فضاهای خطی و غیر خطی

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
MahdiMohammadzadeh

نام: مهدی محمدزاده

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۱۰/۳۰ - ۲۰:۴۶


پست: 4



فضاهای خطی و غیر خطی

پست توسط MahdiMohammadzadeh »

سلام دوستان. چند تا سوال در مورد فضاهای ریاضی داشتم ممنون می شم راهنمایی کنید:
1- ارتباط میان فضا و هندسه در ریاضیات چیست؟ برای مثال، ارتباط میان فضای اقلیدسی و هندسه اقلیدسی و یا ارتباط میان فضای نااقلیدسی و هندسه نااقلیدسی چیست؟
2 – آیا فضای خطی دقیقا همان فضای برداری است؟
3 – آیا مفاهیم ضرب داخلی بودن، نرم دار بودن و متریک بودن و کامل بودن و عملگرها و ماتریس ها و تانسورها، فقط برای فضاهای خطی معنا دارد یا اینکه فضاهای غیرخطی نیز می توانند دارای ضرب داخلی و نرم و ... باشند؟ (این مفاهیم رو من در مبحث فضاهای برداری و کتاب های جبر خطی دیدم)
4 – وقتی صحبت از فضای حقیقی و فضای مختلط می کنیم، آیا منظور همان فضای اعداد حقیقی و فضای اعداد مختلط است یا نه؟
5 – چه ارتباطی میان فضای حقیقی و فضای مختلط با فضای اقلیدسی وجود دارد؟
6 – فضای هیلبرت و فضای باناخ، فضاهای خطی هستند؟
7 - به غیر از فضاهای خطی و غیرخطی، نوع دیگری از فضاهای ریاضی وجود دارد؟
8 - آیا فضای ریاضی وجود دارد که نه خطی باشد و نه غیرخطی؟
9 - آیا فضای ریاضی وجود دارد که نه اقلیدسی باشد و نه نااقلیدسی؟

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 747

سپاس: 434

جنسیت:

تماس:

Re: فضاهای خطی و غیر خطی

پست توسط rohamjpl »

