که به اختصار FEM نامیده می‌شود،. روش المان محدود (FEM) که با نام تحلیل المان محدود (FEA) نیز شناخته می شوداساس روش اجزاء محدود شامل مراحل زیر است:
گسسته‌سازی هندسه (Discretization)
در نظر گرفتن تابعی برای فرم کلی پاسخ در هر المان بر حسب مقادیر گره‌ای (Interpolation Function or Shape Function)
محاسبه ماتریس‌های مشخصه (ماتریس اینرسی خطی (جرم)، ماتریس اینرسی دورانی، ماتریس دمپینگ (میرائی) و ماتریس سفتی) برای هر المان (Element Characteristics Matrix)
مونتاژ المان‌ها برای ساخت ماتریس‌های مشخصه کل سازه (Assemblage)
اعمال شرایط مرزی به دستگاه معادلات ماتریسی (Apply Boundary Conditions)
اعمال شرایط اولیه در مسائل دینامیک (Apply Initial Conditions)
حل دستگاه معادلات جبری (در مسائل استاتیک) یا حل دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی (در مسائل دینامیک)
روشی تحلیلی با تقریب (Analytical Approximate Solution) است. در عمل مسائل محدودی همانند مدل سازی سازه با استفاده از المان‌های خرپا (Truss)، تیر (Beam) و فریم (Frame) را می‌توان با روش اجزاء محدود به صورت تحلیلی حل کرد.
چرا از روش اجزاء (المان) محدود (FEM) استفاده می‌کنیم؟
به طور بسیار خلاصه، در مسائلی با هندسه، رفتار ماده، بارگذاری و شرایط مرزی پیچیده ناچار به استفاده از روش اجزاء محدود هستیم. برای درک بهتر این موضوع روش‌های مختلف حل مسئله به طور خلاصه آورده شده است.
برای حل مسائل سه دسته روش وجود دارد:
روش‌های تحلیلی (Analytical Methods)
روش‌های نیمه تحلیلی (Semi-analytical Methods)
روش‌های عددی (Numerical Methods)
روش‌های تحلیلی (Analytical Methods)
روش‌های تحلیلی (Analytical Methods) دقیق و بسیار کم هزینه هستند، اما صرفا توانایی حل مسائل محدودی آن هم معمولا با در نظر گرفتن فرضیات ساده کننده را دارند. با پیچیده شدن هندسه مسئله، رفتار ماده و شرایط مرزی، این روش‌ها با بن‌بست مواجه خواهند شد.
روش‌های تحلیلی را می‌توان به حل دقیق (Exact Solution) و حل تقریبی (Approximate Solution) تقسیم بندی نمود. از میان روش‌های تقریبی (Approximate Methods) که در روش اجزاء محدود بکار گرفته می‌شود، می‌توان به روش گسسته سازی با سری (Series Discretization Method) که در استخراج توابع شکل (Shape Functions) بکار گرفته می‌شود و روش Lumped Parameters که در استخراج ماتریس اینرسی به روش Lumped Mass بکار گرفته می‌شود.
روش‌های تحلیلی
اغلب روشهایی که در ریاضیات عمومی، معادلات دیفرانسیل و ریاضی مهندسی فرا آموخته‌اید، روشهایی تحلیلی هستند.
روش‌های نیمه تحلیلی (Semi-analytical Methods)
این روش‌ها نسبت به روش‌های تحلیلی محدودیت کمتری دارند اما توانایی حل تمامی مسائل پیچیده را ندارد. روش‌های نیمه تحلیلی (Semi-analytical Methods) مشابه روش‌های تحلیلی هستند با این تفاوت که حل مسئله را با روش‌های تحلیلی پیش می‌برند و زمانی که این روش‌ها با محدودیت مواجه شدند، تقریب یا روش‌های عددی وارد مسئله می‌شوند.
روش‌های عددی (Numerical Methods)
هرچند که روش‌های عددی (Numerical Methods) قدرتمندترین روش برای حل مسائل پیچیده و دشوار هستند، اما هزینه محاسبه بالایی را دارند. روش‌های عددی تنوع بسیار بالایی دارند، بنابراین صرفا تعدادی از این روش‌ها که اغلب دانشجویان با آنها آشنا هستند را لیست کرده‌ایم.
