تصویر های دانشیک

مدیران انجمن: parse, javad123javad

نمایه کاربر
خروش

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۸۶/۱/۲۳ - ۱۲:۱۵


پست: 3009

سپاس: 2067

Re: تصویر های دانشیک

پست توسط خروش »

تصویر

----
درود و سپاس بر پین گرامی
----

یکی از پیکره‌ های ارشیمدیکی ست Archimedean solid
پیکره های ارشیمدیک:
کوژ (محدب) هستند
هر رخ (وجه) آن یک چندبر بسامان (منتظم) است
و از یک پرینسیپ/الگوی ویژه ای پیروی می کند (در اینجا ۵-۶-۶)
- تنها با بودن پنج‌بَر‌ها در کنار هر دو شش‌بر، پیکره گوشه (زاویه) پیدا کرده و سرانجام "گِرد" می شود. "۵-۶-۶"
- روی هم یک ۶۰ گوش است (کُره نیست)
فولرن Fullerene ؛ مولکول C60: ریختش همانند این توپ فوتبال است، ۶۰ گوشی که در هر گوشه ی آن یک اتم کربن نشسته است.
----
(توپ های که از سال ٢۰۰۶ برای جام جهانی بیرون داده شدند "کاب (مکعب)" های کشیده شده هستند)
دوختنی نیستند، چسبی اند. دوختنی ها نیاز به دست های کوچک و نیرومند بود و آن توپ ها را کودکان در کشورهایی چون پاکستان می دوختند، از این رو پُرگاه به شرکت‌های مانند آدیداس خرده می‌گرفتند.
---
برخی از توپ های فوتبال-دستی با چهاربر و سه بر در کنار هم درست می شود، آنها هم از پیکره های ارشمیدیکی هستند. این توپ ها را کمتر گرد درست می کنند تا از میز بیرون نیافتد. "۴-۳-۴-۳"

4-3-4-3.jpg


--
در کنار پیکره های اشیمدیک، پیکره های پلاتُنی (افلاطونی) ؛نگاه کنید به آواتار من؛ در ریاضی و تاریخ آن جایگاه ویژه ای دارند.
شما دسترسی جهت مشاهده فایل پیوست این پست را ندارید.
گفتم به شیخ شهر كه كارت ریاست، گفت
آنكس كه شیخ هست و ریاكار نیست، كیست

پين

محل اقامت: تهران

عضویت : جمعه ۱۳۸۶/۱۰/۷ - ۰۱:۱۶


پست: 974

سپاس: 611

جنسیت:

Re: تصویر های دانشیک

پست توسط پين »

بیاندیشیم..
شما دسترسی جهت مشاهده فایل پیوست این پست را ندارید.

نمایه کاربر
mmeftahpour

نام: مسعود مفتاح پور

عضویت : یک‌شنبه ۱۳۸۶/۱۰/۲ - ۱۲:۴۲


پست: 457

سپاس: 394

Re: تصویر های دانشیک

پست توسط mmeftahpour »

باسلام
فکر کنم 1 درست باشه.
در حالت دوم هنگام مشتق گیزی ، Cos t ثابت در نظر گرفته شده که در واقع اینطور نیست و cos t تابعی بر اساس x,r است

پين

محل اقامت: تهران

عضویت : جمعه ۱۳۸۶/۱۰/۷ - ۰۱:۱۶


پست: 974

سپاس: 611

جنسیت:

Re: تصویر های دانشیک

پست توسط پين »

مفتاح پور عزیز، سلام به شما smile072

میتوان اینطور گفت که دو نتیجه حاصل شده، هر دو درستند و در شرایط
خودشان، مفهوم خاصی را بیان میکنند. پارادوکس از آنجا شکل میگیرد که
خواننده گمان میبرد هردو نتیجه باید به لحاظ عددی با هم برابر باشند و چون
اینگونه نمیشود، در پی برتری دادن یکی بر دیگری برمی آید. در حالی که چنین
الزامی در میان نیست.

*در حالت اول، تغییرات r نسبت به x حساب شده در شرایطی که: y ثابت باشد.
*در حالت دوم، تغییرات r نسبت به x حساب شده در شرایطی که: تتا(زاویه) ثابت باشد.