فضا در هندسه چیست؟
یک فضا بی نهایت در همه جهات گسترش می یابد و مجموعه ای از همه نقاط در سه بعد است. می توانید یک فضا را مانند داخل یک جعبه در نظر بگیریدهندسه و مثالها چیست؟
هندسه شاخه ای از ریاضیات است که اندازه ها ، اشکال ، زاویه ها و ابعاد اشیا را بررسی می کند. اشکال مسطح مانند مربع ها ، دایره ها و مثلث ها بخشی از هندسه مسطح هستند و اشکال 2D نامیده می شوند. این اشکال فقط 2 بعد ، طول و عرض دارند. نمونه هایی از اشکال 2D در هندسه مسطح.
هندسه فضا اقلیدسی است یا غیر اقلیدسی؟
اگر ثابت شود که مجموع زاویه یک مثلث همیشه کمتر از π است ، در این صورت هندسه فضا هندسه غیر اقلیدسی است و این نتیجه گیری از اندازه گیری های دقیق کافی فقط یک مثلث حاصل می شود.تفاوت اصلی هندسه اقلیدسی و غیر اقلیدسی چیست؟
در حالی که هندسه اقلیدسی در صدد درک هندسه فضاهای تخت و دو بعدی است ، هندسه غیر اقلیدسی به جای سطوح صاف ، سطوح منحنی را بررسی می کند. اگرچه هندسه اقلیدسی در بسیاری از زمینه ها مفید است ، اما در بعضی موارد ، هندسه غیر اقلیدسی ممکن است مفیدتر باشد.هندسه اقلیدسی و غیر اقلیدسی چیست؟
هندسه غیر اقلیدسی تجدیدنظر و توصیف مجدد خصوصیات چیزهایی مانند نقاط ، خطوط و اشکال دیگر در دنیای غیر مسطح است. هندسه کروی - که نوعی هندسه صفحه ای است که روی سطح یک کره تاب خورده است - یکی از نمونه های هندسه غیر اقلیدسی است
.فضای بردار (فضای خطی نیز نامیده می شود) مجموعه ای از اشیا called است که بردارها نامیده می شوند ، که ممکن است با هم جمع شده و ضرب شوند ("مقیاس گذاری") بر روی اعداد ، که مقیاس نامیده می شوند. ... عملیات جمع برداری و ضرب اسکالر باید نیازهای خاصی را برآورده کنند ، بدیهیات برداری (که در زیر در in تعریف ذکر شده است).چرا به فضای بردار فضای خطی نیز گفته می شود؟
فضاهای برداری به عنوان موجودات جبری انتزاعی اولین بار توسط ریاضیدان ایتالیایی Giuseppe Peano در سال 1888 تعریف شده است. Peano فضاهای برداری خود را "سیستم های خطی" نامید زیرا به درستی دید که می توان از ترکیب خطی بردارها و مقیاس های مختلف هر بردار را در فضا بدست آورد. —av + bw +… + cz.فضای بردار خطی چیست؟
یک فضای بردار خطی شامل مجموعه ای از بردارها یا توابع و عملکردهای استاندارد جمع ، تفریق و ضرب مقیاسی است. ... به هر نقطه در صفحه (x ، y) می توان با ترکیبی خطی ، یا برهم نهی ، از دو بردار استاندارد i و j به دست آورد. ما می گوییم بردارها فضا را "پوشانده" اند.چه چیزی یک فضای خطی را تعریف می کند؟
فضای خطی یک ساختار اساسی در هندسه بروز است. یک فضای خطی از مجموعه ای از عناصر به نام نقطه و مجموعه ای از عناصر به نام خط تشکیل شده است. هر خط زیرمجموعه مشخصی از نقاط است. گفته می شود که نقاط موجود در یک خط با خط برخورد می کنند.
آیا فضای بردار یک میدان است؟
به نظر من هر دو تقریباً یکسان هستند. با این وجود باید اختلافاتی وجود داشته باشد مانند اینکه هر دو عنصر می تواند در یک زمینه ضرب شود اما در فضای برداری مجاز نیست زیرا فقط ضربات اسکالر در مواردی که مقیاس داران از این زمینه هستند مجاز است. ... هر فیلد یک فضای برداری است اما هر فضای بردار یک میدان نیست.تعریف: یک میدان مجموعهF از اعداد به همراه این ویژگی است که اگر a,b∈F، آنگاه a+b، a–b،ab و a/b نیز در F هستند (البته، با فرض اینکه در a/b نامساوی b≠0 را داشته باشیم).
تعریف: یک فضای برداری از مجموعه V (اعضای V بردار نامیده می‌شوند)، میدان F (اعضای F اسکالر نامیده می‌شوند) و دو عمل زیر تشکیل می‌شود:جمع برداری که دو بردار v,w∈V را می‌گیرد و بردار سومی تولید می‌کند که به صورت v+w∈V نوشته می‌شود.ضرب اسکالر یا نرده‌ای که عدد c∈F و بردار v∈V را می‌گیرد و بردار cv∈V را تولید می‌کند.این فضای برداری در شرایط زیر (که اصول نامیده می‌شوند)، صدق می‌کند:(۱) شرکت‌پذیری جمع برداری: برای همه u,v,w∈V، تساوی (u+v)+w=u+(v+w) را داریم.(۲) وجود یک بردار صفر: برداری در
V وجود دارد که به صورت 0 نوشته و بردار صفر نامیده می‌شود و ویژگی u+0=u برای هر u∈V برقرار است.(۳)‌ وجود قرینه: برای هر u∈
V، برداری در V وجود دارد که به صورت u نوشته شده و قرینه u نامیده می‌شود که دارای ویژگی u+(–u)=0 است.(۴) شرکت‌پذیری ضرب: برای هر a,b∈F و u∈V، تساوی (ab)u=a(bu) برقرار است.(۵) توزیع‌پذیری: برای هر a,b∈F و u,v∈V، تساوی (a+b)u=au+bu و a(u+v)=au+av برقرار است.(۶) یکانی: برای هر u∈V، رابطه 1u=u برقرار است.فرض کنید V مجموعه‌ای از ماتریس‌های برداری n در 1
