\\
&=\frac{4}{3}\int_0^1\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx\\
&=\frac{4}{3}\int_0^1\frac{x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}}{\sqrt{1-x^2}}\,dx\\
&=\frac{4}{3}\int_0^1\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx
+\frac{4}{3}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}\int_0^1x^{2n}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx\\
&=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}\left[\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\right]\\
&=\frac{4}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}\\
&=\frac{4}{3}\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}-\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\right)\\
&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}
\end{align*}$
تصویر

نمایه کاربر
پرتوزا

عضویت : دوشنبه ۱۴۰۱/۴/۶ - ۱۰:۱۴


پست: 41



Re: مجموع معکوس مربعات اعداد طبیعی

پست توسط پرتوزا »

rohamavation نوشته شده:
چهارشنبه ۱۴۰۲/۱/۱۶ - ۱۱:۲۳
برابر کردن$x^2$
شرایط موجود در چند جمله‌ای Maclaurin و شکل فاکتوری آن به دست میاد$-\frac{x^2}{3!} = -x^2\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \cdots\right)$
و هر دو طرف را در$-\frac{pi^2}{x^2}$ ضرب کن$\frac{\pi^2}{6} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \cdots$
به ما می دهد$\frac{\pi^2}{6} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \cdots$
اینجا شو نفهمیدم. درست نفهمیدم چطوری نتیجه‌گیری کردی. ببین، خوب بلدی‌ها ولی تند تند می‌گی و مطالب زیاد. مثل اکثر معلمای تیزهوشان و نمونه دولتی و دانشگاه‌های دولتی، تو هم طوری توضیح می‌دی که طرف انگار طرف مقابلش آی‌کیوی بالایی داره. اصلا سرزنشت نمی‌کنم. چون خوب می‌دونم وقتی چیزهایی که با علاقه یادگرفتی رو تمام و کمال به یه نفر توضیح بدی چه حس لذت بخشی داره. راستشو بخوای تو جواب ندی، هیشکی تو این انجمن جواب نمی‌ده!!!

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3222

سپاس: 5492

جنسیت:

تماس:

Re: مجموع معکوس مربعات اعداد طبیعی

پست توسط rohamavation »

