CamScanner 01-08-2022 18.04.31_1.jpg
انتگرال زیر چگونه محاسبه میشود؟ (مراحل)
- [email protected]
نام: م. ج. معروف به گربه ی زَبادی
محل اقامت: تهران
عضویت : پنجشنبه ۱۳۹۰/۹/۲۴ - ۱۱:۴۹
پست: 1458-
سپاس: 514
- جنسیت:
تماس:
Re: انتگرال زیر چگونه محاسبه میشود؟ (مراحل)
من یه راست زدم توی Mathcad که جواب زیرو داد: (منظور از atan توی عبارت زیر همون آرک تانژانته)
$$\sqrt{L^2/4+z^2}\tan^{-1}\left (\frac{y}{\sqrt{L^2/4+z^2}}\right )=u$$
از طرفین دیفرانسیل می گیریم:
$$\frac{dy}{1+\frac{y^2}{L^2/4+z^2}}=du$$
حالا انتگرال نسبت به $y$ رو می تونیم به این صورت بنویسیم:
$$\int{\frac{dy}{(L^2/4+z^2+y^2)^{3/2}}}=\int{\frac{dy}{(L^2/4+z^2)^{3/2}(1+\frac{y^2}{L^2/4+z^2})^{3/2}}}=\frac{1}{(L^2/4+z^2)^{3/2}}\int{\frac{dy}{\sqrt{1+\frac{y^2}{L^2/4+z^2}}(1+\frac{y^2}{L^2/4+z^2})}}$$
حالا با اعمال تغییر متغیر فوق داریم:
$$=\frac{1}{(L^2/4+z^2)^{3/2}}\int{\frac{du}{\sqrt{1+\tan^2\left (\frac{u}{\sqrt{L^2/4+z^2}}\right )}}}=\frac{1}{(L^2/4+z^2)^{3/2}}\int{\cos\left (\frac{u}{\sqrt{L^2/4+z^2}} \right ) du}$$
انتگرال بالا رو راحت تر میشه گرفت. فقط دقت کنید که کران های بینهایت رو باید بر حسب $u$ پیدا کنید. بعد از گرفتن این انتگرال، باید دوباره بر حسب $z$ انتگرال بگیرید و الی آخر.
فقط برای اینکه انتگرالتون یه خرده ساده تر بشه (به شرط اینکه اول نسبت به $y$ انتگرال بگیرید)، از تغییر متغیر زیر می تونید استفاده کنید:
$$\sqrt{L^2/4+z^2}\tan^{-1}\left (\frac{y}{\sqrt{L^2/4+z^2}}\right )=u$$
از طرفین دیفرانسیل می گیریم:
$$\frac{dy}{1+\frac{y^2}{L^2/4+z^2}}=du$$
حالا انتگرال نسبت به $y$ رو می تونیم به این صورت بنویسیم:
$$\int{\frac{dy}{(L^2/4+z^2+y^2)^{3/2}}}=\int{\frac{dy}{(L^2/4+z^2)^{3/2}(1+\frac{y^2}{L^2/4+z^2})^{3/2}}}=\frac{1}{(L^2/4+z^2)^{3/2}}\int{\frac{dy}{\sqrt{1+\frac{y^2}{L^2/4+z^2}}(1+\frac{y^2}{L^2/4+z^2})}}$$
حالا با اعمال تغییر متغیر فوق داریم:
$$=\frac{1}{(L^2/4+z^2)^{3/2}}\int{\frac{du}{\sqrt{1+\tan^2\left (\frac{u}{\sqrt{L^2/4+z^2}}\right )}}}=\frac{1}{(L^2/4+z^2)^{3/2}}\int{\cos\left (\frac{u}{\sqrt{L^2/4+z^2}} \right ) du}$$
انتگرال بالا رو راحت تر میشه گرفت. فقط دقت کنید که کران های بینهایت رو باید بر حسب $u$ پیدا کنید. بعد از گرفتن این انتگرال، باید دوباره بر حسب $z$ انتگرال بگیرید و الی آخر.
شما دسترسی جهت مشاهده فایل پیوست این پست را ندارید.