از اعداد حقیقی بوده و میدان اسکالرها R باشد. همچنین فرض کنید جمع برداری و ضرب نرده‌ای به صورت زیر تعریف شده‌اند:$\large \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } \\ x _ { 2 } \\ \vdots \\ x _ { n }
\end {array} \right ) + \left ( \begin {array} { c }
y _ { 1 } \\ y _ { 2 } \\ \vdots \\ y _ { n }
\end {array} \right ) = \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } + y _ { 1 } \\
x _ { 2 } + y _ { 2 } \\
\vdots \\ x _ { n } + y _ { n }
\end {array} \right ), \quad \quad c \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } \\ x _ { 2 } \\
\vdots \\ x _ { n }
\end {array} \right ) = \left ( \begin {array} { c }
c x _ { 1 } \\
c x _ { 2 } \\
\vdots \\
c x _ { n }
\end {array} \right )$۱. شرکت‌پذیری جمع برداری:$\large \begin {aligned}
\left ( \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } \\
x _ { 2 } \\
\vdots \\
x _ { n }
\end {array} \right ) + \left ( \begin {array} { c }
y _ { 1 } \\
y _ { 2 } \\
\vdots \\
y _ { n }
\end {array} \right ) \right ) + \left ( \begin {array} { c }
z _ { 1 } \\
z _ { 2 } \\
\vdots \\
z _ { n }
\end {array} \right ) & = \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } + y _ { 1 } \\
x _ { 2 } + y _ { 2 } \\
\vdots \\
x _ { n } + y _ { n }
\end {array} \right ) + \left ( \begin {array} { c }
z _ { 1 } \\
z _ { 2 } \\
\vdots \\
z _ { n }
\end {array} \right ) \\
& = \left ( \begin {array} { c }
\left ( x _ { 1 } + y _ { 1 } \right ) + z _ { 1 } \\
\left ( x _ { 2 } + y _ { 2 } \right ) + z _ { 2 } \\
\vdots \\
\left ( x _ { n } + y _ { n } \right ) + z _ { n }
\end {array} \right ) \\
& = \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } + \left ( y _ { 1 } + z _ { 1 } \right ) \\
x _ { 2 } + \left ( y _ { 2 } + z _ { 2 } \right ) \\
\vdots \\
x _ { n } + \left ( y _ { n } + z _ { n } \right )
\end {array} \right ) \\
& = \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } \\
x _ { 2 } \\
\vdots \\
x _ { n }
\end {array} \right ) + \left ( \left ( \begin {array} { c }
y _ { 1 } \\
y _ { 2 } \\
\vdots \\
y _ { n }
\end {array} \right ) + \left ( \begin {array} { c }
z _ { 1 } \\
z _ { 2 } \\
\vdots \\
z _ { n }
\end {array} \right ) \right )
\end {aligned}$2. وجود یک بردار صفر با نشان دادن اینکه ماتریس ستونی صفر در شرایط بردار صفر بودن صدق می‌کند، قابل اثبات است: قرینه را می‌توان با ضرب −1 در هریک از درایه‌های ماتریس ستونی v به دست آورد و با تساوی v+(–v)=0 وجود آن را اثبات کرد$\large \left ( \begin {array} { c }
x _ { 1 } \\
x _ { 2 } \\
\vdots \\
x _ { n }
\end {array} \right ) + \left ( \begin {array} { c }
– x _ { 1 } \\
– x _ { 2 } \\
\vdots \\
– x _ { n }
\end {array} \right ) = \left ( \begin {array} { c }
0 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end {array} \right )$۴. شرکت‌پذیری ضرب:۵. توزیع‌پذیری:۶. یکانی:
آیا فضای پیچیده شامل فضای واقعی است؟
در تعریف فضای بردار مجموعه ای از اعداد (مقیاس پذیر) وجود دارد که می تواند یک زمینه دلخواه باشد. بنابراین ما فضاهای برداری واقعی و پیچیده ای داریم. اگر V یک فضای برداری پیچیده باشد ، می توانیم فقط ضرب بردارها را در اعداد واقعی در نظر بگیریم ، بنابراین یک فضای برداری واقعی بدست می آوریم ، که VR نشان داده می شود.آیا اعداد مختلط یک فضای برداری هستند؟
یک فضای برداری پیچیده ، یک فضای بردار است که قسمت مقیاس پذیر آن اعداد مختلط است. یک تحول خطی بین فضاهای برداری پیچیده توسط یک ماتریس با ورودی های پیچیده (به عنوان مثال ، یک ماتریس پیچیده) داده می شود.
آیا اعداد مختلط دو بعدی هستند؟
اعداد مختلط در صفحه مختصات. هر عدد مختلط x + yi مربوط به یک جفت عدد (x، y) در صفحه است ، بنابراین ممکن است بگوییم که اعداد مختلط یک مجموعه دو بعدی را تشکیل می دهند. به دو مختصات جفت (x، y) قسمت واقعی و قسمت خیالی عدد مختلط گفته می شود.آیا اعداد مختلط یک فضای بردار بیش از R هستند؟