پس تفاوت در نتایج حاصل شده، نه تنها نشان پارادوکس نیست بلکه کاملا قابل انتظار
نیز هست (زیرا اینها حقیقتا بیانگر مفاهیمی متفاوت هستند و باید با هم متفاوت باشند)
تصویر زیر هم به نشاندن این مفاهیم در ذهن کمک میکند:
شما دسترسی جهت مشاهده فایل پیوست این پست را ندارید.

نمایه کاربر
mmeftahpour

نام: مسعود مفتاح پور

عضویت : یک‌شنبه ۱۳۸۶/۱۰/۲ - ۱۲:۴۲


پست: 457

سپاس: 394

Re: تصویر های دانشیک

پست توسط mmeftahpour »

P16.jpg
شما دسترسی جهت مشاهده فایل پیوست این پست را ندارید.

نمایه کاربر
m.s.f

نام: میثم

محل اقامت: اسپهان

عضویت : یک‌شنبه ۱۳۹۱/۷/۳۰ - ۱۹:۳۳


پست: 244

سپاس: 119

جنسیت:

تماس:

Re: تصویر های دانشیک

پست توسط m.s.f »

البته فکر کنم بشه 1رو به 2 تبدیل کرد.

می تونی بگی y وابسته است به x اون هم به این شکل:
[tex]y=xtan\theta[/tex]
و:
تصویر
در واقع مجبور شدم تتا رو ثابت فرض کنم(و اگه واقع بینانه تر در نظر بگیری اجباری در کار نیست چرا که این تویی که مشخص میکنی که می خوای کدوم مختصه رو ثابت بگیری و تغییرات دیگری را در ان ثابت)
مثالش میشه تابع موج: بعضی وقتا می خوای تغییرات x رو وقتی زمان ثابته به دست بیاری و برعکس تغییرات زمان رو بر حسب x ثابت(که لزوما تغییراتشون با هم برابر نیست)
و فکر میکنم پین درست میگه.
برای گسترش نظریه ها نباید به اصول نظریه ها مطمئن بود.

پين

محل اقامت: تهران

عضویت : جمعه ۱۳۸۶/۱۰/۷ - ۰۱:۱۶


پست: 974

سپاس: 611

جنسیت:

Re: تصویر های دانشیک

پست توسط پين »

مفتاح پور گرامی، چقدر عالی که دنباله این بحث را گرفته اید. من در مدت سالها
فعالیتم در هوپا، کمتر شاهد این عنصر "پیگیری" در بحث ها بوده ام. به گمانم این
اخلاق میتواند برای همه -دست کم در این تالار ریاضی- سرمشق باشد. به نوبه
خود، چنین سعی هایی را میستایم و سرمهٔ چشم می‌کنم.
----------------------------------------------------------------------------------------


بازگردم به مطلب مورد بحث. تفاوت میان دیفرانسیل کامل(d) و مشتق پاره ای [tex]{\partial}[/tex] نقطه درستی برای شروع بررسی دقیق تر است. فرض بنده بر این است که مفاهیم کلی همانند دیفرانسیل کامل (total derivative) و ماتریس یعقوبی (ژاکوبین) برای دنبال کنندگان این بحث کمابیش آشناست. دوستان قدری اشاره کرده اند، روابطش را تا اندازه ای نوشته اند و بنده آن را بیشتر پی نمیگیرم زیرا همانگونه که همگی میدانیم، تمرکز پرسش مطرح شده، تماما بر روی مشتق پاره ای متمرکز است.

در تصویری که پیشتر آوردم، شاید بهتر میبود اگر از علامت مشتق پاره ای استفاده میشد اما اکنون هم خطایی صورت نگرفته زیرا در هرکدام از دو حالت، پارامتر ثابت ذکر شده است و ذکر این پارامتر، تلویحا به همان[tex]{\partial}[/tex] اشاره خواهد داشت زیرا تنها در مشتق پاره ایست که مجاز به ثابت نگاه داشتن پارامترها هستیم. چنین کاری در دیفرانسیل کامل انجام نمیشود. بنابراین، در تصویر قبلی اگر از [tex]{\partial}[/tex] در نگارش استفاده میشد، مسلما ابهام کمتری را برمی انگیخت اما نگارش به آن شکل (با نماد d ) نیز مشکلی نخواهد داشت تا زمانی که پارامتر ثابت به شکل جداگانه ذکر شده باشد (که چنین است).

