نقطه‌ی لعنتی!

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
پرتوزا

عضویت : دوشنبه ۱۴۰۱/۴/۶ - ۱۰:۱۴


پست: 8



نقطه‌ی لعنتی!

پست توسط پرتوزا »

📐📚📖✏️ در یک صفحه‌ی P، دو نقطه‌ی A و B رو در نظر بگیرید که به فاصله‌ی 0≠r از یکدیگر قرار دارند و نقطه‌ی دلخواه C رو در هر جایی از صفحه که بخواهیم قرار می‌دهیم؛ یعنی A و B در مکان خود ثابت‌اند و مکان C متغییر است. این نقطه‌ی C در هر مکانی (به جز در نقاط A و B و وسط پاره‌خط واصل آن‌ها، یعنی نقطه‌ی H) با نقاط A و B، مثلث ABC رو تشکیل می‌دهد که طول میانه‌ی CH برابر x و زاویه‌ی CHB برابر O(شما بخونید تتا) می‌باشد.
⁉️سوال: چنانچه بخواهیم اضلاع CB=a و CA=b اختلاف طولی دلخواه a-b رو از هم داشته باشند، آنگاه نقطه‌ی C در چه نقاطی از صفحه باید قرار گیرد تا a-b مقداری ثابت و بدون تغییر داشته باشد؟
یا به عبارت دیگر متعییرهای O و x با مقادیر دلخواه چه رابطه یا تابعی از هم باید داشته باشند که a-b ثابت باقی بماند؟
تصویر

نمایه کاربر
You-See

نام: U30

محل اقامت: تهران

عضویت : یک‌شنبه ۱۳۹۳/۵/۱۹ - ۱۹:۰۵


پست: 1179

سپاس: 770

جنسیت:

تماس:

Re: نقطه‌ی لعنتی!

پست توسط You-See »

این دقیقا می شه تعریف مکان هندسی هذلولی
دوستای گلم حمایت کنید : https://cafebazaar.ir/app/com.nikanmehr.marmarxword/

نمایه کاربر
پرتوزا

عضویت : دوشنبه ۱۴۰۱/۴/۶ - ۱۰:۱۴


پست: 8



Re: نقطه‌ی لعنتی!

پست توسط پرتوزا »

You-See نوشته شده:
دوشنبه ۱۴۰۱/۴/۶ - ۱۶:۱۰
این دقیقا می شه تعریف مکان هندسی هذلولی
فک کنم باید بعد سوالم می‌نوشتم جواب رو با برهان بنویسید🤦😅😂
ولی بازم ممنون از پاسختون😁🙏🏻🤩🥰✏️
تصویر

نمایه کاربر
پرتوزا

عضویت : دوشنبه ۱۴۰۱/۴/۶ - ۱۰:۱۴


پست: 8



Re: نقطه‌ی لعنتی!

پست توسط پرتوزا »

You-See نوشته شده:
دوشنبه ۱۴۰۱/۴/۶ - ۱۶:۱۰
این دقیقا می شه تعریف مکان هندسی هذلولی
وای قربونت برم همین الآن تو ویکی پدیا دیدم! باورم نمی‌شه! واقعا راس می‌گفتی‌ها!😂 من اصلا نمی‌دونستم! دقیقا همون می‌شه که گفتم!!!🤯😱😂🤦
تصویر

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami رهام حسامی

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1839

سپاس: 3342

جنسیت:

تماس:

Re: نقطه‌ی لعنتی!

پست توسط rohamjpl »

