حل معادله

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
GOOD GOD

عضویت : پنج‌شنبه ۱۴۰۰/۶/۲۵ - ۱۳:۰۲


پست: 1



حل معادله

پست توسط GOOD GOD »

دوستان لطفا معادله a^x=x را در حالت كلی برام حل كنین(منظور از ^ توان است یعنی،،ای به توان ایكس برابر است با x)

نمایه کاربر
maxrg.ir

عضویت : یک‌شنبه ۱۴۰۰/۵/۲۴ - ۱۰:۰۲


پست: 43

سپاس: 13


تماس:

Re: حل معادله

پست توسط maxrg.ir »

فرض کنید $a>0$. از طرفین لگاریتم بگیرید تا به شکل $x \ln a=\ln x$ تبدیل شود. سپس فرض کنید $x=r e^{i \theta}$ جواب معادله است و برای سادگی، $A \equiv \ln a$ تعریف کنید. در این صورت:
\[
Are^{i\theta}=\ln r+i\theta +2n\pi i
\]
که $n=0,1,\ldots$ . اگر $n=0$ را انتخاب کنیم تا جواب اصلی را بیابیم، آنگاه از حل همزمان معادلات
\[
Ar \cos \theta=\ln r\,, \qquad Ar \sin \theta=\theta
\]
مقادیر $r$ و $\theta$ مشخص می‌شوند و درنتیجه $x$ به‌دست می‌آید.

البته می‌توان معادله را به شکل استاندارد لامبر نوشت تا با جداول تنظیم‌شده مقایسه کرد. معادله استاندارد لامبر به صورت $we^w=z$ است. پس می‌نویسیم:
\[
a^{-x}=\frac{1}{x} \quad \Rightarrow \quad xa^{-x}=1 \quad \Rightarrow \quad x (e)^{-x \ln a}=1 \quad \Rightarrow \quad (-x\ln a) e^{-x\ln a}= -\ln a
\]
یعنی $w=-x \ln a$ و $z=-\ln a$ است. بنابراین طبق روش لامبر
\[
-x\ln a=W_0 (-\ln a)
\]
که $W$ تابع لامبر است. اگر آرگومان تابع لامبر بیشتر از $-\frac{1}{e}$ باشد، حاصل آن حقیقی خواهد بود؛ در غیر این صورت، حاصلش بخشی موهومی دارد.

برای $a<0$، تعریف می‌کنیم $a=-b$. سپس ضریب $-1$ را با $e^{i \pi}$ جایگزین می‌کنیم. بقیه مراحل مثل بالا انجام می‌دهیم و همچنان می‌توان جواب نهایی را برحسب تابع لامبر نوشت.
لختی مکث و اندکی تفکر کنیم ...

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami

محل اقامت: Tehran, Qeytariyeh

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 925

سپاس: 595

جنسیت:

تماس:

Re: حل معادله

پست توسط rohamjpl »