پس بر ما معلوم شد که در این پرسش با مشتق کامل سر و کار نداریم. اما در مشتقات پاره ای، منعی برای "پارامتر ثابت" وجود ندارد و دست ما برای ثابت نگاه داشتن هر پارامتری (چه ساده و چه ترکیبی) که بتواند بطور پیوسته تغییر کند، باز است. مثالی میزنم:
تابع دو متغیره f=x+2y را در نظر بگیریم. آنگاه:

الف) مشتق پاره ای f نسبت به y برابر است با "2"، اگر: پارامتر دلخواه x به عنوان "ثابت" در نظر گرفته شود.
ب) مشتق پاره ای f نسبت به y برابر است با "1"، اگر: پارامتر دلخواه y+x به عنوان "ثابت" در نظر گرفته شود.


حالتهای "الف" و "ب" هردو (با شرایط جداگانه ای که دارند) صحیحند. در حیطه مشتق های پاره ای، هیچ برتری برای "الف" نسبت به "ب" وجود ندارد. هر دو صحیحند و نتیجه شان (به لحاظ عددی) هم لازم نیست که با هم برابر شود (همانطور که الزامی به نابرابری نیز نیست).

در این پرسش نیز وضع مشابهیست. به این معنی که:

الف) تغییرات r نسبت به x برابر است با [tex]cos{ \theta}[/tex] اگر: "y" پارامتر ثابت باشد.
ب) تغییرات r نسبت به x برابر است با [tex]cos{ \theta}[/tex]/1 اگر: "تتا" پارامتر ثابت باشد.

این دو بر یکدیگر برتری ندارند. هریک در جای خود صحیح است و مفهومی منحصر به فرد (و در جای خود، سودمند) دارد.
فکر میکنم توانسته ام مقصود خود را منتقل کنم.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

پ ن1: این مبحث مهم و این تمرین را از کتاب "همه آنچه که میخواستید از ریاضیات بدانید اما
ترسیدید که بپرسید"
برگزیده بودم.
http://www.amazon.com/Wanted-Know-about ... 201&sr=1-2


پ ن2: بنا داشتم (و سزا بود) که بیشتر به حواشی ماجرا و تناقض های متنوع دیگری
که دانش آموختگان در این مباحث با آن مواجه میشوند بپردازم. دوستان مرا به فرصت کم خواهند
بخشید و مسلما با پیگیری مطالعاتشان، بحث را بیشتر و بیشتر خواهند شکافت.


-پین

نمایه کاربر
خروش

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۸۶/۱/۲۳ - ۱۲:۱۵


پست: 3009

سپاس: 2067

Re: تصویر های دانشیک

پست توسط خروش »

درود بر دوستان گرامی،
باید دید که تعریف مشتق پاره‌ای در دستگاه دکارتی /قطبی چیست. تا انجا که من جستجو کردم، مشتق پاره ای در دستگاه دکارتی، مشتق پاره ای r و تتا هستند نسبت به x و یا y و در دستگاه قطبی مشتق پاره‌ای x و y نسبت به r و یا تتا.
اگر این چنین باشد، هنگامی که در یک دستگاه نسبت به یک متغیر مشتق پاره ای می گیریم، باید متغیر دیگر را در همان دستگاه ثابت بگیریم. بر این پایه نمی توانیم در دستگاه دکارتی نسبت به x مشتق پاره‌ای بگیریم ولی y را تغییر دهیم.

پس باید پیش از محاسبه، "فونکسیون"، دستگاه ( و با آن دو متغیر و یا دو سویی که باید مشتق پاره ای بگیریم) روشن باشد.

( r (x, y
( θ (x, y
یا
( x (r, θ
( y (r, θ
گفتم به شیخ شهر كه كارت ریاست، گفت
آنكس كه شیخ هست و ریاكار نیست، كیست

پين

محل اقامت: تهران

عضویت : جمعه ۱۳۸۶/۱۰/۷ - ۰۱:۱۶


پست: 974

سپاس: 611

جنسیت:

Re: تصویر های دانشیک

پست توسط پين »

پس باید پیش از محاسبه، "فونکسیون"، دستگاه ( و با آن دو متغیر و یا دو سویی که باید مشتق پاره ای بگیریم) روشن باشد.