(i) بله ، C یک فضای بردار بیش از R است. از آنجا که هر عدد پیچیده به صورت منحصر به فرد در شکل a + bi با a ، b ∈ R قابل بیان است ، می بینیم که (1 ، i) مبنایی برای C بیش از R است بنابراین بنابراین بعد دو است. (ii) هر فیلد همیشه یک فضای بردار 1 بعدی روی خودش است.چگونه اساس یک فضای برداری پیچیده را پیدا می کنید؟
هر عدد مختلط را می توان به صورت ضرب C از 1 نوشت ، بنابراین {1} یک مجموعه دهانه برای فضا است. C2 را بیش از R در نظر بگیرید. سپس {(1،0) ، (0،1) ، (i ، 0) ، (0 ، i)} مبنای استاندارد است و بعد چهار است.
آیا هر فضای بردار پیچیده ای یک فضای برداری واقعی است ، اما عکس آن چیست؟
از این رو ، F یک فضای بردار بیش از S است. از آنجا که S یک زیر فیلد دلخواه از F است ، بنابراین ، هر فیلد یک فضای بردار بر روی هر زیرمجموعه خود است. یک فضای بردار بیش از قسمت بالای آن. به عنوان مثال ، R یک فضای بردار بیش از C نیست ، زیرا ضرب یک عدد واقعی و یک عدد مختلط لزوماً یک عدد واقعی نیست.
فضای بردار روی اعداد مختلط نیز یک فضای برداری بر روی اعداد واقعی استبگذارید V یک فضای بردار بیش از C باشد. سپس برای هر زیرمجموعه K⊂C ، V همچنین یک فضای بردار بیش از K. است اثبات:
تمام بدیهیات مربوط به تعریف فضای برداری هستند
توزیع ضرب اسکالر با توجه به جمع بردار: a (u + v) = au + av توزیع ضرب اسکالر با توجه به جمع میدانی: (a + b) v = av + bv سازگاری ضرب اسکالر با ضرب میدان: a ( bv) = (ab) v
(برای همه a ، b∈K ، v∈V)
مورد اول از آنجا که قبلاً برای همه a∈C و K⊂C راضی بوده است ، حاوی رضایت است. در واقع همه آنها راضی هستند زیرا a، b∈K⊂C. پس از آنجا که K طبق تعریف یک زمینه است ، کار ما تمام شد.
چه تفاوتی بین فضای دکارتی و فضای اقلیدسی وجود دارد؟
از یکی از تعاریفی که دیدم ، فضای دکارتی یکی از دو یا سه بعد است که در آن محورها به طور متقابل عمود هستند. یک فضای اقلیدسی نیز دارای محورهای عمود متقابل است ، اما می تواند فضاهای بالاتر از سه بعد را نشان دهد.
فضای محصول یک فضای خطی هنجاردار است. نابرابری کوشی-شوارتز بیان می کند که | 〈f ، g〉 | g f g برای هر f ، g ∈ H. اگر فضای محصول داخلی H کامل باشد ، آن را فضای Hilbert می نامند. به عبارت دیگر ، فضای هیلبرت یک فضای Banach است که هنجار آن توسط یک محصول درونی تعیین می شود.آیا فضاهای هیلبرت فضاهای Banach هستند؟
فضای بی نهایت بعدی می تواند هنجارهای مختلفی داشته باشد. ... فضاهای هیلبرت با هنجارهایشان که توسط محصول داخلی داده می شود نمونه هایی از فضاهای Banach است. در حالی که یک فضای هیلبرت همیشه یک فضای Banach است ، اما برعکس نیازی به جا ندارد. بنابراین ، ممکن است یک فضای Banach هنجار داده شده توسط یک محصول داخلی را نداشته باشد.آیا فضاهای Banach فضاهای متریک هستند؟
یک فضای متریک کامل نیازی به یک فضای کاملاً هنجاردار ندارد. یک فضای کاملاً هنجاردار را فضای Banach نیز می نامند! از آنجا که هر هنجاری متریک را القا می کند ، این فضاهای Banach در مجموعه تمام فضاهای متریک کامل قرار دارند.تعریف فضای هیلبرت: با توجه به توضیحات داده شده، «فضای هیلبرت» (Hilbert Space) که با نماد H نشان داده می‌شود، یک فضای ضرب داخلی روی مجموعه اعداد حقیقی یا مختلط است که نسبت به تابع فاصله ایجاد شده از ضرب داخلی، یک فضای متریک کامل (Complete Metric Space) نیز هست.فضای برداری R3 و ضرب داخلی (Inner Product) بردارها را در نظر بگیرید. فرض کنید Xو Y دو بردار در این فضای سه بُعدی باشند. در این صورت ضرب داخلی یا همان ضرب نقطه‌ای (Dot Product) آن‌ها به صورت زیر نمایش داده می‌شود.$\large { \displaystyle { \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix}} \cdot { \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{pmatrix} } = x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + x_{3} y_{3} \, }$واضح است که نتیجه ضرب نقطه‌ای دو بردار در چنین فضایی، یک عدد حقیقی است.
در تعریف فضای هیلبرت دو نکته مشخص است. اول آن که این فضا حاصل از یک فضای ضرب داخلی است و دوم فضای هیلبرت یک فضای متریک کامل خواهد بود. در ادامه هر یک از ویژگی‌ها را بیشتر مورد تجزیه و تحلیل قرار می‌دهیم.فضای ضرب داخلی و فضای هیلبرتفضای هیلبرت، یک فضای ضرب داخلی است. به این ترتیب مشخص است که
H یک فضای برداری مختلط است که ضرب داخلی روی آن برای هر زوج از بردارها دارای خواص زیر است.