مشتق گیری عددی (Numerical Differentiation)
انتگرال گیری عددی (Numerical Integration)
روش تفاضل محدود (Finite Difference Method)
روش اجزاء محدود (Finite Element Method)
روش حجم محدود (Finite Volume Method)
بنابراین از آنجایی که روش‌های تحلیلی (Analytical Methods) و روش‌های نیمه تحلیلی (Semi-analytical Methods) قادر به حل مسائلی با هندسه، ماده و شرایط مرزی پیچیده نیستند، به روش‌های عددی روی می‌آوریم. از میان روش‌های عددی بیان شده روش اجزاء محدود (Finite Element Method) روشی بسیار قدرتمند برای حل مسائل مکانیک جامدات (Solid Mechanics)، انتقال حرارت (Heat Transfer)، الکترومغناطیس (Electromagnetic) و حتی مکانیک سیالات (Fluid Mechanics) است.
مراحل روش اجزاء (المان) محدود (FEM)
روش اجزاء محدود بر اساس گسسته‌سازی هندسه مسئله به ناحیه‌هایی کوچک به نام المان (Element)، استوار است. سپس فرم کلی پاسخ متغیر میدانی (Field Variable) در هر المان بر حسب مقادیر گره‌ای (Nodal Variables) درون‌یابی (Interpolation) می‌شود. برای مثال متغیر میدانی بسیاری از مسائل مکانیک جامدات، میدان جابجایی {U} است. مقادیر گره‌ای با {a} و ماتریس توابع شکل (Shape Function) با [N] نشان داده شده است.
${U(x,y,x,t)}=[N(x,y,z)]{a(t)}$
در ادامه با استفاده از یکی از رویکردهای موجود (Direct Approach, Variational Approach, Weighted Residual Approach)، معادلات ماترسی حاکم بر رفتار المان استخراج می‌شود. برای مثال، این معادلات در مسائل استاتیک سازه‌ای (Structural) شامل ماتریس سفتی (Stiffness Matrix) و بردار نیرو (Force Vector) است.
سپس ماتریس سفتی و بردار نیروی تک تک المان‌ها مونتاژ می‌شود تا دستگاه معادلات حاکم بر کل هندسه مسئله حاصل شود. در گام بعدی، شرایط مرزی و در صورت نیاز (در مسائل دینامیک) شرایط اولیه نیز اعمال می‌شود.
بنابراین در مسائل استاتیک دستگاه معادلات جبری حل می‌شود و در مسائل دینامیک، دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی از نوع مسئله مقدار اولیه (Initail Value Problem) با استفاده از تکینیک‌های انتگرال‌گیری عددی حل می‌شوند.
1- گسسته‌سازی هندسه (Discretization)
ابتکار روش اجزاء محدود، گسسته‌سازی هندسه اصلی مسئله (که در بیشتر موارد هندسه‌ای پیچیده است) به اجزایی کوچک به نام المان است. المان ها در گوشه‌های خود توسط گره‌ها (Nodes) به هم متصل شده‌اند. تبدیل هندسه پیوسته مسئله به مجموعه‌ای المان‌ها و گره‌ها را مش‌بندی (Meshing) می‌گویند.
روش اجزاء محدود – گسسته‌سازی هندسه
2- در نظر گرفتن فرم کلی پاسخ در هر المان بر حسب مقادیر گره‌ای (Interpolation Function or Shape Function)
خب پس از گسسته‌سازی هندسه مسئله، حال نوبت به Interpolation می‌رسد. از آنجایی که در حالت کلی (هندسه، بار و شرایط مرزی پیچیده) پاسخ تحلیلی و دقیق موجود در هر المان را نیز نمی‌توان محاسبه کرد به استفاده از روش‌های تحلیلی و تقریبی روی می‌آوریم. در نخستین گام باید فرم کلی پاسخ در هر المان را بر حسب مقادیر گره‌ای درون یابی کنیم. سپس با نوشتن متغیر میدانی (مثلا u(x,y,z)) به صورت حاصل ضرب توابع شکل در مقادیر گره‌ای روند حل مسئله را ادامه می‌دهیم.
${U(x,y,x,t)}=[N(x,y,z)]{a(t)}$
روش اجزاء محدود – در نظر گرفتن فرم کلی پاسخ در هر المان بر حسب مقادیر گره‌ای (Interpolation Function or Shape Function)
3- محاسبه ماتریس‌های مشخصه برای هر المان (Element Characteristics Matrix)
برای محاسبه ماتریس‌های مشخصه (ماتریس اینرسی، ماتریس دمپینگ، ماتریس سفتی، بردار نیرو) هر المان سه رویکرد وجود دارد:
رویکرد مستقیم (Direct Approach)
همان بکاگیری روابط تعادل (Balance Law) مانند معادله پیوستگی جرم (Continuity)، معادله ممنتوم خطی (Linear Momentum)، معادله ممنتوم زاویه‌ای (Angular Momentum) و معادله انرژی است.