یا بطور معادل، هنگام مشتق گیری پاره ای، درست تر است که "پارامتر ثابت" (که دلخواه است)
صریحا ذکر گردد. در نوتاسیون، مرسوم است که وقتی مشتق پاره ای نسبت به یک متغیر میگیرند،
متغیر دوم را بصورن ضمنی (بدون آنکه بنویسند) به عنوان ثابت در نظر میگیند. این کار (انتخاب متغیر
دوم به عنوان پارامتر ثابت) یک اختیار/انتخاب است اما هیچگاه یک "الزام" نیست.
شما دسترسی جهت مشاهده فایل پیوست این پست را ندارید.

نمایه کاربر
خروش

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۸۶/۱/۲۳ - ۱۲:۱۵


پست: 3009

سپاس: 2067

Re: تصویر های دانشیک

پست توسط خروش »

پین گرامی سپاس،

partielle Ableitung.png


اگر درست پی برده باشم، ما در اینجا با دستگاه نوینی سر و کار داریم که در آن نقطه، نه با x و y (دکارتی) تعیین می‌شود و نه با تتا و r (قطبی) . دستگاهی ست که نقطه با تتا و x معین می شود و مشتق پاره‌ای ما در سوی مولفه های تتا و یا x دستگاه نوین است.
(دستگاه نوینی که از پیوندزدن دستگاه قطبی و دکارتی پدید آمده)

-----
من در باره دستگاه های گوناگون، تعریف آنها، شناخت ژرف و پایه‌ای ندارم. تاکنون از آنها تنها چون ابزاری به کار بردم.
شما دسترسی جهت مشاهده فایل پیوست این پست را ندارید.
گفتم به شیخ شهر كه كارت ریاست، گفت
آنكس كه شیخ هست و ریاكار نیست، كیست

نمایه کاربر
Cartouche

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۸۹/۷/۲۹ - ۱۹:۳۶


پست: 1197

سپاس: 957

Re: تصویر های دانشیک

پست توسط Cartouche »

قبل از هرچیز باید از پین عزیز تشکر کنم، که به مشکلی اشاره کردند که برای بسیاری پیش میاید. هرچند که باعث دردسر ِ خودشان هم شد. (شوخی)
به عقیده من، مشکل اصلی از تعریف ِ مشتق پاره ای نتیجه می شود.
متاسفانه اکثر دانشجویان فکر میکنند تعریف مشتق پاره ای در آنالیز این هست که در یک تابع، بقیه متغیرها را ثابت در نظر بگیریم و نسبت به یکی مشتق بگیریم. متغیرها هرچه میخواهند باشند. اما چنین نیست، تعریف مشتق پاره ای از تعریف مشتق سویی گرفته شده است.
تعریف مشتق سویی نسبت به بردار v بصورت زیر است:

[tex]D_{v}f=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(a+h\vec{v})-f(a)}{h}[/tex]
که h یک اسکالر است.
حال مشتق پاره ای همان مشتق سویی است، زمانی که بردار v ، بردار یکه متداول [tex]\mathbb{R}^n[/tex] باشد. مثلن [tex]e_j[/tex]

[tex]\frac{{\partial} f}{{\partial} {x_j}}=D_{ej}f[/tex]
و در این صورت رابطه مشتق سویی ِ بالا به این صورت میشود که بقیه متغیرها را ثابت میگیریم و نسبت به یکی مشتق میگیریم.
اما نکته ای که هست همان یکه متداول بودن ِ متغیرهاست.
اما حالا برگردیم به نکته ی کلیدی که جناب ِ خروش خیلی خوب گفتند:
خروش نوشته شده:اگر درست پی برده باشم، ما در اینجا با دستگاه نوینی سر و کار داریم که در آن نقطه، نه با x و y (دکارتی) تعیین می‌شود و نه با تتا و r (قطبی) . دستگاهی ست که نقطه با تتا و x معین می شود و مشتق پاره‌ای ما در سوی مولفه های تتا و یا x دستگاه نوین است.
(دستگاه نوینی که از پیوندزدن دستگاه قطبی و دکارتی پدید آمده)