عزیز دلم نظر لطفتونه منم 21 سالمه و سنی ندارم الانم ساکن انگلیس و تازه وارد دانشگاه لستر شدم قبلش ایران دانشجو بودم خوب نه باهوش هستم راستش حتی معدل 13 ایران رو هم قبول میکنند بخدا جدی میگم مهم براشون پوله و شهریه که بدی حالا سیستم 3 ترم در سال و دو ترم دارند و دوره 3 ساله و 4و 5 ساله کارشناسی هم دارند و برای سطوح مختلف حالا خواستی بهت میگم .تازه من اونجا خونه دارم با مادر و ابجیم هستم ولی خیلی از ایران سختر میگیرن مدرک مهندسی هوافضا شما با ارائه یک پایه مهندسی گسترده شروع میشه که شامل موضوعات مهندسی مکانیک، برق و الکترونیک هست . سپس دانش و مهارت های خاص بیشتری را در مهندسی مکانیک با تمرکز بر مهندسی هوافضا دارین ابتدا پایه و بعد مکانیک و هوافضا و بعد کلی هوافضا ولی درساش همون درسهای خودمونه
مساله بازل
اگر این معادله را ضرب کنیم و تمام عبارات $x^2 $را جمع آوری کنیم با استقرا می بینیم که ضریب $x^2$
${\displaystyle -\left({\frac {1}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{4\pi ^{2}}}+{\frac {1}{9\pi ^{2}}}+\cdots \right)=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$این دو ضریب باید برابر باشند پس ${\displaystyle -{\frac {1}{6}}=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$
اثبات با استفاده از سری فوریه${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,dx,}$ پس ${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }xe^{-inx}\,dx\\[4pt]&={\frac {n\pi \cos(n\pi )-\sin(n\pi )}{\pi n^{2}}}i\\[4pt]&={\frac {\cos(n\pi )}{n}}i\\[4pt]&={\frac {(-1)^{n}}{n}}i\end{aligned}}}$و دقت کن ${\displaystyle |c_{n}|^{2}={\begin{cases}{\dfrac {1}{n^{2}}},&{\text{for }}n\neq 0,\\0,&{\text{for }}n=0,\end{cases}}}$لذا ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,dx.}$نتیجه ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{4\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$
بازم متوجه نشدی نکته ای که با آن شروع کردم اینه
$\frac{1}{\sin^2 x}=\frac{1}{4\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}+\frac{1}{\sin^2\left(\frac{x+\pi}{2}\right)}\right) \tag{roham hesami rad}$
اکنون دارم
$1=\frac{1}{\sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right)}+\frac{1}{\sin^2\left(\frac{3\pi}{4}\right)}\right)$
درخواست (roham ) مکرر می گیریم
$1=\frac{1}{16}\left (\frac{1}{\sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)}+\frac{1}{\sin^2\left(\frac{3\pi}{8}\right)}+\frac{1}{\sin^2\left(\frac{5\pi}{8}\right)}+\frac{1}{\sin^2\left(\frac{7\pi}{8}\right)}\right)$
بنابراین با تعمیم می گیریم:
$1=\frac{1}{4^n}\sum_{k=0}^{2^n-1} \frac{1}{\sin^2\left(\frac{(2k+1)\pi}{2^{n+1}}\right)}$
خوب اجازه دهید قدم بعدی را توضیح بهت بدم
$1=\frac{1}{4^n}\sum_{k=0}^{2^n-1} \frac{1}{\sin^2\left(\frac{(2k+1)\pi}{2^{n+1}}\right)}=\frac{2}{4^n}\sum_{k=0}^{2^{n-1}-1} \frac{1}{\sin^2\left(\frac{(2k+1)\pi}{2^{n+1}}\right)}$
شک شما اینکه چگونه ضریب 2 آمد بیرون و چرا حد بالایی تغییر کرده است؟این واقعیت استفاده می کنم که $\sin(\pi-x)=\sin x$خوب $\begin{align}
{1\over16}\left({1\over\sin^2\left(\pi\over8\right)}+{1\over\sin^2\left(3\pi\over8\right)}+{1\over\sin^2\left(5\pi\over8\right)}+{1\over\sin^2\left(7\pi\over8\right)} \right)
&={1\over16}\left({1\over\sin^2\left(\pi\over8\right)}+{1\over\sin^2\left(3\pi\over8\right)}+{1\over\sin^2\left(3\pi\over8\right)}+{1\over\sin^2\left(\pi\over8\right)} \right)\\
&={2\over16}\left({1\over\sin^2\left(\pi\over8\right)}+{1\over\sin^2\left(3\pi\over8\right)} \right)