در بیشتر مسائل مکانیک جامدات مانند مسئله خرپا، تیر، فریم و … معادله بالانس ممنتوم خطی (Linear Momentum) یا همان قانون دوم نیوتن کافی است.
رویکرد حساب تغییرات (Variational Approach)
این روش بر مبنای اکسترمم کردن فانکشنال (Functional) حاکم بر مسئله است. که با اعمال وریشن (Variation) حاصل می‌شود. این روش مختص مسائلی است که دارای فانکشنال باشند و بتوان مسئله را به صورت variation فرموله کرد. در مسائل مکانیک جامدات، لاگرانژین سیستم همان فانکشنال حاکم بر مسئله است.
رویکرد باقی‌مانده وزنی (Weighted Residual Approach)
این روش بر مبنای به کارگیری معادلات دیفرانسل حاکم بر مسئله است و جامع‌ترین روش برای حل مسائل المان محدود است و نیازی به استخراج فانکشنال (Functional) حاکم بر مسئله و فرموله کردن مسئله به صورت variational نیست.
4- مونتاژ المان‌ها برای ساخت ماتریس‌های مشخصه کل سازه (Assemblage)
پس از حصول دستگاه معادلات (جبری/دیفرانسیل) حاکم بر هر المان، باید تمامی المان به نحوی مونتاژ شوند که دستگاه معادلات (جبری/دیفرانسیل) حاکم بر کل سیستم بدست آید. فرآیند مونتاژ ماتریس‌های اینرسی، دمپینگ و سفتی هر المان بدین ترتیب است که سفتی هر المان به ماتریس‌های Global تبدیل شده سپس تمامی این ماتریس‌ها با یکدیگر جمع شده تا ماتریس‌های اینرسی، دمپینگ و سفتی کل سیستم حاصل گردد.
5- اعمال شرایط مرزی به دستگاه معادلات (Apply Boundary Conditions)
دستگاه معادلات استخراج شده Singular است و باید شرایط مرزی حاکم بر مسئله وارد شود تا معادلات قابل حل شود.
6- اعمال شرایط اولیه در مسائل دینامیک (Apply Initial Conditions)
7- حل دستگاه معادلات جبری (در مسائل استاتیک) یا حل دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی (در مسائل دینامیک)
روش نیوتن رافسون (Newton—Raphson) یکی از روش‌های کارآمد برای حل معادلات جبری غیرخطی است و روش‌های انتگرال گیری عددی Runge-Kutta و Newmark-β method برای حل معادلات دیفرانسل معمولی (ODE) مناسب است.
فهم روش اجزاء (المان) محدود (FEM)؛ تهیه شده توسط The Efficient Engineer
توصیه می‌کنم حتما تماشا کنید.
فهم روش اجزاء محدود توسط The Efficient Engineer
نرم افزارهای روش اجزاء (المان) محدود (FEM)
با توجه به پیشرفت روز افزون علم مهندسی و کاربردهای مختلف آن، نیاز به ابزارهای طراحی بیش از پیش احساس می‌شود. مهندسان در صنایع مختلف قبل از تولید محصول نهایی، به کمک نرم‌افزارهای طراحی و شبیه سازی از عملکرد محصول خود اطمینان حاصل می‌کنند. این شبیه سازی‌ها علاوه بر کاهش هزینه‌های مربوط به آزمایش، به طراحان در راستای بهینه سازی و بهبود محصولات کمک می‌کنند.
نرم افزار آباکوس Abaqus
نرم افزار آباکوس شامل پنج محصول اصلی می‌باشد که هرکدام برای کاربرد خاص خود مورد استفاده قرار می‌گیرند.
Abaqus/CAE ( Complete Abaqus Environment) : به طور کلی این محیط گرافیکی برای پیش پردازش و پس پردازش شبیه‌سازی مورد استفاده قرار می‌گیرد. با استفاده از محیط CAE می‌توان مدلسازی، تعریف خواص ماده و تعیین شرایط مرزی را انجام داد. همچنین با استفاده از ابزارهای قدرتمند این محیط می‌توان هندسه را مش‌بندی کرد و پس از آماده سازی مدل برای حلگر ، فرآیند حل را توسط آن نظارت کرد. در نهایت با استفاده از زیرمجموعه Viewer در این محیط، کاربر توانایی پردازش پس از حل و مشاهده نتایج شبیه سازی را دارد.