در حقیقت کاری که پین عزیز کردند همین هست که گفتید. اما آیا [tex]\hat{x}[/tex] و [tex]\hat{\theta }[/tex] پایه متداولند که پین عزیز در موردشان این کار را کردند؟
مشکل ِ این تناقض دقیقن از همینجا نشئت میگیرد.
یعنی مشتق جزئی گرفتن به این صورت که عنصری را ثابت بگیریم ولی عنصر دیگری را که بر آن عمود نیست ،متغیر جایز نیست و به تناقض منجر میشود.
یعنی ما میتوانیم برای [tex]f(x,y)[/tex] نسبت به متغیرهایش مشتق جزئی بگیریم، برای [tex]f(r,\theta )[/tex] هم میشود، اما برای [tex]f(x,\theta )[/tex] این کار را نمیتوان کرد. (شاید بتوان نوع دیگری برای آن متشق جزئی را تعریف کرد)

اما برگردیم به سوال، در ریاضیات، گاهی مشتق پاره ای نه از روی مشتق سویی، بلکه به صورت یک عملگر تعریف میشود. یعنی برای تابع [tex]f(q1,q2)[/tex] ، متغیرهای q1و q2 هرچه که میخواهند باشند، بدون درنظر گرفتن ِ مفهوم ِ هندسی آنها، عملگر مشتق جزئی روی f اثر میکند و با ثابت گرفتن یکی از q ها و مشتق گیری نسبت به دیگری، عمل ِ خودش را انجام میدهد. در این صورت طبیعی است که به چنین تناقض هایی بخوریم. چرا که تعریفی که از ابتدا کردیم خوب نبوده.
درواقع در کاری که پین عزیز انجام دادند، مشتق جزئی را به صورت عملگر تعریف کردند و همانطوری که خودشان اشاره کردند، نباید انتظار داشته باشیم، دو مقدار یکسان بدهند. چون دو عمل مختلف انجام دادیم.
معمولن اگر رُند را به صورت عملگر تعریف کنیم، بهتر است که از بیان های هندسی خودداری کنیم. در واقع تناقضی که دوستان به آن خوردند و همه حرف درستی را میزدند (هر شخصی که تا قبل از من در این جستار در مورد این پرسش صحبت کرد، هیچ حرف نادرستی نزده)، در واقع از تفاوت تعریف رُند به آن صورت که من گفتم و معمولن در کتاب های آنالیز* به این شکل تعریف میشود، و تعریف رُند به صورت عملگر سرچشمه گرفته، چون وقتی رو به هندسه بیاوریم، دیگر x و تتا، را نمیتوانیم پایه های متداولی بگیریم که فضای R^2 مارا میسازند؛ و به همین دلیل از نظر برخی کاری که جناب پین کردند، نادرست بوده ، اما از نظر خودشان حرفشان درست بود. بهتر بود که جناب پین حرفی از هندسه نمیزدند. چرا که چنین مشکلاتی را پیش میاورد.

----------------------------------------------------
* به طور مثال یک کتاب آنالیز، مثلن رودین یا یک کتاب حساب دیفرانسیل دقیق، مثلن آپوستل یا کتاب دکتر شهشهانی را نگاه کنید.
** در تمام نوشته ی من، تمام ِ توابعی که از آنها حرف زدم، برای جلوگیری از دردسر های بعدی [tex]\mathbb{C}^1[/tex] در نظر گرفته شده اند.
*** زمانی که در مورد خط و صفحه و ... صحبت میکنیم و هندسه ی دیفرانسیلمان روی چنین فضای هایی هست، کمتر چنین مشکلاتی پیش میاید، اما در مورد هندسه ی منیفلد های پیچیده تر، وضع به طور عجیبی خراب میشود اگر بخواهیم مشتق جزئی را به صورت عملگر ببینیم. این موارد در درس هندسه دیفرانسیل یا هندسه منیفلد که دانشجویان ریاضی در کارشناسی ارشد میخوانند بیشتر بررسی میشود که از حوصله این جستار خارج است.
**** متاسفانه بسیاری از معلمان و استادان، مشتق جزئی را از روی مشتق سویی تعریف نمیکنند و این برای دانشجویان پارادوکس ساز است. نگاه کنید به ویکی پدیای فارسی، آن هم به همان صورت تعریف کرده.
دوای درد عاشق را کسی کو سهل پندارد