ضرب داخلی یک عمل متقارن نسبت به مزدوج مختلط است. به این معنی که رابطه زیر بین دو بردار مختلط x و y و ضرب داخلی بین آن‌ها وجود دارد.$\large { \displaystyle \langle y , x \rangle = { \overline { \langle x,y \rangle } } \, }$رب داخلی نسبت به اولین مولفه، دارای خاصیت خطی است. به این ترتیب برای دو عدد مختلط مثل a و b خواهیم داشت$\large {\displaystyle \langle ax_{1} + bx_{2},y\rangle = a \langle x_{1},y \rangle + b \langle x_{2}, y \rangle \,}$ضرب داخلی هر عنصر در خودش، معین مثبت (Positive Definite) است. به این معنی که رابطه زیر برقرار است$\large { \displaystyle { \begin{cases} \langle x , x \rangle > 0 & x \neq 0 \\ \langle x , x \rangle = 0 & x = 0 \, \end{cases} } }$با در نظر گرفتن این ویژگی‌ها باز هم مشخص است که ضرب داخلی مختلط، یک ترکیب خطی مزدوج نسبت به مولفه دوم نیز هست.$\large { \displaystyle \langle x , ay_{1} + by_{2} \rangle = { \bar {a}} \langle x, y_{1} \rangle + { \bar {b}} \langle x,y_{2} \rangle \, }$باید توجه داشته باشید که فضای هیلبرت در مجموعه اعداد حقیقی یا بردارهای حقیقی نیز به همین شکل و ترتیب تعریف می‌شود. با این تفاوت که ضرب داخلی بردارها، مقادیر حقیقی و ترکیب خطی از هر دو مولفه اول و دوم است از طرفی تابع فاصله در این فضا بر حسب ضرب داخلی به صورت زیر تعریف می‌شود.$\large { \displaystyle d(x,y) = \|x – y \| = { \sqrt { \langle x – y ,x – y \rangle }} \,}$واضح است که چنین تابعی در نامساوی مثلثی صدق خواهد کرد در نتیجه، ضرب داخلی به این شکل، یک متر و فضای حاصل یک فضای متریک خواهد بود.
$\large { \displaystyle d( x , z ) \leq d( x , y ) + d( y , z ) \,}$نکته: نامساوی مثلثی (Triangle Inequality) در فضای ضرب برداری ناشی از «نامساوی کوشی- شوارتز» (Cauchy-Schwarz Inequality) است که به صورت زیر بیان می‌شود. نامساوی کوشی- شوارتز به شرط وجود وابستگی خطی بین x‌ و y حاصل می‌شود.$\large { \displaystyle { \bigl | } \langle x , y \rangle { \bigr |}\leq \| x\ | \, \|y \| }$به توجه به تعریفی که از تابع فاصله (Distance Function) داریم، می‌توان هر فضای ضرب داخلی (Inner Product Space) را یک فضای متریک (Metric Space) نیز در نظر گرفت.حال دو بردار uو v را در فضای هیلبرت H در نظر بگیرید که در آن ⟨u,v⟩=0 است. به این معنی که این دو بردار در این فضا بر یکدیگر عمودند. در این حالت از نماد u⊥v استفاده می‌کنیم.در حالت عمومی‌تر زمانی که S یک زیر فضای از H باشد، نماد u⊥S بیانگر آن است که بردار u بر هر برداری از زیرفضای S عمود است.زمانی که دو بردار u و v بر هم عمودند، رابطه زیر برقرار خواهد بود.$\large { \displaystyle \|u + v\|^{2} = \langle u + v , u + v \rangle = \langle u , u \rangle + 2 \, \operatorname {Re} \langle u , v \rangle + \langle v , v \rangle =\|u\|^{2} + \|v\|^{2} }$می‌توان به کمک استقرا برای خانواده‌ای از n بردار به صورت u1,…,un که بر یکدیگر عمودند، رابطه زیر را نوشت$\large { \displaystyle \| u_{1} + \cdots + u_{n}\|^{2}=\|u_{1}\|^{2} + \cdots + \|u_{n}\|^{2}\,.} { \displaystyle \|u_{1 }+ \cdots +u_{n}\|^{2}}$
براساس تعریف، هر فضای هیلبرت، یک «فضای باناخ» (Banach Space) محسوب می‌شود. به این ترتیب تساوی مربوط به «قانون متوازی‌الاضلاع» (Parallelogram identity) نیز برقرار است.$\large AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2 )$به بیان دیگر مجموع مربعات قطرهای یک متوازی الاصلاع با دو برابر مجموع مربعات دو ضلع مجاور برابر است.چنین رابطه‌ای نیز در فضای هیلبرت برقرار خواهد بود. به این ترتیب برای هر دو بردار u و v از فضای هیلبرت داریم:$\large { \displaystyle \|u+v\|^{2} + \|u-v\|^{2}=2\left(\|u\|^{2} + \|v\|^{2} \right)\,.}$و برعکس هر فضای باناخ که در نامساوی متوازی‌الاضلاع صدق کند، یک فضای هیلبرت خواهد بود و ضرب داخلی به شکل منحصر به فردی براساس نرم یک بردار نشان داده می‌شود.در این حالت در فضاهای حقیقی هیلبرت رابطه زیر برای محاسبه ضرب داخلی دو بردار براساس اندازه یا نرم آن‌ها نوشته می‌شود.$\large { \displaystyle \langle u,v \rangle = { \frac {1}{4}} \left( \| u + v \|^{2 } – \|u – v\|^{2} \right)\,.}$و در فضاهای مختلط هیلبرت نیز این تساوی به صورت زیر خواهد بود.$\large { \displaystyle \langle u , v \rangle = { \tfrac {1}{4}} \left( \| u + v \|^{2}- \| u – v \|^{2} + i \| u + iv \|^{2} – i \| u – iv \|^{2}\right) \,.}$
.i hope i helped roham hesami smile260 smile261 smile072
تصویر