Abaqus/ Standard: این محصول با هدف تحلیل و آنالیز انواع مسائل از جمله استاتیک، دینامیک، الکتریکی و … منتشر شده است. قابل ذکر است این محیط دستگاه معادلات را به صورت ضمنی در هر مرحله حل می‌کند و یکی از ابزارهای قدرتمند آباکوس برای حل معادلات و رسیدن به نتایج شبیه‌سازی می‌باشد. این حلگر توانایی انجام تحلیل‌های خطی و غیرخطی را دارد.
Abaqus/Explicit: حلگر Explicit به طور خاص برای آنالیز مسائل غیر خطی گذرا و دینامیکی طراحی شده است. این محیط با استفاده از روش حل غیرضمنی توانایی شبیه سازی اینگونه مدل‌ها را با دقت بالا دارد. به طور مثال می‌توان مسائل ضربه، ، انفجار، فرمدهی و … را در این محیط تحلیل کرد. قابلیت حل با استفاده از انتگرال گیری صریح، این حلگر را قادر کرده است تا شبیه‌سازی مسائلی که محیط Standard توانایی و یا دقت کافی در آن را ندارد انجام دهد.
این 5 محیط هسته‌های اصلی نرم‌افزار آباکوس می‌باشند و اکثر مسائل به کمک آنها قابل تحلیل است. اگرچه زیرمجموعه‌های دیگری در هر یک از این محیط‌ها وجود دارد که به کمک آن می‌توان شبیه سازی‌های خاص را انجام داد. به عنوان مثال از محیط Aqua که زیرمجموعه دو بخش Standard و Explicit می‌باشد، برای شبیه سازی سازه‌های دریایی مانند سکوهای نفتی استفاده می‌شود.
نرم افزار انسیس‌ورکبنچ ANSYS WorkBench
نرم افزار کامسول COMSOL Multiphysics
نرم افزار مارک MSC Marc
تقسیم محدوده ی حل به اجزای ساده تر چندین مزیت داره
بیان دقیق هندسه‌های پیچیده
قابلیت درنظرگرفتن مواد با ویژگی‌های متفاوت
بیان ساده‌ی جواب کلی مسئله
قابلیت در نظر گرفتن ویژگی‌های محلی جواب
اساس کار این روش حذف کامل معادلات دیفرانسیل یا ساده‌سازی آنها به معادلات دیفرانسیل معمولی، که با روش‌های عددی مانند اویلر حل می‌شوند، می‌باشد. در حل معادلات دیفرانسیل جزئی مسئله مهم این است که به معادله ساده‌ای که از نظر عددی پایداراست -به این معنا که خطا در داده‌های اولیه و در حین حل به حدی نباشد که به نتایج نامفهوم منتهی شود- برسیم. روشهایی با مزایا و معایب مختلف برای این امر وجود دارد، که روش اجزاء محدود یکی از بهترین آنهاست. . تقسیم ناحیه به نواحی کوچکتر دارای مزایای زیادی است از جمله: نمایش دقیق هندسه پیچیده، گنجایش ویژگی‌های متفاوت جسم، درک ویژگی‌های موضعی جسم.
FEA (تحلیل اجزای محدود) یک روش عددی برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی است، مستقل از آنچه معادلات مدل سازی می کنند.
درست است که FEA محبوب ترین روش برای حل مسائل مکانیک محاسباتی است.
چندین رویکرد مختلف برای حل مسائل CFD استفاده می شود، یکی از آنها FEA است
بسیاری از معادلات دیفرانسیل جزئی را می توان به عنوان "بیضوی"، "پارابولیک"، یا "هذلولی" طبقه بندی کرد که بستگی به نحوه انتشار
دینامیک سیالات محاسباتی (CFD) به استفاده از تکنیک های عددی برای حل مسائل دینامیکی سیالات اشاره دارد. وقتی می‌گویم «تکنیک‌های عددی»، به طیف بسیار گسترده‌ای از تکنیک‌ها اشاره می‌کنم، از جمله، اما نه محدود به، روش‌های تفاضل محدود، روش‌های اجزای محدود، روش‌های حجم محدود، برازش چند جمله‌ای، روش‌های طیفی، روش‌های عناصر مرزی و غیره. . حتی اگر فلسفه اصلی یکسان است، یعنی گسسته کردن یک سیستم با درجات آزادی نامتناهی به یک سیستم محدود، اینها همه تکنیک‌های متفاوتی با مبانی ریاضی متفاوت هستند.
