تانسور متریک چه کاربردی دارد؟

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
ali ghiassi nia

عضویت : پنج‌شنبه ۱۴۰۰/۱/۱۲ - ۱۹:۵۸


پست: 5



تانسور متریک چه کاربردی دارد؟

پست توسط ali ghiassi nia »

سلام دوستان عزیز،یه سوالی دارم اونم اینه که تانسور متریک کاربردش چیه؟ البته می‌دونم که تو نسبیت عام کاربر داره ،

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 494

سپاس: 248

جنسیت:

تماس:

Re: تانسور متریک چه کاربردی دارد؟

پست توسط rohamjpl »

تانسورTensor، نقطه‌ای از فضا است که توسط یک یا چند شاخص که بیانگر مرتبه آن است، توصیف می‌شود مثال ماتریس خودش یک تنسور هست. بردار خودش تنسور هست .هر تانسور از مرتبه ی n در فضایی m- بعدی، ساختاری ریاضیاتی است که n شاخص و مولفه دارد که از قوانین تبدیلات مختصاتی پیروی می کند.
هر شاخص تانسور، فقط مقادیری در محدوده ی تعداد بعدهای فضای تعریفی اختیار می کند. با این حال دخالت ابعاد فضایی تا حدود زیادی در معادلات تانسوری نامربوط به نظر می رسد. تانسورها نوع عمومی تر اسکالرها ( که فاقد شاخص هستند) ،بردارها (که تنها دارای یک شاخص اند) و نیز متریک ها (که فقط دو شاخص دارند) می باشند که می توانند تعداد دلخواه شاخص اختیار کنند.
tl؛ dr: "متریک" روشی کلی برای اندازه گیری فاصله است.
من ساده عنوان کنم هر نقطه در سیستم مختصات دارای تنسور متریک خاص خود است. سیستم مختصات اقلیدسی ما در همه جا دارای تنسور متریک یکسانی است. در فیزیک یا ریاضیات پیشرفته ، ما باید با فضاهای غیر اقلیدسی با تانسور متریک متغیر در هر نقطه کنار بیاییم. بنابراین بیایید درک کنیم که این چگونه کار می کند ..
فاصله بین دو نقطه یا زاویه بین دو بردار را در صفحه یا در فضای اقلیدسی چگونه محاسبه خواهید کرد؟
ساده است ، ما هندسه اقلیدسی را اعمال می کنیم ، درست است؟ ما dx و dy را اندازه می گیریم ، از فیثاغورس برای محاسبه فاصله استفاده می کنیم ، به همین ترتیب با استفاده از محصول نقطه می توانم زاویه را محاسبه کنم. حال ، چگونه فاصله بین دو نقطه یا زاویه روی کره ، یا زمین یا هر سطح پیچیده را اندازه گیری می کنید. این واقعاً دشوار است زیرا ما نمی توانیم از هندسه اقلیدسی خود در اینجا استفاده کنیم.برای انجام این کار ، اجازه دهید اینها را حل کنیم ...
بگذارید فرض کنیم من یک ورق لاستیکی دارم ، اگر دو نقطه را روی این ورق بکشم ، فاصله بین دو نقطه چقدر است. فقط فاصله اقلیدسی آن است.
$(dr)^2 = (dx)^2 + (dy)^2;$
فرض کنید ، من ورق لاستیک را در جهت x من 2برابر کشیده ام ، اکنون فاصله…$(dr)^2 = (2dx)^2 + (dy)^2;$
اگر ورق لاستیک را در جهت y من 2 برابر بکشم ، اکنون فاصله خواهد بود ..$(dr)^2 = (dx)^2 + (2dy)^2;