\end{align}$
یک روش دیگه بهت میگم اینجا دیگه راحته چگونه ثابت کنیم که $\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{n^2}+\dots=\frac{\pi^2}{6}$
تصویر
با استفاده از روش مثلث زاویه قائمه مارپیچی؟از آنجایی که با استفاده از اعداد هارمونیک تعمیم یافته
$\sum_{i=1}^k \frac 1 {i^2}=H_k^{(2)}$
مارپیچ من بی نهایت دور می چرخه
$A_k=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{(k+1) \sqrt{H_k^{(2)}}}\right)$
پس $A_k=\frac{\sqrt{6}}{\pi k}\Bigg[1-\frac{\pi ^2-3}{\pi ^2 k}+\frac{27-13 \pi ^2+2 \pi ^4}{2 \pi ^4
k^2}-\frac{-135+90 \pi ^2-22 \pi ^4+2 \pi ^6}{2 \pi ^6
k^3}+O\left(\frac{1}{k^4}\right) \Bigg]$
ببین عزیز دل می تونی از تابع $f(x)=x^{2}$ استفاده کنی
با $-\pi \leq x\leq \pi$
و بسط آن را به یک سری فوریه مثلثاتی
$\dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx),$
که تناوبی است و به f(x) همگرا میشه$[-\pi, \pi]$
با مشاهده f(x) زوج است، برای تعیین ضرایب کافیه$a_{n}=\dfrac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\;dx\qquad n=0,1,2,3,...,$زیرا$b_{n}=\dfrac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\;dx=0\qquad n=1,2,3,... .$
برای n=0 من دارم$a_{0}=\dfrac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }x^{2}dx=\dfrac{2}{\pi }\int_{0}^{\pi
}x^{2}dx=\dfrac{2\pi ^{2}}{3}.$
و برای n=1،2،3،... من گرفتم$a_{n}=\dfrac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }x^{2}\cos nx\;dx$
$=\dfrac{2}{\pi }\int_{0}^{\pi }x^{2}\cos nx\;dx=\dfrac{2}{\pi }\times \dfrac{
2\pi }{n^{2}}(-1)^{n}=(-1)^{n}\dfrac{4}{n^{2}},$ چون$\int x^2\cos nx\;dx=\dfrac{2x}{n^{2}}\cos nx+\left( \frac{x^{2}}{
n}-\dfrac{2}{n^{3}}\right) \sin nx.$ بدین ترتیب دارم
$f(x)=\dfrac{\pi ^{2}}{3}+\sum_{n=1}^{\infty }\left( (-1)^{n}\dfrac{4}{n^{2}}
\cos nx\right) .$ از آنجایی که $f(\pi )=\pi ^{2}$
، من اینو بدست اوردم$\pi ^{2}=\dfrac{\pi ^{2}}{3}+\sum_{n=1}^{\infty }\left( (-1)^{n}\dfrac{4}{
n^{2}}\cos \left( n\pi \right) \right)$. و$\pi ^{2}=\dfrac{\pi ^{2}}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty }\left( (-1)^{n}(-1)^{n}
\dfrac{1}{n^{2}}\right)$پس $\pi ^{2}=\dfrac{\pi ^{2}}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{2}}.$
از این رو خیلی راحت $\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{2}}=\dfrac{\pi ^{2}}{4}-\dfrac{\pi ^{2}}{12}=
\dfrac{\pi ^{2}}{6}$
اینم بهت بگم تابع $sinx$ جایی که x∈R دقیقاً در $x=n\pi$ صفر است
برای هر عدد صحیح n. اگر آن را به عنوان یک محصول نامتناهی فاکتور کنم به دست میارم
$\sin x = \cdots\left(1+\frac{x}{3\pi}\right)\left(1+\frac{x}{2\pi}\right)\left(1+\frac{x}{\pi}\right)x\left(1-\frac{x}{\pi}\right)\left(1-\frac{x}{2\pi}\right)\left(1-\frac{x}{3\pi}\right)\cdots =$
$= x\left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{2^2\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{3^2\pi^2}\right)\cdots\quad.$
ما همچنین می توانیم sinx را به عنوان یک سری تیلور در x=0و$\sin x = x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\quad.$ضرب در حاصل ضرب و ضریب $x^3$ خوب حالا ببین $\frac{x^3}{3!}=x\left(\frac{x^2}{\pi^2} + \frac{x^2}{2^2\pi^2}+ \frac{x^2}{3^2\pi^2}+\cdots\right)=x^3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2\pi^2}$
یا$\frac{x^3}{3!}=x\left(\frac{x^2}{\pi^2} + \frac{x^2}{2^2\pi^2}+ \frac{x^2}{3^2\pi^2}+\cdots\right)=x^3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2\pi^2}$
تصویر