ترتیب دقت FDM به بالاترین مرتبه اصطلاحات بسط سری تیلور که حذف شده اند بستگی دارد. FDM بصری ترین این روش ها برای درک است. طرح‌های فشرده‌ای مانند طرح‌های Pade وجود دارد که به فرد امکان می‌دهد تا دقت تفاوت‌های محدود را برای همان شابلون عددی بهبود بخشد. روش FVM و FEM از سوی دیگر شامل گسسته سازی فرم انتگرال PDE است. روش‌های طیفی شامل گسسته‌سازی شبکه به مجموعه‌ای محدود از نقاط و نمایش راه‌حل به‌عنوان ترکیبی خطی از توابع تناوبی (به عنوان مثال، سری فوریه) است. در CFD، PDEهای حاکم البته معادلات ناویر-استوکس (معادلات ناویر-استوکس) هستند.
.انواع روش‌های المان محدود
«روش المان کاربردی» (Applied Element Method) یا «AEM»
AEM، یک روش تحلیل عددی برای پیش‌بینی رفتار سازه‌های پیوسته و ناپیوسته است. این روش برای ارزیابی آسیب‌پذیری سازه‌ها (خرابي پیش‌رونده، تحلیل انفجار، تحلیل ضربه و تحلیل لرزه‌ای)، مهندسی قانونی، طراحی مبتنی بر عملکرد، تحلیل تخریب، تحلیل عملکرد شیشه و ایجاد جلوه‌های بصری به کار میرود.
«روش المان محدود تعمیم یافته» (Generalized Finite Element Method) یا «GFEM»
GFEM، به منظور بهبود تخمین‌های محلی در مدل‌های المان محدود توسعه یافته است. استفاده از این روش مسائلی با شرایط مرزی پیچیده، مقیاس میکرو و لایه‌های مرزی پیشنهاد می‌شود.
«روش المان محدود ترکیبی» (Mixed Finite Element Method)
این روش با عنوان «Hybrid Finite Element Method» نیز می‌گویند. در این روش، هنگام گسسته سازی معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی، چندین متغیر مستقل به عنوان متغیرهای گره‌ای به مسئله افزوده می‌شوند. این روش برای مسائلی مناسب است که از نظر عددی «بدطرح» (Ill-Posed) هستند. به عنوان مثال، تعیین میدان تنش و کرنش در یک جسم تقریباً تراکم ناپذیر، یک مسئله بدطرح به حساب می‌آید.
«نسخه hp روش المان محدود» (hp-version of Finite Element Method) یا «hp-FEM»
hp-FEM، فرم کلی روش المان محدود استاندارد است که برای حل معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی از رویکرد تخمین چندجمله‌ای‌های تکه‌ای استفاده می‌کند. که در صورت تقسیم‌بندی المان‌ها به بخش‌های کوچکتر (نسخه h) و افزایش مرتبه چندجمله‌ای آنها (نسخه p)، سرعت همگرایی روش المان محدود به صورت نمایی افزایش می‌یابد. این ویژگی باعث جذابیت بیشتر hp-FEM نسبت به دیگر روش‌های المان محدود می‌شود. با این وجود، با توجه به عواملی نظیر زمان مورد نیاز برای تحلیل، درک مبانی ریاضی، اجرای تحلیل و غیره، استفاده از این روش نسبت به روش استاندارد چالش‌برانگیزتر است.
«روش المان محدود توسعه یافته» (Extended Finite Element Method) یا «XFEM»
XFEM، یک روش عددی بر پایه GFEM و «روش تقسیم واحد» (Partition of Unity Method) یا اصطلاحاً «PUM» است. این روش به منظور حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، با افزودن توابع ناپیوسته به فضای حل مسئله روش المان محدود قدیمی را توسعه می‌دهد. به این ترتیب، امکان بهره‌گیری از ویژگی‌های مرتبط با ناپیوستگی‌ها، تکینگی‌های جبری، لایه‌های مرزی، مش‌بندی معمولی ریزساختارها و غیره فراهم می‌شود. نتایج به دست آمده از XFEM، بهبود دقت و نرخ همگرایی را نشان می‌دهند. به علاوه، به دلیل عدم نیاز به مش‌بندی مجدد سطوح ناپیوستگی‌ها در این روش، زمان محاسباتی و خطاهای رایج در روش‌های مرسوم المان محدود کاهش می‌یابد.