نمایه کاربر
Player

عضویت : چهارشنبه ۱۳۹۹/۱۰/۱۷ - ۰۲:۴۳


پست: 17

سپاس: 5

Re: فضاهای خطی و غیر خطی

پست توسط Player »

اگر یک مجموعه داشته باشیم و بین اعضای آن مجموعه یک سری رابطه تعریف کنیم، فضا خواهیم داشت. اعضای یک مجموعه می توانند اعداد باشند. رابطه بین اعضا، می تواند جمع و ضرب و ... باشد. مثلا فضای اعداد حقیقی.

1. در ابتدا فضای دلخواه خود را تعریف میکنیم. این فضا، می تواند زیر مجموعه فضاهای دیگر باشد و روابط آن ها بر اعضایش حاکم باشد. پس از داشتن فضا می توانیم با توجه به روابط حاکم، از هندسه سخن بگوییم. به عوان مثال بعد از تعریف فضای اقلیدسی که خود زیر مجموعه ای از فضای ضرب نقطه ای است، می توانیم در مورد زوایا صحبت کنیم، توازی و ... را بررسی کنیم.

2. بله، خط اول https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space

3. فضایی که در آن ضرب داخلی، همراه با نرم و متریک و ... تعریف میشود (مثل فضای اقلیدسی یا هیلبرت) زیر مجموعه ای از دو فضای خطی، و فضای توپولوژیکی به شمار می رود. چرا این فضا که از طرفی، نیاز به مفهوم نزدیکی (closeness) فضاهای توپولوژیکی دارد (تا متریک و فاصله معنی بیابد) و از طرف دیگر مفاهیمی مثل جمع و ضرب و عضو خنثی فضاهای خطی را لازم دارد.

4. ....

5. فضای اقلیدسی، زیر مجموعه ای از فضای ضرب داخلی است که روی میدان اعداد حقیقی تعریف شده. فضای ضرب خطی، همانطور که در مود 3 گفته شد زیر مجموعه ای از فضای خطی به شمار می رود، پس فضای اقلدسی زیر مجموعه دوری از فضای برداری اعداد حقیقی (فضای خطی) به شمار می رود.