جناب کاربر You-Seeگفتند مکان هندسی هذلولی صفحه هذلولی صفحه ای هستش که هر نقطه آن یک نقطه زینه یا. شبه‌کره‌های مختلفی در فضای اقلیدسی وجود داره که دارای ناحیه محدودی از انحنای گاوسی منفی ثابت است اینطور بگم میدونیدانحنای گاوسی یک معیار ذاتی انحنایه که فقط به فواصل اندازه گیری شده روی سطح بستگی دارد، نه به نحوه ایزومتریک بودن آن در فضای اقلیدسی.هنگامی که یک سطح دارای انحنای گاوسی مثبت ثابته هندسه سطح هندسه کرویه مثل توپ
هنگامی که یک سطح دارای انحنای گاوسی منفی ثابته آنگاه یک سطح شبه کرویه و هندسه سطح هندسه هذلولیه
انتگرال سطح انحنای گاوسی بر روی قسمتی از یک سطح را انحنای کل میگیم. انحنای کل یک مثلث ژئودزیکی برابر است با انحراف مجموع زوایای آن از $ π$. مجموع زوایای یک مثلث در سطحی با انحنای مثبت از $ π$ بیشتر میشه در حالی که مجموع زوایای یک مثلث در سطحی با انحنای منفی کمتر از π هست. در سطحی با انحنای صفرهم مانند صفحه اقلیدسی مجموع زاویه ها دقیقاً به رادیان $ π$ میرسه${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}=\pi +\iint _{T}K\,dA.}$
.می توان فاصله هذلولی بین p و q را ابتدا با یافتن نقاط ایده آل u و v از خط هذلولی از طریق p و q محاسبه کنیم و سپس با استفاده از فرمول $\begin{equation*}
d_H(p,q) = \ln\left(\frac{1+|T(q)|}{1-|T(q)|}\right)\text{.}
\end{equation*}$یا $\begin{equation*}
d_H(p,q) =
\ln\left[\frac{|1-\overline{p}q|+|q-p|}{|1-\overline{p}q|-|q-p|}\right]\text{.}
\end{equation*}$با توجه که میدونم $\displaystyle T(q) = \frac{q-p}{1-\overline{p}q}$
نقطه C در امتداد منحنی هذلولی حرکت می کنه که با $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ داده میشه
فواصل d0 و d1 به ترتیب از A تا C و B تا C هستند.
نقطه C را طوری پیدا کنیم که طول کل $d_{0}+d_{1}$ را به حداقل برسونه تفاضل فواصل هر نقطه روی هذلولی از این دو نقطه برای هر هذلولی ثابت و برابر ${\displaystyle 2a}$ باشه حالااگه منظورتون این نوع مدل سواله یعنی میخواین بگین
من یک مثلث با 3 نقطه دارم. موقعیت های دو نقطه در دسترس است. و همچنین فواصل بین سه نقطه را میدونم. چگونه میتونم موقعیت نقطه سوم را محاسبه کنم نقطه A (مختصات x و y)
نقطه B (مختصات x و y)
AB (فاصله بین نقطه A و نقطه B)
BC (فاصله بین نقطه B و نقطه C)
AC (فاصله بین نقطه A و نقطه C)نا مشخص
نقطه C (مختصات x و y)
شما دو هویت زیر را می شناسید:
$AC = \sqrt{(C_x-A_x)^2+(C_y-A_y)^2}\quad\quad(roham)$
$BC = \sqrt{(C_x-B_x)^2+(C_y-B_y)^2}\quad\quad(roham)$
بنابراین من دو معادله با دو مجهول دارم. من می تونم با استفاده از روشی که با آن آشنا هستم حل کنمش. در اینجا چند قدم اول استفاده از جایگزینی (برای شروع کار)میارم.
(1) را برای Cx حل کنید تا به دست آورم:$C_x=\sqrt{AC^2-(C_y-A_y)^2} +A_x\quad\quad(3)$
(گزینه منهای جذر را نادیده گرفتم
حالا (3) را به (2) وصل میکنم و Cy را حل میکنم. (این یک پاسخ عددی برای Cy به من میده که سپس می تونم آن را به (3) وصل کنم تا یک پاسخ عددی برای Cx دریافت کنم
ببین که من از AB استفاده نکردم. از آنجایی که من قبلاً $A_x,A_y,B_x,$ و By را می‌دونم AB هیچ اطلاعات جدیدی به من نمیده
راه حل دوم
میزارم $AB = c, \, BC = a, \, CA = b$. فرض میکنم مختصات نقاط A و B را میدونم یعنی بردارهای $\vec{OA}$ و $\vec{OB}$ را می‌دانیم که در آن O مبدأ سیستم مختصات منه
