سری‌های نوسانی

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
پرتوزا

عضویت : دوشنبه ۱۴۰۱/۴/۶ - ۱۰:۱۴


پست: 41



سری‌های نوسانی

پست توسط پرتوزا »

خب، معلومه که این سری نامتناهی
$$\sum_{i=1}^{\infty}-(-1)^{i}=1-1+1-1+1-1+ …$$
که به سری «گرندی» مشهوره، واگراست. چون دنباله‌ی مجموع‌های جزئی اون حد (بینهایت) نداره:
$$\{S_{n}\}=\{1,0,1,0,1, … \}$$
البته جواب‌های پیشنهادی برای این سری وجود داره که (اگه $S$ جواب سری باشه):
$S=0$, $S=1$, $S=\frac {1}{2}$.
رو به سری گرندی نسبت می‌دن که روش‌هاشون غلطه چون فرض می‌شه که سری همگراست (توی ویکی‌پدیا سرچ کنید «سری (ریاضیات)»؛ بخش مربوط به سری گرندی رو ببینید که دلیل نادرست بودن روش‌هاشون رو می‌گه).

ولی یه کار دیگه هم می‌تونیم انجام بدیم: بسط $1/(1-x)$ رو می‌نویسیم
$$\frac {1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+…$$
اگه به جای $x$ قرار بدیم $-1$ داریم:
$$\frac {1}{2}=1-1+1-1+1-1+…$$
این روشی بود که من در کتاب «روش‌های ریاضی در فیزیک: جلد اول؛ اثر جرج آرفکن؛ ص۳۸۲؛ مرکز نشر دانشگاهی» دیدم و کتاب در ادامه‌ی بحث می‌گه:
«… هر چند این سری به معنای معمول همگرا نیست، ولی می‌توان برای آن معنایی قائل شد. مثلاً اویلر بر اساس تناظر میان این سری و تابع خوش‌تعریف $1/(1-x)$، مقدار $1/2$ را به این سری نسبت داد. اما متأسفانه این تناظر میان سری و تابع منحصر به‌فرد نیست و این رهیافت باید اصلاح شود. برای نسبت دادن یک مفهوم به یک سری واگرا یا نوسانی، روش‌های دیگری، روش‌های تعریف مجموع، را یافته‌اند. اما، به طور کلی، این جنبه‌ی سری‌های نامتناهی برای دست‌اندرکاران علوم و مهندسی چندان مورد توجه نیست…» متأسفانه کتاب تا همین جا بحث رو خاتمه می‌ده.

حالا من نمی‌خوام $1/2$ رو واسه جواب سری گرندی توجیه کنم. فقط می‌خوام بدونم طبق گفته‌ی کتاب واقعاً چه مفهومی برای سری‌های عددی نوسانی (نه سری‌های تابع) قائل می‌شن؟ آیا برای این سری‌ها نوع خاصی از جواب تعریف شده؟

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3268

سپاس: 5491

جنسیت:

تماس:

Re: سری‌های نوسانی

پست توسط rohamavation »