6. فضای هیلبرت زیر مجموعه ای از فضای ضرب نقطه ای است، مورد 3.

7. فضای توپولوژیک که در آن بیشتر با مفهوم مجموعه ها سر و کار داریم.

8 - 9: از آنجایی که تعریف ساختار برای فضا، دلبخواهی است همیشه می توان فرایضی را در نظر گرفت که در هیچ کدام از فضاهای یاد شده صادق نباشد.

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 747

سپاس: 434

جنسیت:

تماس:

Re: فضاهای خطی و غیر خطی

پست توسط rohamjpl »

چه تفاوتی بین فضای دکارتی و فضای اقلیدسی وجود دارد؟
از یکی از تعاریفی که دیدم ، فضای دکارتی یکی از دو یا سه بعد است که در آن محورها به طور متقابل عمود هستند. یک فضای اقلیدسی نیز دارای محورهای عمود متقابل است ، اما می تواند فضاهای بالاتر از سه بعد را نشان دهد.نقطه را در صفحه اقلیدسی می توان به طرق مختلف نوشت: یا با استفاده از سیستم مختصات دکارتی ، یا سیستم مختصات قطبی. این همان نکته است که p از دو طریق قابل نوشتن است ... اگر می گوییم صفحه اقلیدسی ، این به معنای ساده این است که ما بدیهیاتی می دهیم و بر اساس آن بدیهیات از قضیه استفاده می کنیم. اما اگر می گوییم صفحه دکارتی ، این بدان معناست که ما با بدیهیات اقلیدسی روش ارائه نمای نقاط را ارائه می دهیم.
این بدان معنی است: هواپیمای اقلیدسی یعنی ما فقط یک سری بدیهی داریم
صفحه دکارتی به معنای صفحه اقلیدسی + یک روش ثابت برای نمایش نقاط است.
فضای منیفولد چیست؟
در ریاضیات ، منیفولد یک فضای توپولوژیکی است که به صورت محلی شبیه فضای اقلیدسی نزدیک هر نقطه است. ... اگرچه یک منیفولد به صورت محلی به فضای اقلیدسی شباهت دارد ، به این معنی که هر نقطه دارای یک محوطه همومورفیک با یک زیرمجموعه باز از فضای اقلیدسی است ، اما در سطح جهان ممکن است با فضای اقلیدسی همومورف نباشد.منیفولد چگونه تعریف می شود؟
منیفولد یک فضای توپولوژیکی است که به صورت محلی اقلیدسی است (به عنوان مثال ، در اطراف هر نقطه ، محله ای وجود دارد که از نظر توپولوژیکی همان توپ واحد باز است.). برای نشان دادن این ایده ، اعتقاد قدیمی به زمین صاف بودن را در نظر بگیرید که با شواهد مدرن گرد بودن آن در تضاد است.
آیا منیفولد ها فضای بردار هستند؟
بنابراین همانطور که می بینید ، منیفولدها فضای صاف / محدودتری نسبت به فضاهای برداری هستند و در صورت برآورده کردن بدیهیات مربوطه ، می توانند از یک به دیگری تبدیل شوند. اما مراقب باشید ، هر منیفولد یک فضای بردار نیست (به طور کلی صحبت می کند) ، و هر فضای بردار نمی تواند منیفولد باشد.
آیا یک منیفولد به صورت محلی جمع و جور است؟
فضاهای محلی هاوسف جمع و جور که جمع و جور نیستند
منیفولد های توپولوژیکی دارای خصوصیات محلی فضاهای اقلیدسی هستند و بنابراین همه آنها به صورت محلی فشرده هستند. این حتی شامل منیفولدهای غیرتراکم مانند خط طولانی است.
یک منیفولد نیازی به اتصال نیست ، اما هر منیفولد M یک اتصال جدا از منیفولد متصل است. اینها فقط اجزای متصل M هستند ، که مجموعه های باز هستند زیرا منیفولدها به صورت محلی متصل می شوند. در صورت اتصال محلی مسیر ، یک منیفولد به مسیر متصل است اگر و فقط در صورت اتصال باشد.
آیا RN منیفولد است؟
(الف) فضای اقلیدسی Rn خود یک منیفولد صاف است. شخص به سادگی از نقشه هویت Rn به عنوان یک سیستم مختصات استفاده می کند.
انواع دیگر هندسه ای که در این سوال ذکر کردید موارد خاصی از هندسه ریمانی است که چارچوبی بسیار انعطاف پذیر برای مطالعه انواع هندسه است. این ماده اشیایی را به نام منیفولد با متریک بر روی آنها ، به معنای مفهوم فاصله ، مطالعه می کند. "منیفولد" یک تعریف فنی دارد ، اما تقریباً منیفولد فضایی است که می تواند توسط سیستم های مختصات پوشانده شود. سیستم مختصات نقشه برداری از یک قطعه از فضای دکارتی به منیفولد است. فواصل روی منیفولد لازم نیست با فواصل فضای دکارتی مطابقت داشته باشد. بنابراین برای مطالعه منیفولدها ابتدا باید هندسه دکارتی را مطالعه کرد.
آشنا ترین منیفولدهای خاص بسیار متقارن هستند. تمام نقاط از این نظر معادل هستند که تحولی در کل فضا ایجاد می شود که فواصل را حفظ می کند و یک نقطه را به نقطه دیگر منتقل می کند. تمام جهاتی که از یک نقطه دور می شوند نیز از این نظر معادل هستند که می توانند در اطراف چرخانده شوند. همانطور که در پاسخ دیگری اشاره شده است ، از تقارن ها برای طبقه بندی هندسه ها استفاده شده است. علاوه بر هندسه اقلیدسی (که دارای انحنای صفر است) هندسه کروی (دارای انحنای مثبت) و هندسه هذلولی (که دارای انحنای منفی است) نیز وجود دارد. نوع انحنایی که به آن اشاره می کنم می تواند منفی باشد زیرا (مثلاً برای یک سطح در فضا) این محصول انحنا در جهات مختلف است. در یک نقطه زین (نقطه زین - ویکی پدیا) زیرا سطح از دو جهت به طور مخالف خم می شود ، در نقطه زین دارای انحنای منفی است.
فضای دکارتی (مختصات نیز شناخته می شود) و فضای اقلیدسی متفاوت هستند زیرا در فضای مختصات شخص مختصات را انتخاب کرده است. فضای اقلیدسی فضایی بدون سیستم مختصات است. ساختار یکی بیشتر از دیگری است.
بقیه این پاسخ تلاشی است برای فهم معنای این تمایز ، و احساس راحتی در کنارگذاشتن آن.
گاهی اوقات یک فضای اقلیدسی به گونه ای تعریف می شود که هیچ سیستم مختصات خاصی را پیشنهاد نمی کند ، و در چنین حالتی می توان به راحتی درک کرد که منظور از نداشتن سیستم مختصات چیست. اگر کسی یک سیستم مختصات داشته باشد ، مردم گاهی اوقات آن را با فیات از ساختار خارج می کنند ("سیستم مختصات را فراموش کنید")!
تفاوت بین "داشتن" و "نداشتن" یک ساختار تمایز تا حدی ظریف است ، و من مطمئن نیستم که چگونه بهترین روش را توضیح دهم. این مفهوم از مقادیر مختلف ساختار ویژگی ریاضیات مدرن است و من فکر می کنم بیشتر ما که ریاضیات را می خوانیم سرانجام فقط آن را در سطح شهودی انتخاب می کنیم ، اما می خواهم ببینم آیا می توانم آن را برای شما توضیح دهم.
من فکر می کنم حذف ساختار تا حدودی مانند سیاست عدم تبعیض است: در یک فضای اقلیدسی ، همه سیستم های مختصات باید در یک سطح برابر قرار بگیرند.