با $\alpha = \angle \, CAB$ علامت میزنم و میزارمH برآمدگی متعامد راس C بر روی لبه AB باشه. سپس ارتفاع CH متعامد بر AB است.ابتدا طول ارتفاع CH و طول قطعه AH را محاسبه می کنیم (این دومی برآمدگی متعامد AC هستش دیگه. با فرمول هرون مساحت SABC مثلث برابره ب$S(a,b,c) = \frac{1}{4}\, \sqrt{(a+b+c)(a+ b -c)(a-b+c)(-a+b+c)}$
از طرف دیگه می تونم آن را به عنوان محاسبه کنم
$S(a,b,c) =S_{ABC} = \frac{1}{2} \,c \cdot CH$
بنابراین$CH = \frac{2 \, S(a,b,c)}{c} = \frac{\, \sqrt{(a+b+c)(a+ b -c)(a-b+c)(-a+b+c)}\,}{2\,c}$
در مثلث قائم الزاویه ACH
$AH = AC \, \cos(\angle \, CAB) = b \, \cos(\angle \, CAB)$
طبق قانون کسینوس برای مثلث ABC
$\cos(\angle \, CAB) = \frac{c^2+b^2-a^2}{2cb}$
بنابراین$AH =\frac{c^2+b^2-a^2}{2c}$
اگر بردار$\vec{AB}$ را بدونم می تونم بلافاصله یک بردار متعامد (در واقع یک جفت متضاد) $\vec{AB^{\perp}}$ پیدا کنم. این کار را می توان به صورت زیر انجام بدم: اگر$\vec{AB}$ دارای مختصات (u,v) باشد، $\vec{AB^{\perp}}$ دارای مختصات (-v,u) یا (v,-u) است (از این رو دو بردار مخالف و بنابراین دو راه حل ممکن). بنابراین یافتن مختصات نقطه C که همان یافتن مختصات بردار$\vec{OC}$ است
$\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AH} + \vec{HC} = \vec{OA} + \frac{|AH|}{c} \, \vec{AB} + \frac{|CH|}{c}\, \vec{AB^{\perp}}$
$\vec{OC} = \vec{OA} + \left(\frac{c^2+b^2-a^2}{2c^2} \right)\vec{AB} + \frac{2 \, S(a,b,c)}{c^2}\,\, \vec{AB^{\perp}}$
به طور واضح تر، اگر مختصات A $\vec{OC} = \vec{OA} + \left(\frac{c^2+b^2-a^2}{2c^2} \right)\vec{AB} + \frac{2 \, S(a,b,c)}{c^2}\,\, \vec{AB^{\perp}}$ و مختصات B $(x_B,y_B)$ باشند،
$\vec{AB} = (x_B - x_A, \,\, y_B - y_A)$
و بنابراین
$\vec{AB^{\perp}} = (y_A - y_B, \,\, x_B - x_A)$
یا $\vec{AB^{\perp}} = (y_B - y_A, \,\, x_A - x_B)$ سپس مختصات $(x_C, \, y_C)$ نقطه C هستند
$\begin{align}
x_C &= x_A + \left(\frac{c^2+b^2-a^2}{2c^2} \right) (x_B - x_A) + \epsilon \,\frac{2 \, S(a,b,c)}{c^2}\,\, (y_A - y_B)\\
y_C &= y_A + \left(\frac{c^2+b^2-a^2}{2c^2} \right) (y_B - y_A) + \epsilon \,\frac{2 \, S(a,b,c)}{c^2}\,\, (x_B - x_A)
\end{align}$
که در آن ε=1 یا -1 و$S(a,b,c) = \frac{1}{4}\, \sqrt{(a+b+c)(a+ b -c)(a-b+c)(-a+b+c)}$
امیدوارم کمک کنه بهتون .من چیز زیادی نمیدونم در مورد فضاهی نا اقلیدسی بچه های فیزیک میتونند کمک کنند .یا از بجه های ریاضی بپرسید اخه ما بیشتر با محاسبات سرکار داریم و مفاهیم مکانیک کلاسیک مثل دینامیک وترمو و ایرودینامیک hope I helped you understand the question. Roham
Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضاتصویر
smile260 smile016 :?:
تصویر

نمایه کاربر
پرتوزا

عضویت : دوشنبه ۱۴۰۱/۴/۶ - ۱۰:۱۴


پست: 8



Re: نقطه‌ی لعنتی!

پست توسط پرتوزا »

rohamjpl نوشته شده:
دوشنبه ۱۴۰۱/۴/۶ - ۱۸:۲۴
از اون جا که این مسئله خود به خود تو ذهنم شکل گرفته بود و من اصلا نمی‌دونستم به هذلولی ربط داره (اصلا راجع به هذلولی نمی‌دونستم!)، فکر می‌کردم زاویه تتا و نیم ساز باید تابعی از هم باشن تا a-b ثابت بمونه.

ولی روشی که شما ارائه کردین بهتر بود. خیلی ازتو ممنونم، آقای حسامی! smile017 smile043 smile155
تصویر

ارسال پست