در ریاضی مجموع یک سری نامتناهی به عنوان حد دنباله ای از مجموع جزئی آن تعریف میشه، اگر وجود داشته باشه. دنباله ای از مجموع جزئی سری گراندی 1، 0، 1، 0، ...هست که به وضوح به هیچ عددی نزدیک نمیشن (اگرچه دو نقطه تجمع در 0 و 1 دارد). بنابراین سریال گراندی واگرا است.$\sum_{n=0}^\infty(-1)^n$سری های پاور را در نظر بگیر
$S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n, \qquad x\in [0;1).$.
سری هندسیه:$\sum_{n=0}^{\infty} (-x)^n = \frac{1}{1-(-x)} = \frac{1}{1+x}.$
بنابراین$S(x)=\frac{1}{1+x}, \qquad x\in[0,1).$
S(x) پیوسته و محدود به [0;1) هستش. بنابراین من می توانیم حد را پیدا کنم
$S = \lim_{x\to 1} S(x) = \frac{1}{2}.$
اگر به تعریف اپسیلون همگرایی نگاه کنی این سری همگرا نیستش از نظر ریاضی معتبر نیست. نتیجه در فیزیک خوبه است و در آنجا استفاده میشه.مسئله در اینجا اینه که جمع کردن تعداد متناهی عبارت یک عملیات خوب و کاملاً تعریف شده. اضافه کردن تعداد نامتناهی از جمله لازم نیستش
مرتب کردن مجدد عبارت ها در یک مجموع نامحدود می تونه در واقع مجموع را تغییر بده مجموعه‌ای که ارائه کردی شما به هم نزدیک نمی‌شن- و بنابراین بحث در مورد آن به‌عنوان ارزش برای شروع نادرسته. با این حال، سری‌هایی وجود دارند که همگرا می‌شن و هنوز نمی‌توان آنها را بدون تغییر مقدار بازآرایی کردش: این برای سری‌هایی که به طور مشروط همگرا نامیده می‌شن درسته - یعنی سری‌ها همگرا میشن اما مجموع مقادیر مطلق عبارت‌ها اینطور نیست.
جالبه که برای سری‌های همگرا مشروط، معلوم میشه که می‌تونید شرایط را دوباره مرتب کنید تا هر محدودیتی را که دوست دارید ارائه بدین.
نکته مهمی که جناب پرتوزا باید به خاطر بسپارید اینکه جمع بی‌نهایت عبارت را نمی‌توان تداعی یا جابه‌جایی فرض کرد مگر اینکه بددونید مجموع مقادیر مطلق عبارت‌ها همگرا میشن - ویژگی معروف به عنوان همگرایی مطلق
می دونیم که مجموع یک سری نامتناهی در صورت وجودحد دنباله مجموع جزئی آن تعریف میشن دنباله مجموع جزئی سریال گراندی 1،0،1،0،...، که به وضوح به هیچ عددی نزدیک نمیشن (اگرچه دو نقطه تجمع در 0 داره و 1
بنابراین سریال گراندی واگرا است.از نظر ریمان این نتیجه است که «بسط نامتناهی» مناسب عملیات باینری جمع (با تمام قوانین میدانی که در سؤال خود ذکر کردید) صرفاً مفهوم سری یا سری همگرا نیسش بلکه مفهوم کاملاً همگرا هست سری، به این معنی که شما به هر دو نیاز دارید
$\sum_{n\in\mathbb N} a_n \qquad \mathrm{and} \qquad \sum_{n\in\mathbb N} |a_n|$
سری همگرا باشد موضوع اصلی سری‌هایی که مطلقاً همگرا نیستند مربوط به امکان مرتب کردن مجدد عبارت‌ها است ("بسط" ویژگی جابجایی که می‌خواستید در اوایل اثبات استفاده کنید - در واقع، در مورد سری‌های واگرا تداعی‌گرایی به یک مشکل تبدیل می‌شود. همچنین، و سریال گراندی نمونه رایج اونه). این در مورد هر نوع سری صادق است - واقعی، پیچیده، بردار - اگرچه پرداختن به حالت واقعی ساده تر است.
به طور دقیق تر ریمان نشان داد که:
اگر شرایط یک سری کاملاً همگرا را دوباره ترتیب دهیم، سری جدید همچنان کاملاً همگرا هستند و علاوه بر این به همان مقدار سری اصلی همگرا خواهند شد.در عوض، با توجه به هر عدد واقعی λ (!!)، می توان شرایط یک سری همگرا مشروط (یعنی نه مطلقا) را به گونه ای ترتیب داد که سری جدید به λ همگرا شود.، یا به گونه ای که نوسان می کند یا حتی واگرا می شود.
من برای متقاعد کردن شما از این حقایق مثالی می زنم.
بازآرایی نوسانی یک سری همگرا مشروط. اجازه دهید $\sum_{n=0}^\infty a_n$
یک سری همگرا مشروط باشد: ما یک بازآرایی نوسانی می سازیم. دو عدد واقعی α،β را انتخاب کنید
آزادانه با α<β: تنظیم مجدد ما باید به گونه ای باشد که وقتی دنباله را بررسی می کنید$A_p \doteq \sum_{n=0}^p a_n$
شما همیشه می توانید تعداد نامتناهی از عبارت های زیر β را انتخاب کنید و تعداد نامتناهی از آنها که بالای $\alpha$ قرار دارند
. از نظر اکتشافی، این بدان معنی است که همانطور که p رشد می کند، دنباله Ap بالاتر از $\alpha$ می رود
، سپس به زیر β پایین می آید، و این کار را بی نهایت ادامه می دهد.
اکنون سری $\sum_{n=0}^\infty (a_n)^+$ را معرفی می کنم و $\sum_{n=0}^\infty (a_n)^-$
، به ترتیب مجموعه ای از جمله های مثبت یک و سری اصطلاحات منفی$a_n$
. به عنوان مثال، اگر سری شما سری هارمونیک متناوب است$\sum_{n=1}^\infty b_n = 1- \frac 1 2 + \frac 1 3 - \frac 1 4 + \cdots = \ln 2$جایی که $b_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n}$