روش نیوتن ببین $x^x=y$ابتدا باید مشخص کنید که $x^x$ واقعاً به چه معناست. به طور کلی ، $a^x$ به عنوان$e^{x \log a}$برای a مثبت تعریف می شود. بنابراین برای x مثبت ، $x^x$ را $e^{x\log x}$ تعریف می کنیم. اگر می خواهید از روش نیوتن استفاده کنید ، گرفتن لگاریتم های (طبیعی) در این مرحله کمی ساده تر است. حل $x^x = c$ برای عدد c معادل حل $x \log x = d$ است که $d = \log c$ است ، بنابراین اجازه دهید روی حل$x \log x = d$ تمرکز کنیم. سپس ما سعی می کنیم f (x) = 0 را در جایی $f(x) = x \log x -d$ حل کنیم. توجه کنید که مشتق$f^{\prime}(x) = 1 +\log x$
روش نیوتن سعی می کند f (x) = 0 را با انتخاب تقریب شروع به راه حل $x_0$ و سپس با ایجاد تقریب های جدید از طریق فرمول $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}.$ حل کند. این با روش اکتشافی توجیه می شود که $f(x + h)$نزدیک به $f(x) + hf^{\prime}(x)$ است وقتی h کوچک است ، بنابراین اگر $h = \frac{-f(x)}{f^{\prime}(x)}$ را در نظر بگیریم ، باید چیزی نزدیک به صفر بدست آورید روش نیوتن همیشه به یک راه حل نمی رسد و تجزیه و تحلیل آن در چه شرایطی کاملاً پیچیده است.
به هر حال ، برای این انتخاب f ، روش نیوتن به ما می گوید $x_{n+1} = x_{n} - \frac{x_n \log (x_n) - d}{1+\log (x_n)}$، که می توانیم آن را به صورت $x_{n+1} = \frac{x_n + d}{1 + \log( x_n)}$ بازنویسی کنیم. این ، یا چیزی شبیه به آن ، ممکن است نحوه محاسبه راه حل شما باشد.یک مثال $f(x) = x^x - 7 = 0 \Rightarrow f'(x) = x^x(\ln x+ 1)$من به طور مشابه مینویسم $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \frac{x_n^{x_n} - 7}{x_n^{x_n}(\ln x_n + 1) }$که در نهایت یک تقریب میگم $x \approx 2.316454959$
نمی توانید حل این معادله را در توابع ابتدایی بیان کنید. با این حال ، می توانید راه حل را بر اساس عملکرد Lambert W بیان کنید:$ye^y=z, W(z)=y$ نگاه کنید عملکرد Lambert W دقیقاً چیست؟
تابع دبلیوی لامبرت، معکوس تابع $f(w)=we^w$ است. به‌طوری که w عددی مختلط است اما حالا برویم سراغ کاربرد این تابع. یکی از کاربردهای تابع دبلیوی لامبرت در حل معادلات نمایی است. مثلاً فرض کنید می‌خواهیم معادلۀ $x^x=a$ را برحسب x حل کنیم. برای حل این معادله، ابتدا از طرفینِ معادله، لگاریتم طبیعی می‌گیریم:$x^x=a \Rightarrow x\ln x=\ln a$و سپس با تغییر متغیرِ $x=e^y$ در معادلهٔ $x\ln x=\ln a$ کار را ادامه می‌دهیم:$e^y\ln e^y=\ln a \Rightarrow ye^y=\ln a$
سپس از طرفین معادلۀ$ye^y=\ln a$ تابع دبلیوی لامبرت می‌گیریم:$ye^y=\ln a \Rightarrow w(ye^y)=w(\ln a)\Rightarrow y=w(\ln a)$ و در نهایت:$y=w(\ln a) \Rightarrow x=e^{w(\ln a)}$
همانطور که دیدید با استفاده از تابع دبلیوی لامبرت توانستیم این معادله $x^x=a$ را حل کنیم.در ریاضیات، تابع دبلیوی لامبرت که به نام‌های تابع اُمِگا و لگاریتم ضربی هم نامیده می‌شود، یک تابع چندمقداری است. ایدهٔ اصلیِ تعریف این تابع چندمقداری نوشتنِ وارونی برای تابعِ ${\displaystyle f(x)=xe^{x}}{\displaystyle f(x)=xe^{x}}$ است چون ضابطهٔ {\displaystyle f}f یک‌به‌یک نیست، بنابراین وارونِ آن نیز یک تابع نمی‌شود. به یاد آورید که تابع یک ضابطهٔ ریاضی است که هر عضو از مجموعهٔ دامنه‌اش را تنها به یک عضو از مجموعهٔ هم‌دامنه‌اش می‌نگارد.
