x(t) را دریافت و خروجی y(t) را تولید می‌کند، زمانی که ورودی x(t+σ) به آن اعمال شود، خروجی شیفت یافته y(t+σ) را تولید می‌کند.بنابراین، سیستم‌های خطی تغییرناپذیر با زمان توسط یک تابع یکتا در حوزه زمان قابل توصیف هستند که به آن پاسخ ضربه سیگنال می‌گویند. برای یک ورودی تصادفی، خروجی یک سیستم برابر با کانولوشن (Convolution) سیگنال ورودی با پاسخ ضربه سیستم است.
علاوه بر خطی بودن و تغییرناپذیری با زمان، سیستم‌های LTI سیستم‌هایی دارای حافظه، معکوس‌پذیر، حقیقی، پایدار و علّی (Casual) هستند. علّی بودن به این معنی است که این سیستم‌ها فقط به وقایع لحظه حال و گذشته بستگی دارند و پایداری به این معنی است که برای ورودی محدود، خروجی محدود تولید می‌کنند. به دلیل مشخصه‌های سیستم‌های خطی تغییرناپذیر با زمان، شکل عمومی یک سیستم LTI با خروجی $y[n]$ و ورودی x[n] در زمان n و ثابت‌های $c_K$و$d_j$ به صورت زیر تعریف می‌شود:$y[n] = c_0y[n-1] + c_1y[n-2] + … + c_{k-1}y[n-k] + d_0x[n] + d_1x[n-1] + … + d_jx[n-j]$
وضعیت این سیستم به مقادیر k خروجی قبلی و j ورودی قبلی وابسته است. به دلیل مشخصه خطی بودن، خروجی در زمان n یک ترکیب خطی از خروجی‌های قبلی، ورودی‌های قبلی و ورودی زمان حال است.اگر یک رشته از سیستم‌های خطی تغییرناپذیر با زمان به صورت پشت سر هم به یکدیگر متصل شوند، خروجی سیستم جدید به مرتبه این اتصال بستگی ندارد. این مشخصه از ویژگی شرکت‌پذیری (Associative) و مشخصه تعویض‌پذیری (Commutative) ناشی می‌شود.می‌توان شکل عمومی یک سیستم خطی تغییرناپذیر با زمان را به صورت معادله عملگر بازنویسی و سپس با تغییراتی جزئی آن را به یک معادله مفیدتر تبدیل کرد:$\begin{aligned} Y &= c_0\mathcal{R}Y + c_1\mathcal{R}^2Y + \cdots + c_{k-1}\mathcal{R}^{k}Y + d_0X + d_1\mathcal{R}X + \cdots + d_j\mathcal{R}^jX \\ &= Y\big(c_0\mathcal{R} + c_1\mathcal{R}^2 + \cdots + c_{k-1}\mathcal{R}^{k}\big) + X\big(d_0 + d_1\mathcal{R} + \cdots + d_j\mathcal{R}^j\big) \end{aligned}$که با معادله زیر یکسان است:$Y\big(1 – c_0\mathcal{R} – c_1\mathcal{R}^2 – … – c_{k-1}\mathcal{R}^{k}\big) = X\big(d_0 + d_1\mathcal{R} + \cdots + d_j\mathcal{R}^j\big)$
سپس می‌توان یک تقسیم انجام داد تا معادله‌ای به دست آید که حاصل تقسیم خروجی بر ورودی را توصیف کند:$\frac{Y}{X} = \frac{d_0 + d_1\mathcal{R} + \cdots + d_j\mathcal{R}^j}{1 – c_0\mathcal{R} – c_1\mathcal{R}^2 – … – c_{k-1}\mathcal{R}^{k}}$معادله بالا، تابع سیستم مربوط به سیستم خطی تغییرناپذیر با زمان است و معمولا به صورت یک چند جمله‌ایی به صورت زیر نوشته می‌شود:$\frac{Y}{X} = \frac{b_0 + b_1\mathcal{R} + b_2\mathcal{R}^2 + \cdots}{a_0 + a_1\mathcal{R} + a_2\mathcal{R}^2 + \cdots}$
توجه کنید که صورت و مخرج چند جمله‌ای از درجه R (متغیر تاخیر) هستند. درک تاثیر صورت و مخرج، اهمیت بسیاری در تحلیل یک سیستم دارد.پاسخ ضربه یک مشخصه بسیار مهم در سیستم‌های خطی تغییرناپذیر با زمان است. از پاسخ ضربه می‌توان برای توصیف یک سیستم LTI و پیش‌بینی خروجی سیستم برای هر ورودی داده شده، استفاده کرد. برای یافتن پاسخ ضربه، باید از سیگنال ضربه واحد استفاده کنیم. سیگنال ضربه واحد کاربردهای بسیار زیادی در نمونه‌برداری دارد. این سیگنال مقدار یک (1) را در لحظه صفر تولید می‌کند و در سایر لحظات مقدار آن صفر است. تعریف تابع پاسخ ضربه یک سیستم به این صورت است: برای یک سیستم LTI، زمانی که ورودی سیستم سیگنال ضربه واحد (σ(t)) باشد، پاسخ ضربه برابر با خروجی y(t) است.