، سپس$\sum_{n=1}^\infty (b_n)^+ = 1 + \frac 1 3 + \frac 1 5 + \cdots \qquad \mathrm{and} \qquad \sum_{n=1}^\infty (b_n)^- = - \frac 1 2 - \frac 1 4 - \frac 1 6 - \cdots$واقعیت اساسی که ما در ساخت خود از آن استفاده می کنیم این است
لم اگر$\sum_{n=0}^\infty a_n$ به صورت مشروط همگرا است، سپس $\sum_{n=0}^\infty (a_n)^\pm$
واگرا شدن
(این را برای سری بالا بررسی کنید!)جمله آخر به چه معناست؟ یعنی اگر مثل قبل نشان دهم
$B_p := \sum_{n=0}^p (a_n)^+ \qquad \mathrm{and} \qquad C_p := \sum_{n=0}^p (a_n)^-$
سپس، اگر دو عدد مثبت M را به من بدهید و N، هر چقدر هم که می خواهید بزرگ باشند، من همیشه می توانم دو شاخص $p'$پیدا کنم و $p''$
به طوری که$\forall p > p' \quad B_p > M \qquad \mathrm{and} \qquad \forall p > p'' \quad C_p > N$
حال، می‌توانیم فرض کنیم w.l.o.g.تعریف. بدون از دست دادن کلیت، که اغلب به اختصار WLOG خوانده می شود، عبارتی است که اغلب در ریاضیات استفاده می شود. این اصطلاح برای نشان دادن اینکه برهان زیر بر یک مورد خاص تأکید می کند استفاده می شود، اما بر اعتبار اثبات به طور کلی تأثیر نمی گذارد. که$ a_0<β$
و $a_n≠0$ برای همه n. n_0≐0$ $تماس بگیرید و اولین شاخص $n>n_0 $را در نظر بگیرید
به طوری که $a_n > 0$
: آن را n_1$ $بنامیم . مجموع $a_{n_0} + a_{n_1}$ را در نظر بگیرید: اگر بزرگتر یا مساوی با β باشد
، متوقف می شویم. در غیر این صورت، اجازه دهید $n_2$ اولین شاخص $n>n_1 $باشد
به طوری که $a_n > 0$، مجموع $a_{n_0} + a_{n_1} + a_{n_2}$ را در نظر بگیرید
و آن را با β مقایسه کنید: اگر بزرگتر یا مساوی با β باشد ما متوقف می شویم، در غیر این صورت به اضافه کردن کمک های مثبت به مجموع خود ادامه می دهیم. توجه داشته باشید که این مشارکت های مثبت همیشه وجود خواهند داشت، زیرا $\sum_{n=0}^\infty (a_n)^+$ واگرا می شود؛ به همین دلیل، ما فقط به تعداد محدودی از مراحل نیاز داریم تا به نقطه ای برسیم که مجموع S'
بزرگتر یا مساوی β است. در واقع، هنگامی که ما به آنجا رسیدیم، گزینه m را انتخاب خواهیم کرد
شاخص های $n_0, n_1, \dots, n_m$، که به طور متناهی زیاد هستند و همه متمایز هستند، که هر کدام با اولین m مطابقت دارند
شرایط بازآرایی ما: آنها را $b_0,b_1,\dots,b_m$ بنامیم. (همچنین به جمع S' توجه کنید
از این اولین m Term اولین مورد از بی نهایت عبارت دنباله Ap است
که می توانیم آن در واقع بالای β را انتخاب کنیم!)
حالا دوباره از اولین مقادیر n شروع می کنیم و سعی می کنیم زیر$ \alpha$ بیفتیم
با اضافه کردن اصطلاحات منفی اولین شاخص n را در نظر بگیرید به طوری که$a_n < 0$
: آن را $n_{m+1}$ بنامید
و جمع $S' + a_{n_{p+1}}$ را بررسی کنید. اگر کمتر یا مساوی $\alpha$ باشد
توقف می کنیم در غیر این صورت اولین شاخص $n > n_{p+1}$را انتخاب می کنیم
به طوری که$a_n < 0$
، آن را $n_{p+2}$ می نامیم و جمع $S' + a_{n_{p+1}} + a_{n_{p+2}}$ را بررسی می کنیم
. اگر این کمتر یا مساوی $\alpha$ باشد
ما متوقف می شویم؛ ما به اضافه کردن عبارت های منفی ادامه می دهیم تا به جمع $S'' \leq \alpha$ برسیم
. این را می توانیم در تعداد محدودی از مراحل انجام دهیم زیرا$\sum_{n=0}^\infty (a_n)^-$
نیز واگرا می شود. آخرین شاخصی که برای یافتن $n_q$ نیاز داشتیم را فراخوانی کنیم
و اصطلاحات دنباله را تغییر نام دهید مربوط به $n_{p+1},n_{p+2},\dots,n_q$
به صورت $b_{p+1},b_{p+2},\dots,b_q$
. مانند قبل، عدد $S''$
اولین عنصر از دنباله $A_p$ است
که کاملاً زیر $\alpha$ قرار دارد
.توجه داشته باشید که حتی اگر عباراتی را که قبلاً از دو سری $\sum_{n=0}^\infty (a_n)^\pm$ انتخاب کرده‌ایم
، آنچه باقی می ماند هنوز یک جفت سری واگرا است، بنابراین ممکن است این رویه را به طور نامحدود تکرار کنیم.
و بازآرایی نوسانی شما وجود دارد! ممکن است سعی کنید از روشی برای سری هارمونیک متناوب پیروی کنید که به عنوان مثال انتخاب کنید. $\alpha = -1$
و $\beta = \pi$. (روش های مشابهی برای ایجاد بازآرایی های واگرا یا بازآرایی هایی وجود دارد که به یک عدد واقعی ثابت λ همگرا می شوند..)یک ظرف (ترجیحا دایره ای) پر از آب به طور یک طرفه شتاب می گیرد به طوری که سطح آب در یک طرف از طرف دیگر بالاتر است. چیزی که من می خواهم بدانم این است که اگر کشتی فورا متوقف شود، سطح آب خود را به نقطه تعادل برمی گرداند، اما در انجام این کار انتهای دیگر را به سمت بالا فشار می دهد. اگر آب یک سیال ایده آل است، در این شرایط چه نوع نوسانی رخ می دهد.
