بردار واحدی که با نرمال کردن بردار نرمال به دست می آید (یعنی تقسیم یک بردار نرمال غیر صفر بر هنجار برداری آن) بردار نرمال واحد است که اغلب به سادگی به عنوان واحد شناخته می شود. باید دقت شود که عبارات «هنجار برداری» (طول بردار)، «بردار نرمال» (بردار عمود بر هم) و «بردار نرمال شده» (بردار طول واحد) اشتباه نشود.این تنظیم پیچیده با یک سطح S در $\mathbb R^3$ و یک نقطه P با یک بردار واحد عادی به سطح$\vec N_S.$ شروع می شود.بردار نرمال به سطح در هر نقطه داده شده $\vec N_S(P)$ به صورت زیر محاسبه شد:$\begin{align}
\vec N(t)&=\left (-\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} ,-\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t},(-\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t} \right)\\[3ex]
&=
\end{align}$بردار متعامد دوم به نام بردار نرمال به منحنی C در P را می توان به عنوان مشتق بردار مماس محاسبه کرد، مشروط بر اینکه با طول قوس به عنوان پارامتر تعیین شود.
$\vec n(s)=\frac{\vec T'(s)}{\vert T'(s)\vert}$
با $k(s)=\vert T'(s)\vert=\frac{\vert T'(t)\vert}{\vert r'(t)\vert}$ مربوط به انحنای C در P است. با این حال، محاسبه با توجه به ریشه های مربع برای عادی سازی مشتقات، و همانطور که در اینجا منعکس شده است، ساده نیست. $\vec n= \left( C'(t)\times C''(t)\right)\times C'(t)$اگر یک سطح S بطور ضمنی به عنوان مجموعه نقاط (x,y,z) داده شود که F(x,y,z)=0 را برآورده میکند، سپس یک نرمال در یک نقطه(x,y,z) روی سطح با گرادیان داده می شود${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z).}$
![تصویر](https://s6.uupload.ir/files/nrvea_efi0.gif)
بردار نرمال معمولاً N یا n نشان داده می شود، با یک کلاه گاهی (اما نه همیشه) به آن اضافه می شود (یعنی N^^ و n^^) تا صریحاً یک بردار عادی واحد را نشان دهد.مثال $\mathbf{F}\left( {x,y,z} \right) = \left( {x, - 1,z} \right)$در سراسر سطحی که جهت رو به پایین دارد و با معادله داده می شود$z = x\cos y, 0 \le x \le 1, \frac{\pi }{4} \le y \le \frac{\pi }{3}.$من از فرمول $\iint\limits_S {\mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}} = \iint\limits_{D\left( {x,y} \right)} {\mathbf{F} \left( {\frac{{\partial z}}{{\partial x}}\mathbf{i} + \frac{{\partial z}}{{\partial y}}\mathbf{j} - \mathbf{k}} \right)dxdy}.$استفاده میکنم$\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {x\cos y} \right) = \cos y,\;\;\; \frac{{\partial z}}{{\partial y}} = \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {x\cos y} \right) = - x\sin y,$شار میدان برداری را می توان به صورت نوشتاری نوشت
$\iint\limits_S {\mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}} = \iint\limits_{D\left( {x,y} \right)} {\left[ {x \cdot \cos y + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - x\sin y} \right) + z \cdot \left( { - 1} \right)} \right]dxdy} = \iint\limits_{D\left( {x,y} \right)} {\left( {\cancel{x\cos y} + x\sin y - \cancel{x\cos y}} \right)dxdy} = \iint\limits_{D\left( {x,y} \right)} {x\sin ydxdy} .$در نهایت $\iint\limits_S {\mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}}
= \int\limits_0^1 {xdx} \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\sin ydy}
= \left[ {\left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1} \right] \cdot \left[ {\left. {\left( { - \cos y} \right)} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}} \right]
= \frac{1}{2}\left( { - \cos \frac{\pi }{3} + \cos \frac{\pi }{4}} \right)
= \frac{1}{2}\left( { - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)
= \frac{{\sqrt 2 - 1}}{4}.$
نکات پیچش بردار نرمال واحد روی یک سطح صفر است؟$\nabla\times\vec{n}=0$
کرل هم $\nabla \times \mathbf{F} =
\left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \boldsymbol{\hat\imath} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \boldsymbol{\hat\jmath} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \boldsymbol{\hat k} \tag{2}$ hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
![smile072 smile072](./images/smilies/Emoji_Animals_Nature_32/166.png)
![smile072 smile072](./images/smilies/Emoji_Animals_Nature_32/166.png)
![تصویر](https://s6.uupload.ir/files/signature_%287%29_72pu.png)