Re: یک حد دنباله
ارسال شده: پنج‌شنبه ۱۴۰۲/۱/۱۰ - ۰۴:۳۱
یک سوال کردند گفتند حد اثبات کن همین من چند روش میزارم برات
برای $n\ge2$
، ما داریم $\frac{2^n}{n!}=\frac{\overbrace{2\cdot2\cdot2\cdots2}^{\text{$n$ copies}}}{1\cdot2\cdot3\cdots n}\le\frac{2\cdot2}{1\cdot2}\left(\frac23\right)^{n-2}\to0\qquad\text{as }n\to\infty$
برای $n\ge2x$
من اینجا دارم $\begin{align}
\frac{x^n}{n!}
&=\frac{x^{\lfloor2x\rfloor}}{\lfloor2x\rfloor!}\frac{x}{\lfloor2x+1\rfloor}\frac{x}{\lfloor2x+2\rfloor}\cdots\frac{x}{n}\\[4pt]
&\le\frac{x^{\lfloor2x\rfloor}}{\lfloor2x\rfloor!}\left(\frac12\right)^{n-\lfloor2x\rfloor}
\end{align}$
از آنجا که
$\lim_{n\to\infty}\left(\frac12\right)^{n-\lfloor2x\rfloor}=0$
ما داریم پس $\lim_{n\to\infty}\frac{x^n}{n!}=0$
دنباله $\{ a_n\}$ را تعریف کنید به عنوان$a_n= \dfrac{x^n}{n!}$ برای $x∈R$ و $n∈N$اگر x=0
، بی اهمیت است که $\lim a_n=0$اگر x> 0، پس یکی آن را داردبرای n∈N، $a_n >0$
.برای n به اندازه کافی بزرگ (مثلاً n≥x) چنین هست$a_{n+1} = \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{x}{n+1}\frac{x^{n}}{n!}<a_n.$
یعنی که پس از n معین ,$a_{n+1}<a_{n}$
.از آنجایی که یک دنباله یکنواخت نزولی محدود از اعداد حقیقی باید دارای یک حد باشه
$a= \lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} a_{n+1} = \lim_{n\to\infty}\frac{x}{n+1}\cdot\lim_{n\to\infty} a_n = 0\cdot a$
⟹a=0.اگر هم x<0، یک $(-1)^n$ را معرفی می کنم عامل. از آنجایی که من ثابت کردم که یک به صفر می رسد، از خاصیت استفاده می کنیم که اگر $\{ b_n \}$ محدود شده است و $a_n \to 0$ است
سپس$\lim\limits_{n\to\infty} a_n\cdot b_n =0$
و همین بود خوب فرمول استرلینگ ممیگه
$n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n,$
تا آنجا که $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\sqrt{2 \pi n} \left(\displaystyle\frac{n}{e}\right)^n} = 1,$
پیش از این هم
$\begin{aligned}
\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n!} & = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{\sqrt{2 \pi n} \left(\displaystyle\frac{n}{e}\right)^n} = \lim_{n \to \infty} \Bigg[\frac{1}{\sqrt{2 \pi n}} \cdot \frac{2^n}{\left(\displaystyle\frac{n}{e}\right)^n} \Bigg]\\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi n}} \cdot \lim_{n \to \infty} \left(\frac{e2}{n}\right)^n = 0 \cdot 0^\infty = 0
\end{aligned}$ توجه: می توانید جایگزین 2 را تعمیم دهید توسط x
راحت بود نه خوب قضیه ساندویچ رو خوندی دیگه ساده ترین راه این خواهد بود اجازهبده بهت بگم
$\color{fuchsia}{P_n=\frac{x^n}{n!}=}
\color{maroon}{\frac x1.\frac x2.\frac x3\cdots\frac x{x-1}.\frac xx.\frac x{x+1}\cdots\frac x{n-1}.\frac xn}$
سپس