می توانم بگویم که شاید عبارت ریاضی این نوسان پیچیده باشد، اما لطفاً اگر درست فکر می کنم به من اطلاع دهید.
من در حال بررسی، یافتن معادله نوسان برای لوله‌های u بی نهایت کوچک (با در نظر گرفتن یک صفحه دو بعدی) و ادغام آن برای بدست آوردن عبارت نهایی هستم.لوله U با مایع.یک لوله U حاوی مایعی با سطح بالاتر در سمت راست است. این را می توان همانطور که پیشنهاد کردید یا ساده تر با اعمال یک خلاء جزئی در سمت راست به دست آورد: فشار (اتمسفر) بیشتر در لوله سمت چپ، سپس سیال را به سمت بالا به سمت راست فشار می دهد، تا اختلاف سطح y.
بدست آمده است.در t=0 خلاء را می شکنیم. اکنون می توان نشان داد که سیستم دارای انرژی پتانسیل U است
:$U=mg\frac{y}{2},$جایی که m
جرم ستون سیال به ارتفاع y است:$m=\rho Ay,$
با ρ چگالی سیال و A سطح مقطع لوله به طوری که:$U=\frac{\rho Agy^2}{2}. $
فعلاً نادیده گرفتن تمام اصطکاک چسبناکی که سیال ممکن است در جریان جریان داشته باشد (ما یک لوله کاملاً صاف را فرض می کنیم) انرژی پتانسیل اکنون به انرژی جنبشی تبدیل می شود.
انرژی جنبشی ستونی از سیال به جرم M (یعنی مجموع جرم سیال در لوله U) به وسیله:$K=\frac{Mv^2}{2},$
جایی که v سرعت ستون سیال و $v=\frac{dy}{dt}$ است.
با فرض عدم تلفات انرژی، در هر زمان انرژی کل سیستم برابر است با:T=U+K
حال اجازه دهید معادله حرکت نیوتنی رابنویسم خوب رهام اینجا. وزن ستون ارتفاع y بر کل ستون نیرو وارد می کنه
$\rho Agy$به طوری که معادله حرکت تبدیل به:,$Ma+\rho Agy=0$
جایی که a شتابی است که ستون سیال تجربه می کند و $a=\frac{d^2y}{dt^2}$
، بنابراین:$M\frac{d^2y}{dt^2}+\rho Agy=0 $این معادله حرکت یک نوسان ساز هارمونیک ساده با فرض t=0 است.
، v=0 و $y=y_0$ سپس راه حل این است:$\large{y=y_0\cos\omega t}$
کجا ω سرعت زاویه ای،$\omega=\frac{2\pi}{T}$ است با t دوره نوساندر ادامه می توان نشان داد که:$\omega=\sqrt{\frac{\rho Ag}{M}}$در واقع، به دلیل اصطکاک اجتناب ناپذیر، T=U+K به طور کامل رعایت نمی شود و نوسان یک نوسان هارمونیک میرایی خواهد بود.پاسخی که در بالا دادم در واقع فقط تقریباً درسته اگر شعاع خمش دایره‌ای در مقایسه با شعاع لوله U بزرگ باشد. دلیل آن این است که در بخش خم شده، سیال در واقع حول نقطه مرکزی خود می چرخه نه آنطور که قبلاً فرض کردم. لوله U با سیال نوسانی.ابتدا چند مورد را تعریف می کنم
طول کل ستون سیال، $L=y_1+\pi R + y_2$
.جرم کل سیال$، M=ρLA$
.جرم سیال موجود در خم، $m=\rho \pi RA$
.نیروی وارد بر ستون، $F=\rho A(y_1-y_2)= \rho A(2y_1-L+\pi R)$
.ین نیرو اکنون گشتاوری در مرکز خم ایجاد می کنه که باعث می شود سیال در خم شتاب زاویه ای $\alpha=\frac{d\omega}{dt}$ را تجربه کنه، برحسب:$\tau=FR=I \alpha$$I=\frac{mR^2}{2}$جایی که I ممان اینرسی سیال در خم، $I=\frac{mR^2}{2}$ است
، بنابراین:$FR=\frac{\rho \pi A R^3}{2}\alpha,$
با$\alpha=\frac{d\omega}{dt}$
و$\frac{d\omega}{dt}=\frac{1}{R}\frac{dv}{dt}=\frac{1}{R}a$
، سپس:$F=\frac{\rho \pi A R}{2}a$
با این حال، F همچنین مسئول شتاب انتقالی سیالی است که در خم وجود ندارد و دارای جرم است:
M−m,$\rho A(L-\pi R)$از آنجایی که تمام سیالات شتاب یکسانی را تجربه می کنند
، بنابراین می توانیم بنویسم$F=\frac{\rho \pi A R}{2}a+\rho A(L-\pi R)a$
$F=\rho A\frac{2L-\pi R}{2}a$با عبارت F بالاتر به دست می آید، سپس معادله حرکت را بدست میارم
$\rho A\frac{2L-\pi R}{2}a+\rho Ag(2y_1-L+\pi R)=0,$
$\frac{2L-\pi R}{2}a+(2y_1-L+\pi R)g=0$اکنون جایگزین کنید: $u=2y_1-L+\pi R$
، بنابراین:$du=2dy_1$
و $a=\frac{1}{2}\frac{d^2u}{dt^2}$
، بنابراین:$\frac{(2L-\pi R)}{4}\ddot{u}+gu=0,$
که DE نوسانگر هارمونیک است، با راه حل :$u=u_0\cos\omega t,$
جایی که:$\large{\omega=\sqrt{\frac{4g}{2L-\pi R}}}$
منظور از نوسان موج چیست؟نوسان" به معنای واقعی کلمه بیانگر چیزی است که در یک جهت حرکت می کند، سپس به عقب میره فکر می کنم شما موافق هستید که یک آونگ فیزیکی نوسان می کند - به راست، سپس چپ و سپس به راست حرکت می کند.
فیزیک این اصطلاح را با قیاس به معنای کمیتی استفاده می کند که به جلو و عقب «حرکت» می کند (همانطور که می توانید با استفاده از مختصات دکارتی تجسم کنید). بنابراین، در یک موج الکترومغناطیسی، شدت میدان مغناطیسی افزایش می یابد، به صفر می رسد، افزایش می یابد (از طرف دیگر)، کاهش می یابد، و غیره. در یک موج صوتی، فشار افزایش می یابد، کاهش می یابد، افزایش می یابه.
امیدوارم مفید باشد.
تصویر