$اگر ورق لاستیک را به ترتیب در دو جهت y و x به ترتیب 2 و 3 برابربکشم کنم ، اکنون فاصله بین نقاط خواهد بود.$(dr)^2 = (2dx)^2 + (3dy)^2;$
اگر من همان ورق را در جهتی تصادفی بکشم ، چه می شود. اکنون ، فاصله بین نقاط مانند قبل نیست. چگونه فاصله کشیده نشده را به فاصله کشیده شده مرتبط کنیم.
اگر ورقها در هر جهت تصادفی به طور یکنواخت کشیده شوند ، سپس فاصله خواهد بود$(dr)^2 =g11(dx)^2 +(g12+g21)(dxdy)^2 +g22(dy)^2$
از این رو ، کل اطلاعات کششی توسط این هم رده ها (g11 ، g12 ، g21 ، g22) ضبط می شود.
و این اطلاعات کششی در ساختار داده کارآمد یعنی تانسور ذخیره می شود ، که به آن تانسور متریک می گویند.
تانسور فقط یک شی ریاضی برای ذخیره داده ها است (ساختار داده در ریاضیات) تانسور رتبه 0 مقیاس پذیر است ، تانسور رتبه اول بردار است ، تانسور درجه 2 ماتریس است ... زمان در اسکالر ، نیرو در بردار ذخیره می شود ، فضای متریک با تانسور مرتبه 2 نشان داده می شود. به همین ترتیب ، انیشتین از تنسورهای درجه 4 برای ذخیره اطلاعات انحنای فضا-زمان استفاده می کند.
از این رو ، اگر من بدانم که ورق من تا چه اندازه و در چه جهتی کشیده شده است ، می توانم فاصله بین دو نقطه را به راحتی محاسبه کنم. به عبارت دیگر ، اگر من تنسور متری ورق کشیده را بدانم ، می توانم فاصله بین هر دو نقطه را با معادله محاسبه کنم$(dr)^2 =g11(dx)^2 +(g12+g21)(dxdy)^2 +g22(dy)^2$
این تنسور متریک (اطلاعات کششی صفحات اقلیدسی) چه کاربردی دارد؟ بنابراین بیایید به مسئله اصلی خود برگردیم ، نحوه محاسبه فاصله بین دو نقطه در هر سطح پیچیده.
بگذارید دو نقطه روی کره (سطح می تواند هر چیزی مانند بطری ، یا هر سطح پیچیده ای باشد) را در نظر بگیریم. تصور کنید ، شما یک ورق لاستیکی می گیرید و آن را می کشید اما می خواهید سطح کروی آن را تقریبی کنید ، به طوری که شکل اصلی کره از بین نرود و آن را بچسبانید (توجه داشته باشید من از وصله های لاستیکی استفاده می کنم زیرا می توانم آن را تغییر شکل دهم اما می خواهم هر سطح را تقریبی کنم) . و اطلاعات کششی را یادداشت کنید ، یعنی Tensor متریک (به عنوان مثال g11 ، g12 ، g21 ، g22). حالا ، بین آن دو نقطه روی ورق لاستیک یک خط بکشید و آن ورق لاستیک را بردارید.
اکنون که ورق لاستیک به حالت کشیده نشده اصلی خود برمی گردد ، من می توانم (dx ، dy) را روی ورق لاستیک خود قرار دهم. بنابراین ، اکنون اطلاعات کشیده dx ، dy و (g11 ، g12 ، g21 ، g22) (متریک تنسور) را که یادداشت کردم ، آورده ام. بنابراین ، من می توانم فاصله بین آن دو نقطه روی سطح را با استفاده از معادله محاسبه کنم:
$(dr)^2 = g11(dx)^2 + g12(dxdy)+g21(dydx)+g22(dy)^2;$
از این رو ، با افزایش این وصله های لاستیکی (فضاهای تغییر شکل دهنده اقلیدسی) می توانم هر سطح پیچیده ای را بهتر تخمین بزنم. در حالت ایده آل ، هر سطح 100٪ با تکه های نامحدود (Manifolds Riemannian) تقریب می یابد. و هر پچ اطلاعات کششی خود را دارد (metric_tensor). همانطور که من اطلاعات کشش تمام ورق را می دانم ، اکنون می توانم فاصله بین هر دو نقطه از هر سطح پیچیده را با جمع ساده محاسبه کنم ، که چیزی غیر از فاصله Geo_desic نیست. زاویه یکنواخت بین هر دو بردار را می توان با استفاده از تانسور متریک محاسبه کرد.