نرم‌افزارهایی نظیر «xfem++ 3» ،«GetFEM++ 2» و «++openxfem»، از روش XFEM برای تحلیل مسائل مختلف استفاده می‌کنند. این روش در کدهایی نظیر «ASTER» ،«Morfeo» ،«Radioss» و نرم‌افزارهای معروف «آباکوس» (Abaqus) و «انسیس» (ANSYS) نیز به کار گرفته می‌شود.
«روش المان محدود مرزی مقیاس شده» (Scaled Boundary Finite Element Method) یا «SBFEM»
SBFEM، این روش مفیدترین مشارکت صورت گرفته در حوزه تحلیل عددی مسائل مربوط به مکانیک شکستگی به حساب می‌آید. SBFEM از نقاط قوت فرآیندها و مبانی ریاضی روش المان محدود و همچنین فرآیند گسسته سازی روش المان مرزی بهره می‌برد.
«روش المان محدود هموار» (Smoothed Finite Element Method) یا «S-FEM»
روش‌های المان محدود هموار، دسته‌ای از الگوریتم‌های شبیه‌سازی عددی برای شبیه‌سازی پدیده‌های فیزیکی به شمار می‌روند. این روش‌ها از ترکیب روش‌های بدون مش با روش المان محدود توسعه یافته‌اند. S-FEM برای مسائلی مانند مکانیک سازه‌های جامد و پیزو الکتریک، مکانیک شکست و رشد ترک، مسائل غیرخطی، تحلیل‌های تصادفی، انتقال حرارت، آکوستیک سازه‌ها، مدلسازی پلاستیسیته بلورها و غیره کاربرد دارد.
«روش المان طیفی» (Spectral element method) یا «SEM»
روش‌های المان طیفی، پیچیدگی هندسی المان‌های محدود و دقت بالای روش‌های طیفی را با هم ترکیب می‌کنند. SEM برای تشخیص عیب و نقص‌های کوچک سازه کاربرد دارد. نحوه مدلسازی هندسه‌های پیچیده در این روش نسبت به روش المان محدود دشوارتر است.
«روش‌های بدون مش» (Meshfree Methods)
در حوزه تحلیل عددی، روش‌های بدون مش به روشهایی اطلاق می‌شود که در آنها نیازی به ایجاد ارتباط بین تمام گره‌های مدل وجود ندارد. با این وجود، فعل و انفعالات بین هر گره با گره‌های اطراف آن در نظر گرفته می‌شود. به این ترتیب، به جای اختصاص خواصی نظیر جرم یا انرژی جنبشی به المان‌های مش، هر یک از این خواص برای گره‌های منفرد تخصیص می‌یابند. روش‌های بدون مش می‌توانند برخی مسائل دشوار را با صرف زمان محاسباتی و برنامه‌نویسی بیشتر شبیه‌سازی کنند. این روش‌ها برای شبیه‌سازی هندسه‌های پیچیده، ایجاد ترک، خمش، رفتار غیرخطی، ناپیوستگی‌ها و تکینگی مفید هستند.
«روش‌های گالرکین ناپیوسته» (Discontinuous Galerkin Methods)
در ریاضیات کاربردی، روش‌های گالرکین ناپیوسته گروهی از روش‌های عددی برای حل معادلات دیفرانسیل به حساب می‌آیند. این روش‌ها، ویژگی‌های رویکرد المان محدود و حجم محدود را با هم ترکیب می‌کنند. در مسائل حوزه‌های الکترودینامیک، مکانیک سیالات و فیزیک پلاسما، تمایل زیادی به استفاده از روش‌های گالرکین ناپیوسته وجود دارد.
«تحلیل حدی المان محدود» (Finite Element Limit Analysis) یا «FELA»
در FELA، از روش‌های بهینه‌سازی برای محاسبه مستقیم کران‌های بالا و پایین بار شکست پلاستیک برای یک سیستم مکانیکی استفاده می‌شود. کاربرد اصلی این روش در حوزه مکانیک خاک و به منظور تعیین بارهای مورد نیاز برای ایجاد شکست در مسائل ژئوتکنیکی (تحلیل پایداری شیب) است. نرم‌افزارهای «OptumG2» و «OptumG3» از مبانی FELA برای تحلیل مسائل ژئوتکنیکی بهره می‌برند.
«روش شبکه کشیده» (Stretched Grid Method) یا (SGM)
روش شبکه کشیده، یک روش عددی برای یافتن راه حل‌های تقریبی در مسائل مهندسی و ریاضی است. هواشناسان از این روش برای پیش‌بینی آب و هوا استفاده می‌کنند. در علوم مهندسی نیز از SGM برای طراحی سقف‌ها و دیگر سازه‌های کششی استفاده می‌شود.