تابع Lambert W برای حل معادلاتی استفاده می شود که در آنها کمیت ناشناخته هم در پایه و هم در نما یا داخل و خارج یک لگاریتم رخ می دهد. استراتژی این است که چنین معادله ای را به یکی از شکل$ ze^z = w$ تبدیل کنید و سپس z را حل کنید.من روش کلی به منظور کنجکاوی و برای کاربردهای بیشتر.میدم معادله فرم را در نظر بگیرید$p^x = ax + b$
از طریق جایگزینی$x = -t - \frac{b}{a}$ می توانید آن را به صورت زیر بازنویسی کنید$ta^t = z$
البته با و $ p≠0, p>0 and a≠0.$
گفته می شود ، و شما مستقیماً راه حل را از نظر عملکرد Lambert دارید:
$t = \frac{W(z\ln(a))}{\ln(a)}$
موارد دیگر$x^x = t ~~~~~~~~~~~ \text{ roham has solution} ~~~~~~~ x = \frac{t}{W(t)}$
بدون تعویض$p^x = ax + b ~~~~~~~~~~~ \text{ roham has solution} ~~~~~~~ x = \frac{W\left(-\frac{\ln(p)}{a}p^{-b/a}\right)}{\ln(p)} - \frac{b}{a}$اطلاعات بیشتر در مورد عملکرد W
$W(x) \approx \ln(x) - \ln(\ln(x)) + o(1)$
$W(x) = \sum_{k = 1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k!}x^k$من یک مثال میدم $5+a-6e^{a/2}=0$ توجه $x=-\frac{5+a}{2} \quad\to\quad a=-2x-5$و$-2x=6e^{-x-5/2}$و$-2xe^{5/2}=6e^{-x}$و$xe^x=-3e^{-5/2}= -\frac{3}{e^{5/2}}$از تعریف تابع W Lambertداریم $x=W\left(-\frac{3}{e^{5/2}}\right)$این عملکرد چند ارزش دارد. به طور رسمی دو شاخه واقعی $W_0$ و $W_-1$ نامیده می شوند.$a=-2W_n\left(-\frac{3}{e^{5/2}}\right)-5$وn = 0 و n = -1که دو رشه اونها $a\simeq -4.30168 \quad \text{and}\quad a\simeq -0.637368$مثال دوم $\frac{2e^x}{e^{2x}+1+2x}$کافی هست $e^{2x}+1+2x=0$من اینطور $e^{2x}=-1-2x \Rightarrow e^{-(-2)x}=-2\left(x-\left(\frac{-1}{2}\right)\right)$که به صورت $x=\frac{-1}{2}-\frac{1}{2}W\left(\frac{1}{e}\right)$نوشته فرم کلی $x=W(x)e^{W(x)}$ خوب $W(x)\approx L_1-L_2+\frac{L_2}{L_1}+\frac{L_2(L_2-2)}{2L_1^2}+\frac{L_2(2L_2^2-9L_2+6)}{6L_1^3}+\cdots$ میدونیم $L_1=\log(x)$و$L_2=\log(L_1)$عملکرد Lambert اینطور هست$f(x)=xe^x$انگاه $W(x)=f^{-1}(x)$در $y=x^x$داریم $\ln(y)=x\ln(x)=e^{\ln(x)}\ln(x)$این متناسب با فرم $f(u)=ue^u$که $\ln(x)=W\left[\ln(y)\right]$میتوان نوشت $\therefore x=e^{W\left[\ln(y)\right]}$
باز هم به فرم زیر نگاه کنید $\begin{align*}
n \ln (n) =x \quad & \Rightarrow \quad \ln n^n=x \\
& \Rightarrow \quad n^n=e^x \\
& \Rightarrow \quad n=e^{x/n} \\
& \Rightarrow \quad n \times \frac{x}{n}=\frac{x}{n}e^{x/n} \\
& \Rightarrow \quad x=\frac{x}{n}e^{x/n} \\
& \Rightarrow \quad W(x)=W \left(\frac{x}{n}e^{x/n} \right) \\
& \Rightarrow \quad W(x)=\frac{x}{n} \\
& \Rightarrow \quad \boxed{n=\frac{x}{W(x)}} \\
& \Rightarrow \quad n=\frac{x}{x/e^{W(x)}} \quad \text{(roham
$W(x)e^{W(x)}=x$)}\\
& \Rightarrow \quad \boxed{n=e^{W(x)}} \\
\end{align*}$
تصویر

ارسال پست