نمایه کاربر
پرتوزا

عضویت : دوشنبه ۱۴۰۱/۴/۶ - ۱۰:۱۴


پست: 41



Re: مجموع معکوس مربعات اعداد طبیعی

پست توسط پرتوزا »

rohamavation نوشته شده:
پنج‌شنبه ۱۴۰۲/۱/۱۷ - ۰۸:۲۴
عزیز دلم نظر لطفتونه منم 21 سالمه و سنی ندارم الانم ساکن انگلیس و تازه وارد دانشگاه لستر شدم قبلش ایران دانشجو بودم خوب نه باهوش هستم راستش حتی معدل 13 ایران رو هم قبول میکنند بخدا جدی میگم مهم براشون پوله و شهریه که بدی حالا سیستم 3 ترم در سال و دو ترم دارند و دوره 3 ساله و 4و 5 ساله کارشناسی هم دارند و برای سطوح مختلف حالا خواستی بهت میگم .تازه من اونجا خونه دارم با مادر و ابجیم هستم ولی خیلی از ایران سختر میگیرن مدرک مهندسی هوافضا شما با ارائه یک پایه مهندسی گسترده شروع میشه که شامل موضوعات مهندسی مکانیک، برق و الکترونیک هست . سپس دانش و مهارت های خاص بیشتری را در مهندسی مکانیک با تمرکز بر مهندسی هوافضا دارین ابتدا پایه و بعد مکانیک و هوافضا و بعد کلی هوافضا ولی درساش همون درسهای خودمونه
وای خوش به حالت! موفق باشی روهام جان. راستش وقتی خداحافظی کردی نگران بودم دیگه به سوالامون جواب ندی! منم خودم ۲۰ سالمه. راستش منم دوست داشتم برم خارج ولی نمی‌تونم بابامو ول کنم چون سکته مغزی کرده بود. به امید روزی که کیفیت دانشگاهای ایرانم بهتر و بهتر شه.
توضیحاتت عالی بودن. کیف کردم. راستش نمی‌دونستم اینقدر اثبات داره!!!😄

نمایه کاربر
decoder

عضویت : چهارشنبه ۱۴۰۰/۱۱/۱۳ - ۱۶:۱۹


پست: 51

سپاس: 4

جنسیت:

تماس:

Re: مجموع معکوس مربعات اعداد طبیعی

پست توسط decoder »

rohamavation نوشته شده:
پنج‌شنبه ۱۴۰۲/۱/۱۷ - ۰۸:۲۴
منم 21 سالمه و سنی ندارم الانم ساکن انگلیس و تازه وارد دانشگاه لستر شدم قبلش ایران دانشجو بودم خوب نه باهوش هستم راستش حتی معدل 13 ایران رو هم قبول میکنند بخدا جدی میگم مهم براشون پوله و شهریه که بدی
دانشگاه ایران ورودش سخته خروجش آسونه ولی دانشگاه خارج ورودش آسونه خروجش و مدرک گرفتنش سخته
💙🖤The Night Tune🖤💙

تصویر

نمایه کاربر
پرتوزا

عضویت : دوشنبه ۱۴۰۱/۴/۶ - ۱۰:۱۴


پست: 41



Re: مجموع معکوس مربعات اعداد طبیعی

پست توسط پرتوزا »

decoder نوشته شده:
پنج‌شنبه ۱۴۰۲/۱/۱۷ - ۱۳:۳۱
rohamavation نوشته شده:
پنج‌شنبه ۱۴۰۲/۱/۱۷ - ۰۸:۲۴
منم 21 سالمه و سنی ندارم الانم ساکن انگلیس و تازه وارد دانشگاه لستر شدم قبلش ایران دانشجو بودم خوب نه باهوش هستم راستش حتی معدل 13 ایران رو هم قبول میکنند بخدا جدی میگم مهم براشون پوله و شهریه که بدی
دانشگاه ایران ورودش سخته خروجش آسونه ولی دانشگاه خارج ورودش آسونه خروجش و مدرک گرفتنش سخته
مثل به قیف سر و ته…

البته دانشگاه آزادهایی داریم که سختگیرن.

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3222

سپاس: 5492

جنسیت:

تماس:

Re: مجموع معکوس مربعات اعداد طبیعی

پست توسط rohamavation »