«تکرار لوبیگناک» (Loubignac iteration)
در ریاضیات کاربردی، تکرار لوبیگناک یک روش تکراری در روش‌های المان حدی است.
مقایسه روش المان محدود با روش تفاضل محدود
«روش تفاضل محدود» (Finite Difference Method) یا اصطلاحاً «FDM»، یکی از روش‌های جایگزین FEM برای تخمین معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی است. موارد زیر، تفاوت‌ها و شباهت‌های بین FEM و FDM را بیان می‌کنند:
جذاب‌ترین ویژگی FEM، مدلسازی نسبتاً راحت هندسه و شرایط مرزی پیچیده است. المان‌های FDM باید به صورت مستطیلی شکل باشند در صورتی که تغییرات هندسه مدل در FEM از نظر تئوری نیز ساده است.
معمولاً از FDM برای هندسه‌های نامنظم استفاده نمی‌شود. در اغلب موارد، مدل‌های بلوکی یا مستطیلی با استفاده از این روش مورد تحلیل قرار می‌گیرند.
جذاب‌ترین ویژگی FDM، اجرای آسان تحلیل است.
در برخی از موارد می‌توان FDM را یک حالت خاص از FEM در نظر گرفت. در معادله پوآسن، اگر مسئله با استفاده از مش‌های مستطیلی مدلسازی و هر مستطیل به دو مثلث تقسیم شود، FEM مرتبه اول با FDM یکسان خواهد بود.
دلایل زیادی برای منطقی‌تر بودن مبانی ریاضی FEM وجود دارد. به عنوان مثال، کیفیت تخمین مقادیر بین نقاط گره‌ای در FDM پایین‌تر از FEM است.
مقدار تخمین‌هایی که با استفاده FEM به دست می‌آیند، در اغلب موارد بیشتر از مقدار به دست آمده از FDM هستند. البته این موضوع وابستگی زیادی به نوع مسئله دارد و در برخی از موارد نتایج عکس نیز مشاهده شده است.
در مکانیک سازه‌ها، به منظور اجرای انواع مختلف تحلیل‌ها (مانند تحلیل تغییر شکل و تنش‌های موجود در اجسام صلب یا رفتار دینامیکی سازه)، معمولاً FEM به عنوان انتخاب اصلی در نظر گرفته می‌شود. در حالی که برای مسائل مربوط به «دینامیک سیالات محاسباتی» (Computational Fluid Dynamics) یا اصطلاحاً «CFD»، روشهایی نظیر FDM یا «روش حجم محدود» (Finite Volume Method) یا به اختصار «FVM» مورد استفاده قرار می‌گیرد. معمولاً در مسائل حوزه CFD، یک مسئله به تعداد بسیار زیادی سلول یا نقطه گره‌ای (Gridpoint) تقسیم می‌شود. از این‌رو، با توجه به زمان و تجهیزات احتمالی مورد نیاز، برای تخمین ویژگی‌های درون هر سلول، استفاده از روش‌های ساده‌تر به همراه الگوریتم‌هایی با مرتبه پایین‌تر در اولویت قرار می‌گیرد. این موضوع، برای مسائلی با «جریان خارجی» (External Flow) مانند جریان هوا در اطراف یک خودرو یا هواپیما و شبیه‌سازی وضعیت آب و هوا نیز صادق است.
کاربرد روش المان محدود
در FEM، امکان نمایش دقیق محل خمش یا پیچش سازه و تشخیص نحوه توزیع تنش‌ها و جابجایی‌ها فراهم می‌شود. نرم‌افزارهای FEM گزینه‌های زیادی را برای کنترل پیچیدگی مدلسازی و تحلیل یک سیستم در اختیار طراحان قرار می‌دهند. به این ترتیب می‌توان سطح دقت مورد نیاز و زمان انجام محاسبات برای اکثر مسائل مهندسی را مدیریت کرد. روش المان محدود، ساخت، اصلاح و بهینه‌سازی طراحی‌ها را پیش از شروع تولید امکان‌پذیر می‌کند.
استفاده از ابزارهای قدرتمند FEM، استانداردهای طراحی‌های مهندسی و روش‌های به کار گرفته شده در فرآیند این طراحی‌ها را به طور
آیا راه حل های المان میله خطی همیشه دقیق هستند و چه زمانی در عمل استفاده می شوند؟در ارزیابی نتایج یک مدل تیر المان محدود (FE)، متوجه شدم که عناصر تیر FE را آنطور که باید درک نمی‌کنم.