$\color{maroon}{0}\color{red}{<}\color{fuchsia}{P_n}\color{red}{<}\color{maroon}{\frac x1.\frac x2\cdots\frac{x}{x-1}.\frac xx.}\color{green}{\frac x{x+1}.\frac x{x+1}\cdots\frac{x}{x+1}.\frac x{x+1}}$
یا$\color{maroon}{0}\color{red}{<}\color{fuchsia}{P_n}\color{red}{<}\color{maroon}{\frac{x^x}{x!}.}\color{green}{\left(\frac x{x+1}\right)^{n-x}}$ و به عنوان
$\color{fuchsia}{\lim_{n\to\infty}\color{maroon}{0}=0}\\
\color{fuchsia}{\lim_{n\to\infty}\color{maroon}{\frac{x^x}{x!}.}\color{green}{\left(\frac x{x+1}\right)^{n-x}}=0}$
با استفاده از قضیه ساندویچ قضیه فشردن (یا ساندویچ) بیان می کنه که اگر $f(x)≤g(x)≤h(x) $برای همه اعداد، و در نقطه ای x=k $f(k)=h(k) $داریم آنگاه g(k) نیز باید با آنها برابر باشه. می‌توانیم از این قضیه برای یافتن حدهای پیچیده‌ای مانند sin(x)/x در x=0، با فشردن sin(x)/x بین دو تابع و استفاده از آنها برای یافتن حد در x=0 استفاده کنیم. البته بهش قضیه فشار هم میگن خوب سوالت نگی رفتی یکی دیگه نوشتی همش مثل همه
. با نوشتن عبارت به‌عنوان حاصلضرب از n خیلی راحت درک میکنی
عوامل مثبت $\frac{n!}{n^n}=\left(\frac{1}{n}\right)\left(\frac{2}{n}\right)\left(\frac{3}{n}\right)\cdots\left(\frac{n}{n}\right).$
هر یک از عوامل $k/n$$k=1,2,3,\dots,n$ کوچکتر یا مساوی 1 است . $\le\left(\frac{1}{n}\right)\cdot1\cdot1\cdots1=1/n.$
اما 1/n به 0 همگرا می شود
به صورت $n\to\infty$
، بنابراین با قضیه Squeeze عبارت اصلی نیز انجام میشه ابتدا نشان خواهم داد که دنباله $x_n = \frac{n!}{n^n}$
همگرا می شود. برای انجام این کار میگم که دنباله هم یکنواخت و هم محدوده
Lemma1: $x_n$ یکنواخت در حال کاهشه
اثبات ما می توانیم این را با چند جبر ساده ببینیم $x_{n+1} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n+1}{n+1}\frac{n!}{(n+1)^n} \frac{n^n}{n^n} = \frac{n!}{n^n} \frac{n^n}{(n+1)^n} = x_n \big(\frac{n}{n+1}\big)^n.$
از آنجایی که $\big(\frac{n}{n+1}\big)^n < 1$ سپس $x_{n+1} < x_n$
لمLemma 2: $x_n$
محدود شده است.اثبات ساده من $n! \leq n^n$
و $n! \geq 0$ . کرانهای $0 \leq x_n \leq 1$ را بدست می آوریم
، نشاون میده که $x_n$
محدود شده است.با هم، این دو لم همراه با قضیه همگرایی یکنواخت ثابت می کنه که دنباله همگرا میشه
قضیه: $x_n \to 0$ به صورت $n \to \infty$ اثباتproof از آنجایی که $x_n$ همگرا میشه سپس اجازه بدین و بزار$s = \lim_{n \to \infty} x_n$، جایی که $s∈R$ . رابطه در لم 1 که گذاشتم حالا $x_{n+1} = x_n \big(\frac{n}{n+1}\big)^n = \frac{x_n}{(1+ \frac{1}{n})^n}.$از آنجایی که $x_n \to s$، سپس برای $x_{n+1}$ نیز همینطوره . علاوه بر این، یک نتیجه استاندارد حد $(1+ \frac{1}{n})^n \to e$ هستش. با این نتایج من $\frac{x_n}{(1+ \frac{1}{n})^n} \to \frac{s}{e}$ داریم و در نتیجه $s = \frac{s}{e} \implies s(1 - e^{-1}) = 0$ از اونجایی $1 \neq e^{-1}$
آنگاه این عبارت اگر و فقط اگر s=0 باشد صحیح هست خوب بازم برات روش دیگه میزارم اگه خواستی
نمیدونم چرا سر کلاس مطلب نمیگیرین .
.