درسته حرف شما اما امکانات و استادها و جو تخصصیه و امکانات آزمایشگاهی کامله وقتی در یک دانشگاه خارجی اونم انگلیس درس بخونید اولا شهریه بالایی هم میدین درس نخونید واحدها پاس نمی‌شن و التماس نمره وجود نداره، باید شدید و منظم روی تخصص‌تان کار کنید. پس علافی معنی نداره. یک سبک زندگی برنامه‌ریزی شده باید داشته باشین و سخت‌کوش و پیگیر باشین اینجا اونجا نیست استاد بگه از فلان تا فلان این 20 سوال بخون از اینا میاد یا امتحان عقب میندازم .درسته سوال میدن بحث میکنن همه هست .شوخی و خنده مثل ایران نیست بیشتر جدی هستند .از اون خبرها هم نیست نگاه کنی و یا خودتون میدونید قوانین سختی دارن خوب اونم بگم سطح کتابها دقیقا همونه الان من دینامیک پرواز 2 رو دوباره باید بگذرونم بخدا یکی هست .وحتی استاد ایران بهتر بود تو این درس ولی خوب مهم نیستآیرودینامیک سرعت پایین
: کنترل دینامیک پرواز و آویونیک - EG4321/7040 کد
آزمایشگاه مکانیک سیالات
دینامیک سیالات محاسباتی پیشرفته کد درسEG4122
طراحی موتور هوائی کد درس EG442
عملکرد و طراحی هواپیما2 AERO20410
کارگاه موتور و بدنه هواپیما AERO20412 برداشتم
آزمایش و تجزیه و تحلیل مهندسی EG1006 BEng/MEng برداشتم
ناپایداری سیال، انتقال و آشفتگی -
پروژه EG3005 BEng/MEng برداشتم
درس ادبیات امریکا هم برداشتمE 316M
تصویر

نمایه کاربر
پرتوزا

عضویت : دوشنبه ۱۴۰۱/۴/۶ - ۱۰:۱۴


پست: 41



Re: مجموع معکوس مربعات اعداد طبیعی

پست توسط پرتوزا »

rohamavation نوشته شده:
جمعه ۱۴۰۲/۱/۱۸ - ۱۲:۵۹
درسته حرف شما اما امکانات و استادها و جو تخصصیه و امکانات آزمایشگاهی کامله وقتی در یک دانشگاه خارجی اونم انگلیس درس بخونید اولا شهریه بالایی هم میدین درس نخونید واحدها پاس نمی‌شن و التماس نمره وجود نداره، باید شدید و منظم روی تخصص‌تان کار کنید. پس علافی معنی نداره. یک سبک زندگی برنامه‌ریزی شده باید داشته باشین و سخت‌کوش و پیگیر باشین اینجا اونجا نیست استاد بگه از فلان تا فلان این 20 سوال بخون از اینا میاد یا امتحان عقب میندازم .درسته سوال میدن بحث میکنن همه هست .شوخی و خنده مثل ایران نیست بیشتر جدی هستند .از اون خبرها هم نیست نگاه کنی و یا خودتون میدونید قوانین سختی دارن خوب اونم بگم سطح کتابها دقیقا همونه الان من دینامیک پرواز 2 رو دوباره باید بگذرونم بخدا یکی هست .وحتی استاد ایران بهتر بود تو این درس ولی خوب مهم نیستآیرودینامیک سرعت پایین
: کنترل دینامیک پرواز و آویونیک - EG4321/7040 کد
آزمایشگاه مکانیک سیالات
دینامیک سیالات محاسباتی پیشرفته کد درسEG4122
طراحی موتور هوائی کد درس EG442
عملکرد و طراحی هواپیما2 AERO20410
کارگاه موتور و بدنه هواپیما AERO20412 برداشتم
آزمایش و تجزیه و تحلیل مهندسی EG1006 BEng/MEng برداشتم
ناپایداری سیال، انتقال و آشفتگی -
پروژه EG3005 BEng/MEng برداشتم
درس ادبیات امریکا هم برداشتمE 316M
خب، سختگیری دانشگاه‌های خارجی به کنار، خود رشته هوا فضا به اندازه‌ی کافی سخت هست. خدا قوت! کارت واقعا سخته! امیدوارم موفق بشی!❤️ البته وقتی راجع به دانشگاهت تحقیق کردم دیدم امکانات تفریحی زیاد و خوبی داره (البته که واسه اونا هم باید پول بسفیم). فک کنم هر هفته دو شب پارتی دارن😄😁

موندم شهریه چقدر ازتون می‌گیرن🤔

ارسال پست