در اینجا یک مورد مشابه وجود دارد که ممکن است کمک کند. مجموعه ها و مجموعه های سفارش داده شده یک نوع چیز در نظر گرفته نمی شوند ، زیرا یک مجموعه سفارش یافته به عنوان بخشی از ساختار خود به یک سفارش خاص مجهز می شود. اگر مجموعه ای دارید ، می توانید آن را سفارش دهید ، بنابراین ترتیب مجموعه وجود دارد ، اما هیچ سفارش خاصی به عنوان "سفارش" تعیین نشده است.
هنگامی که افراد این نوع تفکر را رسمی می کنند ، تمایل دارند این کار را از نظر تغییر شکل و تقارن انجام دهند (که به این ترتیب یک دسته تعریف می شود). مجموعه ای از 10 عنصر یک چیز بسیار متقارن در نظر گرفته می شود (با 10! = 3،628،800 تقارن) اما یک مجموعه از 10 عنصر مرتب شده هیچ تقارن غیرپیشرفته ای ندارد. به هر عنصر مکانی اختصاص داده شده است. برای هر مجموعه 10 عنصری 3،628،800 مجموعه سفارش داده شده مرتبط وجود دارد. با توجه به مجموعه ای سفارش داده شده ، می توانیم مجموعه را با "فراموش کردن" سفارش بدست آوریم.
من فضای مختصات سه بعدی را یک چیز می دانم. فضاهای اقلیدسی سه بعدی یک کلاس از اشیا باز هستند (اگرچه همه به یک شکل به نظر می رسند) و تحولات روی آنها نگاشت هایی است که فاصله ها را یکسان نگه می دارد ، که تعداد زیادی از آنها وجود دارد.
جواب 8 به طور معمول ، رفتار یک سیستم غیرخطی در ریاضیات توسط یک سیستم معادلات غیرخطی توصیف می شود ، که مجموعه ای از معادلات همزمان است که ناشناخته ها (یا توابع ناشناخته در مورد معادلات دیفرانسیل) به عنوان متغیرهای چند جمله ای درجه نشان داده می شوند بالاتر از یک یا در آرگومان تابعی که چند جمله ای درجه یک نیست. به عبارت دیگر ، در یک سیستم معادلات غیرخطی ، معادله (های) قابل حل را نمی توان به عنوان ترکیبی خطی از متغیرها یا توابع ناشناخته ای که در آنها ظاهر می شود ، نوشت. صرف نظر از اینکه توابع خطی شناخته شده در معادلات ظاهر می شوند ، می توانند به صورت غیرخطی تعریف شوند. به طور خاص ، یک معادله دیفرانسیل خطی است اگر از نظر تابع ناشناخته و مشتقات آن خطی باشد ، حتی اگر از نظر سایر متغیرهای ظاهر شده در آن غیر خطی باشد.چه تفاوتی بین معادله خطی و غیرخطی وجود دارد؟
Linear به معنای چیزی است که به یک خط مربوط می شود. تمام معادلات خطی برای ساخت یک خط استفاده می شود. معادله غیرخطی به گونه ای است که یک خط مستقیم را تشکیل نمی دهد. به نظر می رسد یک منحنی در نمودار است و دارای مقدار شیب متغیر است
چگونه می توان فهمید که تابعی خطی است یا غیرخطی؟
یک تابع خطی دارای سرعت ثابت تغییر است. یک تابع غیرخطی نمی کند. یک تابع دارای یک نرخ ثابت تغییر است اگر نرخ تغییر آن بین هر دو نقطه یکسان باشد.توابع خطی و غیرخطی چیست؟
تابع خطی یک رابطه بین دو متغیر است که هنگام رسم یک خط مستقیم تولید می کند. عملکرد غیر خطی یک تابع غیر خطی تابعی است که هنگام رسم خط ایجاد نمی کند
جواب 6 فضای محصول یک فضای خطی هنجاردار است. نابرابری کوشی-شوارتز بیان می کند که | 〈f ، g〉 | g f g برای هر f ، g ∈ H. اگر فضای محصول داخلی H کامل باشد ، آن را فضای Hilbert می نامند. به عبارت دیگر ، فضای هیلبرت یک فضای Banach است که هنجار آن توسط یک محصول درونی تعیین می شود.آیا فضاهای هیلبرت فضاهای Banach هستند؟
فضای بی نهایت بعدی می تواند هنجارهای مختلفی داشته باشد. ... فضاهای هیلبرت با هنجارهایشان که توسط محصول داخلی داده می شود نمونه هایی از فضاهای Banach است. در حالی که یک فضای هیلبرت همیشه یک فضای Banach است ، اما برعکس نیازی به جا ندارد. بنابراین ، ممکن است یک فضای Banach هنجار داده شده توسط یک محصول داخلی را نداشته باشد.آیا فضاهای Banach فضاهای متریک هستند؟
یک فضای متریک کامل نیازی به یک فضای کاملاً هنجاردار ندارد. یک فضای کاملاً هنجاردار را فضای Banach نیز می نامند! از آنجا که هر هنجاری متریک را القا می کند ، این فضاهای Banach در مجموعه تمام فضاهای متریک کامل قرار دارند.
چه تفاوتی بین فضای باناخ و فضای هیلبرت وجود دارد؟
فضای Banach B یک فضای برداری کاملاً هنجاری شده است. از نظر کلیت ، جایی بین فضای متریک M (که متریک دارد ، اما هیچ هنجاری ندارد) و یک فضای هیلبرت H (که دارای محصولی درونی است و از این رو یک هنجار است ، که به نوبه خود متریک را القا می کند) قرار دارد.فضای کاملاً هنجار شده چیست؟
اگر یک فضای خطی هنجار شده X یک فضای خالی خطی کامل از هم اندازه متناهی n در X داشته باشد ، X کامل است و X به طور طبیعی یکسان (به عنوان LCS) با Y ⊕ n است. اثبات این امر بسیار آسان است و با القای n ادامه می یابد
آیا l1 فضای هیلبرت است؟
ℓ1 ، فضای توالی هایی که سری آنها کاملاً همگرا است ، ℓ2 ، فضای توالی های قابل جمع شدن مربع ، که یک فضای هیلبرت است و. ℓ∞ ، فضای توالی های محدود شده است.
فضای Banach در تحلیل عملکردی چیست؟
بنابراین ، یک فضای Banach یک فضای بردار با متریک است که امکان محاسبه طول و فاصله بردار بین بردارها را فراهم می کند و کامل است به این معنا که یک دنباله کاکتور از بردارها همیشه به یک حد مشخص شده درون فضا همگرا می شود. ... فضاهای باناخ نقشی محوری در تحلیل عملکرد دارند. فضای باناخ در حقیقت یک «فضای برداری کامل نرم‌دار» (Complete Normed Vector Space) است. این امر به این معنی است که در فضای باناخ، می‌توان به کمک یک متر (Meter) طول هر بردار را اندازه‌گیری کرد. به همین ترتیب فاصله بین دو بردار نیز به کمک تابع فاصله (نرم) قابل محاسبه خواهد بود. از طرفی این فضا، کامل است، یعنی دنباله‌ای کوشی از بردارها در این فضا دارای حد است
فضاهای هیلبرت ساختار ساده تری دارند و به نوعی (اکثر اوقات بی نهایت) فضاهای اقلیدسی هستند. با این حال ، بسیاری از فضاهای مورد علاقه که فضاهای Banach هستند ، فضاهای Hilbert نیستند ، از این رو نیز مهم هستند.
برای دیدن اینکه آیا یک فضای باناخ فضای هیلبرت است یا خیر کافی است که نشان دهیم این هنجار قانون متوازی الاضلاع را برآورده می کند. به عبارت دیگر ، اگر ما یک فضای X Banach داشته باشیم به گونه ای که
$\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2$
برای همه $x,y\in X$ پس X در واقع یک فضای هیلبرت است.
$\|x+y\|^2=\langle x+y,x+y\rangle$
و$\|x-y\|^2=\langle x-y,x-y\rangle.$
نتیجه این است$\langle x,y\rangle=\frac{\|x+y\|^2-\|x-y\|^2}{4}.$
.i hope i helped roham hesami smile260 smile261
تصویر

ارسال پست