از این رو ، اطلاعات کل سطح توسط این تکه های کوچک از طریق اطلاعات کشش فضایی که Metric Tensor نامیده می شود ، گرفته می شود.
تانسور متریک کره است
این بدان معنی است که برای تقریبی سطح شعاع (R) توسط وصله در نقطه خاص (x ، y ، z) یا (R ، تتا ، فی) در مختصات کروی ، باید ورق لاستیکی خود را R ^ 2$ $بار بکشم جهت x و R ^ 2sin (tetha) بار در جهت y. هنگامی که با این ورق های لاستیکی تقریب می خورید ، می توانید مشاهده کنید که فاصله واحد روی ورق لاستیک در موقعیت مختلف کره متفاوت است. به طور مشابه ، هر سطح پیچیده ای دارای سنسورهای متریک (اطلاعات کششی) خاص خود به عنوان تابعی از موقعیت روی سطح است. این نوع تقریب سطحی ما را قادر می سازد زاویه ها و فواصل را روی هر سطح پیچیده ای به راحتی محاسبه کنیم.تعمیم به فضاهای غیر اقلیدسی بعدی N
قضیه تعبیه نش می گوید ، ما می توانیم با کشش هر سطح پیچیده M (منیفولد) با فضای اقلیدسی (M-1) بعدی (در اینجا کره 3D با تکه های ورق لاستیکی 2D تقریب خورده است) تقریبی دهیم. و هر نقطه بر روی این منیفولد N دارای تنسور متریک خاص خود است (اطلاعات کشش پچ). این تقریب اقلیدسی ما را قادر می سازد تا از هندسه اقلیدسی خود در فضاهای غیر اقلیدسی مانند منیفولد های ریمانی استفاده کنیم.توجه: هر نقطه در سیستم مختصات (اقلیدسی ، قطبی ، هر زمان فضایی انیشتین ، هر سطح) دارای فضای برداری خاص خود است. و هر فضای بردار فضای متریک خاص خود را دارد (تانسور متریک). این معیار ما را قادر می سازد فاصله ، مساحت ، زاویه یا حجم را در آن فضا محاسبه کنیم. بدون تانسور متریک ، ما نمی توانیم چیزی را در فضا اندازه گیری کنیم. در سیستم مختصات اقلیدسی ، هر نقطه دارای فضای برداری یکسانی است ، بنابراین معیار در کل فضا یکسان است. اما سطوح پیچیده دارای فضای برداری متغیر هستند ، از این رو متریک با موقعیت تغییر می کند.
تنسور متریک فضای سه بعدی اقلیدسی.
این نشان می دهد که فضا در هر نقطه از فضا کشش ندارد.
تانسور متریک فضای بعدی غیر اقلیدسی ، کشش فضا تابعی از موقعیت است.
از این رو ، هرگونه اطلاعات پیچیده و پیچیده سطح M می تواند توسط این تنسور متریک ضبط شود. این ما را قادر می سازد تا مفهوم فاصله ، زاویه ها و مناطق را روی منیفولدهای پیچیده N-d معرفی کنیم.
تنسور متریک تابعی است که بر روی یک خمینه(مانند سطحی در فضا) تعریف می‌شود که یک جفت بردار تانژانت v و w را به عنوان ورودی گرفته و یک عدد حقیقی (نرده ای) (g(v,w تولید می‌کند، به گونه‌ای که بسیاری از ویژگی‌های آشنای ضرب داخلی بردارها در فضای اقلیدسی را تعمیم می‌دهد. شبیه به ضرب داخلی، تنسورهای متریک برای تعریف طول بردارهای تانژانت و زاویه بین آن‌ها استفاده می‌شود.تانسور k یک تابع چند خطی از V × V × ⋯ × V به واقعی است ، جایی که V یک فضای بردار است و k تعداد V های محصول دکارتی فوق است
تصویر

ارسال پست