در واقع، تابع ضربه سیستم‌های خطی تغییرناپذیر با زمان به این مسئله می‌پردازد که اگر یک ورودی سیگنال واحد در یک زمان مشخص وارد شود، خروجی سیستم در زمان‌های بعدی به چه صورت خواهد بود؟ می‌توان پاسخ ضربه را به سادگی و با اعمال یک سیگنال ضربه و مشاهده آنچه که اتفاق می‌افتد، به دست آورد.کانولوشن، یک نمایش از سیگنال به صورت ترکیبی خطی از سیگنال‌های ورودی تاخیر یافته است. به عبارت دیگر، سیگنال به ورودی‌هایی تجزیه می‌شود که برای ساخت آن مورد استفاده قرار می‌گیرند. کانولوشن بین سیگنال‌های پیوسته در زمان و سیگنال‌های گسسته در زمان به صورت متمایز به کار می‌رود. سیگنال‌های گسسته در زمان، یک ترکیب خطی از ضربه‌های گسسته هستند، پس می‌توان آن‌ها را به صورت مجموع کانولوشن نمایش داد. از طرف دیگر، سیگنال‌های پیوسته در زمان مانند محاسبه مساحت زیر یک نمودار، مقادیری پیوسته هستند، پس این سیگنال‌ها به انتگرال کانولوشن نیاز دارند.مجموع کانولوشن به شکل زیر نمایش داده می‌شود:$y[n] = \sum_{k = -\infty}^{\infty}x[k]\, h[n – k]$
اما انتگرال کانولوشن به صورت زیر است:$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)x(t-\tau)\,d\tau = x(t) \ast h(t)$
توجه کنید که ∗ نماد ریاضی کانولوشن را نشان می‌دهد.
تمام سیستم‌های خطی تغییرناپذیر با زمان را می‌توان با کمک تابع ضربه و انتگرال یا جمع کانولوشن توصیف کرد. خروجی هر سیستم LTI می‌تواند با استفاده از ورودی و تابع ضربه برای آن سیستم، محاسبه شود. کانولوشن دارای مشخصه‌های مهم زیر است:تمام سیستم‌های خطی تغییرناپذیر با زمان را می‌توان با کمک تابع ضربه و انتگرال یا جمع کانولوشن توصیف کرد. خروجی هر سیستم LTI می‌تواند با استفاده از ورودی و تابع ضربه برای آن سیستم، محاسبه شود. کانولوشن دارای مشخصه‌های مهم زیر است:
خاصیت جابه‌جایی $x(t) \ast h(t) = h(t) \ast x(t)$خاصیت شرکت‌پذیری (Associativity): $\big[x(t) \ast h_1(t)\big] \ast h_2(t) = x(t) \ast \big[h_1(t) \ast h_2(t)\big]$
خاصیت توزیع‌پذیری جمع (Distributivity of Addition): $x(t) \ast \big[h_1(t) + h_2(t)\big] = x(t) \ast h_1(t) + x(t) \ast h_2(t)$
عنصر یکه یا همانندی (Identity Element): $x(t) \ast h(t) = h(t)$تابع تبدیل
تابع تبدیل یک سیستم با تبدیل لاپلاس گرفتن از پاسخ ضربه سیستم به دست می‌آید و اطلاعات با ارزشی راجع به رفتار سیستم ارائه می‌کند. همچنین موجب تسهیل محاسبات پاسخ خروجی می‌شود.تابع تبدیل یک سیستم با تبدیل لاپلاس گرفتن از پاسخ ضربه سیستم به دست می‌آید و اطلاعات با ارزشی راجع به رفتار سیستم ارائه می‌کند. همچنین موجب تسهیل محاسبات پاسخ خروجی می‌شود.
تعریف تابع تبدیلاگر پاسخ ضربه برای یک سیستم با خروجی y(t) توسط h(t) نشان داده شود، آنگاه تابع تبدیل سیستم داده شده برابر است با: $H(S) = \mathcal{L}(h(t))$
یک سیستم LTI توسط تابع تبدیل آن نیز قابل توصیف است. تابع تبدیل در واقع تبدیل لاپلاس پاسخ ضربه سیستم است. این تبدیل، تابع را از حوزه زمان به حوزه فرکانس می‌برد. اهمیت تابع تبدیل در این نکته است که معادلات تفاضلی را به معادلات جبری و کانولوشن را به ضرب تبدیل می‌کند. در حوزه فرکانس، خروجی برابر با حاصل ضرب تابع تبدیل در ورودی تبدیل یافته است.