به طور خاص، برای میله دوبعدی با نوک لود که در زیر نشان داده شده است:
راه حل تحلیلی ارائه شده توسط نظریه تیر اویلر-برنولی برای واجد شرایط بودن نتایج FE من استفاده می شود، که در آن:
$y(x) = -\frac{F}{6EI_{zz}}(3Lx^{2}-x^{3}) \; \rightarrow \; \therefore y(x=L) = -\frac{FL^{3}}{3EI_{zz}}$
$\sigma_{xx} = \pm \frac{M(x)c}{I_{zz}}$
$\tau_{xy} = \frac{F}{2I_{zz}}(\frac{h^{2}}{2I_{zz}}-y^{2}) \; \rightarrow \; \therefore \tau_{xy}(y) = \frac{3}{2}\frac{V}{A}$
حداکثر جابجایی ~7٪ کمتر از روش تحلیلی است!
حداکثر تنش خمشی 50% کمتر از روش تحلیلی است!
من فکر کردم که ماتریس سختی برای یک عنصر تیر خطی از معادلات تیر دیفرانسیل فرموله شده است و آن را به یک راه حل دقیق برای تیری که تحت بارهای نقطه ای قرار می گیرد تبدیل می کند. همانطور که من درک می کنم، عناصر مرتبه بالاتر برای بارگذاری توزیع شده، تیرهای منحنی و غیره مورد نیاز هستند.
من می دانم که گرادیان تنش را نمی توان بدون عناصر اضافی دریافت کرد، اما آیا می توان تنش را در طول تیر از معادلات تیر و مقادیر درون یابی شده (تابع شکل) محاسبه کرد؟ با این حال، آیا جابجایی گره ها برای یک عنصر دقیق هستند؟
آیا راه حل های المان تیر خطی همیشه دقیق هستند و چه زمانی در عمل استفاده می شوند؟
این عناصر از یک رابطه الاستیک بین نیروهای برشی عرضی و کرنش های برشی عرضی پشتیبانی می کنند. کاربران ممکن است سختی های برشی عرضی را با استفاده از ثابت های واقعی مشخص کنند.
اگر مولد ورودی شما به شما اجازه می دهد بخش را به عنوان یک شکل هندسی (مثلا مستطیل) تعریف کنید، فاکتورهای مربوطه احتمالاً به طور خودکار محاسبه می شوند. احتمالاً راهی برای غیرفعال کردن شرایط اضافی وجود خواهد داشت، اگر عمیق‌تر در اسناد جستجو کنید.
اما، شرایط اضافی باید میله را انعطاف‌پذیرتر کند، یعنی انحراف نوک مدل FE باید بزرگ‌تر از مقدار تئوری میله اویلر باشد، نه آنطور که OP گزارش کرد کوچکتر باشد. شاید تفاوت های دیگری در فرمول وجود داشته باشد یا OP به جای خطی آنالیز غیر خطی انجام داده یا هر چیز دیگری ....
در مورد "اختلاف 50٪ بین حداکثر تنش خمشی"، نمودار OP به نظر می رسد تنش ثابت را در طول تیر نشان می دهد که آشکارا اشتباه است. این ممکن است مصنوع از روشی باشد که ANSYS خروجی را ارائه می دهد و برنامه ترسیم آن را نمایش می دهد. تنش در نقطه میانی در طول تیر باید 50 درصد تنش انتهای ثابت باشد. قبل از اینکه واقعاً آنها را باور کنید، همیشه باید مراقب باشید که دقیقاً درک کنید که "تصاویر خروجی رنگی و/یا متحرک زیبا" شما بر اساس چه داده هایی هستند!
شما باید درک کنید که گسسته سازی با عناصر خطی و درجه دوم در حد همگرا هستند. دقتی که به دست می آورید به ترتیب و اندازه عنصر بستگی دارد. عناصر بیشتر باید منجر به دقت بیشتر شود. شما هرگز به نتایج تحلیلی "دقیق" نخواهید رسید. تنها راه برای تشخیص اینکه آیا راه حل شما منطقی است یا خیر این است که به پالایش مش خود ادامه دهید و تأیید کنید که خطا همچنان کوچکتر می شود (مراقب باشید و مطمئن شوید که مش را بیش از حد اصلاح نمی کنید ... این می تواند منجر به از دست دادن شبکه شود. دقت به دلیل تفریق عددی مقادیر تقریباً مساوی از مونتاژ یک سیستم فم از نقاط مش که خیلی نزدیک به یکدیگر هستند).