نمایه کاربر
پرتوزا

عضویت : دوشنبه ۱۴۰۱/۴/۶ - ۱۰:۱۴


پست: 41



Re: سری‌های نوسانی

پست توسط پرتوزا »

rohamavation نوشته شده:
دوشنبه ۱۴۰۲/۱/۱۴ - ۱۱:۰۱
در ریاضی مجموع یک سری نامتناهی به عنوان حد دنباله ای از مجموع جزئی آن تعریف میشه، اگر وجود داشته باشه. دنباله ای از مجموع جزئی سری گراندی 1، 0، 1، 0، ...هست که به وضوح به هیچ عددی نزدیک نمیشن (اگرچه دو نقطه تجمع در 0 و 1 دارد). بنابراین سریال گراندی واگرا است.$\sum_{n=0}^\infty(-1)^n$سری های پاور را در نظر بگیر
$S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n, \qquad x\in [0;1).$.
سری هندسیه:$\sum_{n=0}^{\infty} (-x)^n = \frac{1}{1-(-x)} = \frac{1}{1+x}.$
بنابراین$S(x)=\frac{1}{1+x}, \qquad x\in[0,1).$
S(x) پیوسته و محدود به [0;1) هستش. بنابراین من می توانیم حد را پیدا کنم
$S = \lim_{x\to 1} S(x) = \frac{1}{2}.$
اگر به تعریف اپسیلون همگرایی نگاه کنی این سری همگرا نیستش از نظر ریاضی معتبر نیست. نتیجه در فیزیک خوبه است و در آنجا استفاده میشه.مسئله در اینجا اینه که جمع کردن تعداد متناهی عبارت یک عملیات خوب و کاملاً تعریف شده. اضافه کردن تعداد نامتناهی از جمله لازم نیستش
مرتب کردن مجدد عبارت ها در یک مجموع نامحدود می تونه در واقع مجموع را تغییر بده مجموعه‌ای که ارائه کردی شما به هم نزدیک نمی‌شن- و بنابراین بحث در مورد آن به‌عنوان ارزش برای شروع نادرسته. با این حال، سری‌هایی وجود دارند که همگرا می‌شن و هنوز نمی‌توان آنها را بدون تغییر مقدار بازآرایی کردش: این برای سری‌هایی که به طور مشروط همگرا نامیده می‌شن درسته - یعنی سری‌ها همگرا میشن اما مجموع مقادیر مطلق عبارت‌ها اینطور نیست.
جالبه که برای سری‌های همگرا مشروط، معلوم میشه که می‌تونید شرایط را دوباره مرتب کنید تا هر محدودیتی را که دوست دارید ارائه بدین.
نکته مهمی که جناب پرتوزا باید به خاطر بسپارید اینکه جمع بی‌نهایت عبارت را نمی‌توان تداعی یا جابه‌جایی فرض کرد مگر اینکه بددونید مجموع مقادیر مطلق عبارت‌ها همگرا میشن - ویژگی معروف به عنوان همگرایی مطلق
می دونیم که مجموع یک سری نامتناهی در صورت وجودحد دنباله مجموع جزئی آن تعریف میشن دنباله مجموع جزئی سریال گراندی 1،0،1،0،...، که به وضوح به هیچ عددی نزدیک نمیشن (اگرچه دو نقطه تجمع در 0 داره و 1
بنابراین سریال گراندی واگرا است.از نظر ریمان این نتیجه است که «بسط نامتناهی» مناسب عملیات باینری جمع (با تمام قوانین میدانی که در سؤال خود ذکر کردید) صرفاً مفهوم سری یا سری همگرا نیسش بلکه مفهوم کاملاً همگرا هست سری، به این معنی که شما به هر دو نیاز دارید
$\sum_{n\in\mathbb N} a_n \qquad \mathrm{and} \qquad \sum_{n\in\mathbb N} |a_n|$
سری همگرا باشد موضوع اصلی سری‌هایی که مطلقاً همگرا نیستند مربوط به امکان مرتب کردن مجدد عبارت‌ها است ("بسط" ویژگی جابجایی که می‌خواستید در اوایل اثبات استفاده کنید - در واقع، در مورد سری‌های واگرا تداعی‌گرایی به یک مشکل تبدیل می‌شود. همچنین، و سریال گراندی نمونه رایج اونه). این در مورد هر نوع سری صادق است - واقعی، پیچیده، بردار - اگرچه پرداختن به حالت واقعی ساده تر است.
به طور دقیق تر ریمان نشان داد که:
اگر شرایط یک سری کاملاً همگرا را دوباره ترتیب دهیم، سری جدید همچنان کاملاً همگرا هستند و علاوه بر این به همان مقدار سری اصلی همگرا خواهند شد.در عوض، با توجه به هر عدد واقعی λ (!!)، می توان شرایط یک سری همگرا مشروط (یعنی نه مطلقا) را به گونه ای ترتیب داد که سری جدید به λ همگرا شود.، یا به گونه ای که نوسان می کند یا حتی واگرا می شود.