اول از همه توجه کنید که کنترل پذیری یک ویژگی حلقه باز سیستم است، یعنی هیچ بازخوردی وجود ندارد. این ویژگی برای بررسی محدودیت های مطلق ما در مورد آنچه که می توانیم و نمی توانیم برای کنترل سیستم انجام دهیم استفاده می شود. اگر محدودیتی در سیگنال کنترل نداشته باشیم، یک محدودیت هندسی از جایی که در فضای فاز می توانیم به آن برسیم، می دهد. در واقعیت، سیگنال کنترل محاسبه شده به هیچ وجه استفاده نمی شود.تابع تبدیل و خروجی
خروجی یک سیستم خطی تغییرناپذیر با زمان، توسط کانولوشن سیگنال ورودی با پاسخ ضربه به دست می‌آید. از آنجایی که کانولوشن در حوزه زمان برابر با ضرب در حوزه لاپلاس است، خروجی
Y(S) در یک سیستم با تابع تبدیل H(S) برای ورودی X(S) به صورت زیر خواهد بود:$Y(S) = H(S)X(S)$حال خروجی در حوزه زمان برابر است با:$y(t) = \mathcal{L}^{-1}(Y(S))$صفرها و قطب‌ها
از آنجایی که تابع تبدیل توسط تقسیم دو چندجمله‌ایی به دست می‌آید، می‌توانیم از آن چندجمله‌ایی‌ها فاکتور بگیریم:$H(S) = \frac{(S + z_0)(S + z_1)(S + z_2)\cdots}{(S + p_0)(S + p_1)(S + p_2)\cdots}$که در آن $z_0, z_1, z_2 \cdots$ صفرهای مختلط سیستم و $p_0, p_1, p_2 \cdots$ قطب‌های مختلط سیستم هستند. قطب‌ها و صفرها نیز اطلاعات بسیار جالبی راجع به سیستم و رفتار آن به ما می‌دهند و در کنترل سیستم‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرند.سیگنال‌های گسسته در زمان مجموعه‌ای از سیگنال‌های تکی هستند. این سیگنال‌ها می‌توانند حاصل نمونه‌برداری از یک سیگنال پیوسته در زمان باشند و یا حاصل یک پدیده که در اصل به صورت گسسته است. سیگنال‌های گسسته را می‌توان در یک گراف با نقاط تکی متصل به محور x نشان داد. محور x همان زمان و محور y سیگنال است. در سیگنال‌های گسسته به جمع کانولوشن برای محاسبه خروجی در هر زمان داده شده نیاز است.
با این حال، معلوم می شود که در سیستم های LTI، کنترل پذیری معادل وجود یک کنترل کننده بازخورد حالت ایستا است که مقادیر ویژه سیستم را به طور دلخواه در صفحه پیچیده اختصاص می دهد، که در واقع برای برنامه های کاربردی دنیای واقعی مفید است.
به طور خلاصه، کنترل پذیری به عنوان یک مفهوم بسیار مهم است، اما به طور مستقیم برای محاسبات سیگنال کنترل استفاده نمی شود. و علاقه ای به آنچه بعد از آن اتفاق می افتد نداردچرا یک سیستم خطی و ثابت زمان نیاز به صفر بودن شرایط اولیه دارد؟ این کاملا نادرست است.
سیستم خطی و تغییرناپذیر زمان به هر سیستمی گفته می‌شود که خطی باشد (بدون شرایط حالتی که یکدیگر یا خودشان را ضرب می‌کنند) و تغییرناپذیر با زمان، به این معنی که ضرایب نسبت به زمان تغییر نمی‌کنند.
یک سیستم ساده یک مدار RLC خواهد بود. مقاومت در یک مدار بر ظرفیت خازن یا اندوکتانس آن تأثیر نمی گذارد و همین امر در مورد سایر اصطلاحات نیز صادق است. مدار خطی است و به شرطی که مدار را به طور فعال تنظیم نکنید (تغییر هر یک از آن مقادیر)، سیستم تغییرناپذیر است.
مدار RLC را می توان توسط خازن های متغیر یا سلف های متغیر تنظیم کرد و به چنین مدار قابل تنظیمی معمولاً "رادیو" می گویند.
یا، شما می توانید یک مدار RLC داشته باشید که دارای ولتاژی متناسب با مثلاً چرخش شفت باشد. اگر ولتاژ را "EMF پشتی" نامیدید، این مدار RLC را "موتور" می نامند.
مدار موتور احتمالاً یکی از پر استفاده ترین سیستم های LTI است، حداقل برای آموزش. شما می توانید انواع تئوری کنترل را با موتورها انجام دهید (همچنین به ربات ها مراجعه کنید)، اما انتقال حرارت، دینامیک سیالات... بسیاری از سیستم ها را می توان به اندازه کافی توسط سیستم های LTI نشان داد. سیستم هایی که دقیقاً معیارهای LTI را برآورده نمی کنند، معمولاً می توانند خطی شوند و به عنوان یک سیستم LTI استفاده شوند.helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا
