مشتق فاکتوریل و $h(x)=f(x)^{g(x)}$
ارسال شده: یکشنبه ۱۴۰۰/۳/۳۰ - ۰۷:۳۴
مشتق زیر محاسبه کنید $h(x)=f(x)^{g(x)}$ ساده هست $\log (h(x))=g(x) \log (f(x))$و $\frac{h'(x)}{h(x)}=g'(x) \log (f(x))+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}$نتیجه$h'(x)=h(x)\left(g'(x) \log (f(x))+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right)$
حالا مشتق $x!$ چیست $\Gamma(n)=\int_0^\infty x^{n-1}e^{-x} \space dx$ خوب این تعریف فاکتوریل هست مشتق تابع گامای اویلر $\begin{align}
\frac{d}{dn}\Gamma(n)
&=\frac{d}{dn}\int_0^\infty x^{n-1}e^{-x}\,dx\\
&=\int_0^\infty \frac{d}{dn}x^{n-1}e^{-x}\,dx\\
&=\int_0^\infty e^{-x}\frac{d}{dn}e^{(n-1)\ln(x)}\,dx\\
&=\int_0^\infty e^{-x}\cdot e^{(n-1)\ln(x)}\ln(x)\,dx\\
&=\int_0^\infty x^{n-1}e^{-x}\ln(x)\,dx\\
\end{align}$و جواب $\Gamma'(n)=\int_0^\infty x^{n-1}e^{-x}\ln(x)\,dx$شودhope I help you I hope I help you understand the question. Roham Hesami
حالا مشتق $x!$ چیست $\Gamma(n)=\int_0^\infty x^{n-1}e^{-x} \space dx$ خوب این تعریف فاکتوریل هست مشتق تابع گامای اویلر $\begin{align}
\frac{d}{dn}\Gamma(n)
&=\frac{d}{dn}\int_0^\infty x^{n-1}e^{-x}\,dx\\
&=\int_0^\infty \frac{d}{dn}x^{n-1}e^{-x}\,dx\\
&=\int_0^\infty e^{-x}\frac{d}{dn}e^{(n-1)\ln(x)}\,dx\\
&=\int_0^\infty e^{-x}\cdot e^{(n-1)\ln(x)}\ln(x)\,dx\\
&=\int_0^\infty x^{n-1}e^{-x}\ln(x)\,dx\\
\end{align}$و جواب $\Gamma'(n)=\int_0^\infty x^{n-1}e^{-x}\ln(x)\,dx$شودhope I help you I hope I help you understand the question. Roham Hesami