من برای متقاعد کردن شما از این حقایق مثالی می زنم.
بازآرایی نوسانی یک سری همگرا مشروط. اجازه دهید $\sum_{n=0}^\infty a_n$
یک سری همگرا مشروط باشد: ما یک بازآرایی نوسانی می سازیم. دو عدد واقعی α،β را انتخاب کنید
آزادانه با α<β: تنظیم مجدد ما باید به گونه ای باشد که وقتی دنباله را بررسی می کنید$A_p \doteq \sum_{n=0}^p a_n$
شما همیشه می توانید تعداد نامتناهی از عبارت های زیر β را انتخاب کنید و تعداد نامتناهی از آنها که بالای $\alpha$ قرار دارند
. از نظر اکتشافی، این بدان معنی است که همانطور که p رشد می کند، دنباله Ap بالاتر از $\alpha$ می رود
، سپس به زیر β پایین می آید، و این کار را بی نهایت ادامه می دهد.
اکنون سری $\sum_{n=0}^\infty (a_n)^+$ را معرفی می کنم و $\sum_{n=0}^\infty (a_n)^-$
، به ترتیب مجموعه ای از جمله های مثبت یک و سری اصطلاحات منفی$a_n$
. به عنوان مثال، اگر سری شما سری هارمونیک متناوب است$\sum_{n=1}^\infty b_n = 1- \frac 1 2 + \frac 1 3 - \frac 1 4 + \cdots = \ln 2$جایی که $b_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n}$
، سپس$\sum_{n=1}^\infty (b_n)^+ = 1 + \frac 1 3 + \frac 1 5 + \cdots \qquad \mathrm{and} \qquad \sum_{n=1}^\infty (b_n)^- = - \frac 1 2 - \frac 1 4 - \frac 1 6 - \cdots$واقعیت اساسی که ما در ساخت خود از آن استفاده می کنیم این است
لم اگر$\sum_{n=0}^\infty a_n$ به صورت مشروط همگرا است، سپس $\sum_{n=0}^\infty (a_n)^\pm$
واگرا شدن
(این را برای سری بالا بررسی کنید!)جمله آخر به چه معناست؟ یعنی اگر مثل قبل نشان دهم
$B_p := \sum_{n=0}^p (a_n)^+ \qquad \mathrm{and} \qquad C_p := \sum_{n=0}^p (a_n)^-$
سپس، اگر دو عدد مثبت M را به من بدهید و N، هر چقدر هم که می خواهید بزرگ باشند، من همیشه می توانم دو شاخص $p'$پیدا کنم و $p''$
به طوری که$\forall p > p' \quad B_p > M \qquad \mathrm{and} \qquad \forall p > p'' \quad C_p > N$
حال، می‌توانیم فرض کنیم w.l.o.g.تعریف. بدون از دست دادن کلیت، که اغلب به اختصار WLOG خوانده می شود، عبارتی است که اغلب در ریاضیات استفاده می شود. این اصطلاح برای نشان دادن اینکه برهان زیر بر یک مورد خاص تأکید می کند استفاده می شود، اما بر اعتبار اثبات به طور کلی تأثیر نمی گذارد. که$ a_0<β$
و $a_n≠0$ برای همه n. n_0≐0$ $تماس بگیرید و اولین شاخص $n>n_0 $را در نظر بگیرید
به طوری که $a_n > 0$
: آن را n_1$ $بنامیم . مجموع $a_{n_0} + a_{n_1}$ را در نظر بگیرید: اگر بزرگتر یا مساوی با β باشد
، متوقف می شویم. در غیر این صورت، اجازه دهید $n_2$ اولین شاخص $n>n_1 $باشد
به طوری که $a_n > 0$، مجموع $a_{n_0} + a_{n_1} + a_{n_2}$ را در نظر بگیرید
و آن را با β مقایسه کنید: اگر بزرگتر یا مساوی با β باشد ما متوقف می شویم، در غیر این صورت به اضافه کردن کمک های مثبت به مجموع خود ادامه می دهیم. توجه داشته باشید که این مشارکت های مثبت همیشه وجود خواهند داشت، زیرا $\sum_{n=0}^\infty (a_n)^+$ واگرا می شود؛ به همین دلیل، ما فقط به تعداد محدودی از مراحل نیاز داریم تا به نقطه ای برسیم که مجموع S'
بزرگتر یا مساوی β است. در واقع، هنگامی که ما به آنجا رسیدیم، گزینه m را انتخاب خواهیم کرد
شاخص های $n_0, n_1, \dots, n_m$، که به طور متناهی زیاد هستند و همه متمایز هستند، که هر کدام با اولین m مطابقت دارند
شرایط بازآرایی ما: آنها را $b_0,b_1,\dots,b_m$ بنامیم. (همچنین به جمع S' توجه کنید
از این اولین m Term اولین مورد از بی نهایت عبارت دنباله Ap است
که می توانیم آن در واقع بالای β را انتخاب کنیم!)
حالا دوباره از اولین مقادیر n شروع می کنیم و سعی می کنیم زیر$ \alpha$ بیفتیم
با اضافه کردن اصطلاحات منفی اولین شاخص n را در نظر بگیرید به طوری که$a_n < 0$
: آن را $n_{m+1}$ بنامید
و جمع $S' + a_{n_{p+1}}$ را بررسی کنید. اگر کمتر یا مساوی $\alpha$ باشد
توقف می کنیم در غیر این صورت اولین شاخص $n > n_{p+1}$را انتخاب می کنیم
به طوری که$a_n < 0$
، آن را $n_{p+2}$ می نامیم و جمع $S' + a_{n_{p+1}} + a_{n_{p+2}}$ را بررسی می کنیم
. اگر این کمتر یا مساوی $\alpha$ باشد
ما متوقف می شویم؛ ما به اضافه کردن عبارت های منفی ادامه می دهیم تا به جمع $S'' \leq \alpha$ برسیم
. این را می توانیم در تعداد محدودی از مراحل انجام دهیم زیرا$\sum_{n=0}^\infty (a_n)^-$
نیز واگرا می شود. آخرین شاخصی که برای یافتن $n_q$ نیاز داشتیم را فراخوانی کنیم
و اصطلاحات دنباله را تغییر نام دهید مربوط به $n_{p+1},n_{p+2},\dots,n_q$
به صورت $b_{p+1},b_{p+2},\dots,b_q$
. مانند قبل، عدد $S''$
اولین عنصر از دنباله $A_p$ است
که کاملاً زیر $\alpha$ قرار دارد
.توجه داشته باشید که حتی اگر عباراتی را که قبلاً از دو سری $\sum_{n=0}^\infty (a_n)^\pm$ انتخاب کرده‌ایم
، آنچه باقی می ماند هنوز یک جفت سری واگرا است، بنابراین ممکن است این رویه را به طور نامحدود تکرار کنیم.
و بازآرایی نوسانی شما وجود دارد! ممکن است سعی کنید از روشی برای سری هارمونیک متناوب پیروی کنید که به عنوان مثال انتخاب کنید. $\alpha = -1$
و $\beta = \pi$. (روش های مشابهی برای ایجاد بازآرایی های واگرا یا بازآرایی هایی وجود دارد که به یک عدد واقعی ثابت λ همگرا می شوند..)یک ظرف (ترجیحا دایره ای) پر از آب به طور یک طرفه شتاب می گیرد به طوری که سطح آب در یک طرف از طرف دیگر بالاتر است. چیزی که من می خواهم بدانم این است که اگر کشتی فورا متوقف شود، سطح آب خود را به نقطه تعادل برمی گرداند، اما در انجام این کار انتهای دیگر را به سمت بالا فشار می دهد. اگر آب یک سیال ایده آل است، در این شرایط چه نوع نوسانی رخ می دهد.
می توانم بگویم که شاید عبارت ریاضی این نوسان پیچیده باشد، اما لطفاً اگر درست فکر می کنم به من اطلاع دهید.
من در حال بررسی، یافتن معادله نوسان برای لوله‌های u بی نهایت کوچک (با در نظر گرفتن یک صفحه دو بعدی) و ادغام آن برای بدست آوردن عبارت نهایی هستم.لوله U با مایع.یک لوله U حاوی مایعی با سطح بالاتر در سمت راست است. این را می توان همانطور که پیشنهاد کردید یا ساده تر با اعمال یک خلاء جزئی در سمت راست به دست آورد: فشار (اتمسفر) بیشتر در لوله سمت چپ، سپس سیال را به سمت بالا به سمت راست فشار می دهد، تا اختلاف سطح y.
بدست آمده است.در t=0 خلاء را می شکنیم. اکنون می توان نشان داد که سیستم دارای انرژی پتانسیل U است
:$U=mg\frac{y}{2},$جایی که m
جرم ستون سیال به ارتفاع y است:$m=\rho Ay,$
با ρ چگالی سیال و A سطح مقطع لوله به طوری که:$U=\frac{\rho Agy^2}{2}. $
فعلاً نادیده گرفتن تمام اصطکاک چسبناکی که سیال ممکن است در جریان جریان داشته باشد (ما یک لوله کاملاً صاف را فرض می کنیم) انرژی پتانسیل اکنون به انرژی جنبشی تبدیل می شود.
انرژی جنبشی ستونی از سیال به جرم M (یعنی مجموع جرم سیال در لوله U) به وسیله:$K=\frac{Mv^2}{2},$
جایی که v سرعت ستون سیال و $v=\frac{dy}{dt}$ است.
با فرض عدم تلفات انرژی، در هر زمان انرژی کل سیستم برابر است با:T=U+K
حال اجازه دهید معادله حرکت نیوتنی رابنویسم خوب رهام اینجا. وزن ستون ارتفاع y بر کل ستون نیرو وارد می کنه
$\rho Agy$به طوری که معادله حرکت تبدیل به:,$Ma+\rho Agy=0$
جایی که a شتابی است که ستون سیال تجربه می کند و $a=\frac{d^2y}{dt^2}$
، بنابراین:$M\frac{d^2y}{dt^2}+\rho Agy=0 $این معادله حرکت یک نوسان ساز هارمونیک ساده با فرض t=0 است.
، v=0 و $y=y_0$ سپس راه حل این است:$\large{y=y_0\cos\omega t}$
کجا ω سرعت زاویه ای،$\omega=\frac{2\pi}{T}$ است با t دوره نوساندر ادامه می توان نشان داد که:$\omega=\sqrt{\frac{\rho Ag}{M}}$در واقع، به دلیل اصطکاک اجتناب ناپذیر، T=U+K به طور کامل رعایت نمی شود و نوسان یک نوسان هارمونیک میرایی خواهد بود.پاسخی که در بالا دادم در واقع فقط تقریباً درسته اگر شعاع خمش دایره‌ای در مقایسه با شعاع لوله U بزرگ باشد. دلیل آن این است که در بخش خم شده، سیال در واقع حول نقطه مرکزی خود می چرخه نه آنطور که قبلاً فرض کردم. لوله U با سیال نوسانی.ابتدا چند مورد را تعریف می کنم
طول کل ستون سیال، $L=y_1+\pi R + y_2$
.جرم کل سیال$، M=ρLA$
.جرم سیال موجود در خم، $m=\rho \pi RA$
.نیروی وارد بر ستون، $F=\rho A(y_1-y_2)= \rho A(2y_1-L+\pi R)$
.ین نیرو اکنون گشتاوری در مرکز خم ایجاد می کنه که باعث می شود سیال در خم شتاب زاویه ای $\alpha=\frac{d\omega}{dt}$ را تجربه کنه، برحسب:$\tau=FR=I \alpha$$I=\frac{mR^2}{2}$جایی که I ممان اینرسی سیال در خم، $I=\frac{mR^2}{2}$ است
، بنابراین:$FR=\frac{\rho \pi A R^3}{2}\alpha,$
با$\alpha=\frac{d\omega}{dt}$
و$\frac{d\omega}{dt}=\frac{1}{R}\frac{dv}{dt}=\frac{1}{R}a$
، سپس:$F=\frac{\rho \pi A R}{2}a$
با این حال، F همچنین مسئول شتاب انتقالی سیالی است که در خم وجود ندارد و دارای جرم است:
M−m,$\rho A(L-\pi R)$از آنجایی که تمام سیالات شتاب یکسانی را تجربه می کنند
، بنابراین می توانیم بنویسم$F=\frac{\rho \pi A R}{2}a+\rho A(L-\pi R)a$
$F=\rho A\frac{2L-\pi R}{2}a$با عبارت F بالاتر به دست می آید، سپس معادله حرکت را بدست میارم
$\rho A\frac{2L-\pi R}{2}a+\rho Ag(2y_1-L+\pi R)=0,$
$\frac{2L-\pi R}{2}a+(2y_1-L+\pi R)g=0$اکنون جایگزین کنید: $u=2y_1-L+\pi R$
، بنابراین:$du=2dy_1$
و $a=\frac{1}{2}\frac{d^2u}{dt^2}$
، بنابراین:$\frac{(2L-\pi R)}{4}\ddot{u}+gu=0,$
که DE نوسانگر هارمونیک است، با راه حل :$u=u_0\cos\omega t,$
جایی که:$\large{\omega=\sqrt{\frac{4g}{2L-\pi R}}}$
منظور از نوسان موج چیست؟نوسان" به معنای واقعی کلمه بیانگر چیزی است که در یک جهت حرکت می کند، سپس به عقب میره فکر می کنم شما موافق هستید که یک آونگ فیزیکی نوسان می کند - به راست، سپس چپ و سپس به راست حرکت می کند.
فیزیک این اصطلاح را با قیاس به معنای کمیتی استفاده می کند که به جلو و عقب «حرکت» می کند (همانطور که می توانید با استفاده از مختصات دکارتی تجسم کنید). بنابراین، در یک موج الکترومغناطیسی، شدت میدان مغناطیسی افزایش می یابد، به صفر می رسد، افزایش می یابد (از طرف دیگر)، کاهش می یابد، و غیره. در یک موج صوتی، فشار افزایش می یابد، کاهش می یابد، افزایش می یابه.
امیدوارم مفید باشد.
سپاس. همه‌ی این چیزایی که گفتی رو می‌دونستم و کاملا قبول دارم اما این وسط ابهاماتی هم وجود داره. مثل قضیه‌ی چزارو.

ارسال پست