ز فکر آنان که در تدبیر درمانند در مانند

پين

محل اقامت: تهران

عضویت : جمعه ۱۳۸۶/۱۰/۷ - ۰۱:۱۶


پست: 974

سپاس: 611

جنسیت:

Re: تصویر های دانشیک

پست توسط پين »

اگر درست پی برده باشم، ما در اینجا با دستگاه نوینی سر و کار داریم که در آن نقطه، نه با x و y (دکارتی) تعیین می‌شود و نه با تتا و r (قطبی) . دستگاهی ست که نقطه با تتا و x معین می شود و مشتق پاره‌ای ما در سوی مولفه های تتا و یا x دستگاه نوین است.
(دستگاه نوینی که از پیوندزدن دستگاه قطبی و دکارتی پدید آمده)


خروش عزیز، اگر درست متوجه مقصود شما شده باشم:

*در نگرش اول:
در دستگاه x-y به سر میبریم. لذا داریم:(r(x,y.
اکنون از r نسبت به x مشتق پاره ای میگیریم (و y را ثابت نگاه میداریم). نتیجه "الف" به دست می آید.
*در نگرش دوم:
در دستگاه teta-x به سر میبریم. لذا داریم: (r(x, teta .
اکنون از r نسبت به x مشتق پاره ای گرفته (و teta را ثابت نگاه میداریم). نتیجه "ب" بدست می آید.

به دید من تعبیر زیبایی میرسد و با آن هم نظر هستم. در مثال دوم نیز دستگاه y, x+y تشکیل شده است

اما در میان صحبت های Cartouche گرامی، چند مورد به نظرم میرسد:

نخست آنکه به دید من، ایرادی در معرفی دستگاه x-teta به نظر نمیرسد. می گوییم دو پایه بر هم عمود هستند از آنجا که میتوانند بصورت مستقل تغییر کنند. اما از سویی این شرط لازم نیست*. از سوی دیگر، به نظر میرسد که هرکدام از پارامترهای x-teta نیز میتواند مستقلا تغییر کند. با هر جفت tetta-x ، یک r مشخص است و هر نقطه در صفحه را میتوان با یک جفت teta-x مشخص کرد. آیا نکته ای را نادیده گرفته ام؟ دقیقا چه چیز میتواند مانع از معرفی چنین دستگاهی یا تعریفهایی باشد؟ بنده در این مورد هنوز تناقضی ندیده ام.

دیگر، تکیه بر هندسه است. گمان من آن است که استفاده از تعبیر هندسی برای ورود به هر بحث، مفید و الهام بخش (یا حتی لازم) است اما مشخص است که تمام تکیه را نمیتوان بر آن گذاشت. در ساده ترین حالت، هندسه شهودی ما را تا سه بعد یاری خواهد داد اما برای درک توابعی با متغیر های بیشتر (4،5،...) و مفاهیمش، تنها میتوان به تعاریف و ابزار حسابان اطمینان کرد.


------------------------------------------------------------------
*مقصودم آن است که میتوان دستگاههایی معرفی کرد که
محورهایش به لحاظ هندسی با هم زاویه قائمه نسازند


کاش جناب مفتاح پور نیز به بحث می پیوستند. زیرا موضوعات
ریاضی اغلب دارای ظرافتهاییست که هم اندیشی همه را طلب میکند.
دوستانی که اخیرا به جمع هوپا اضافه شده اند، شاید از این موضوع
آگاه نباشند که ایشان دانش آموخته ریاضی از بهترین دانشگاههای
ایران هستند. حضورشان در تالار (و نیز بحث کوچک ما) سبب
افتخار خواهد بود.

نمایه کاربر
Cartouche

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۸۹/۷/۲۹ - ۱۹:۳۶


پست: 1197

سپاس: 957

Re: تصویر های دانشیک

پست توسط Cartouche »

پين نوشته شده:نخست آنکه در دید من، ایرادی برای معرفی دستگاه x-tetta به نظر نمیرسد. می گوییم دو پایه بر هم عمود هستند از آنجا که میتوانند بصورت مستقل تغییر کنند اما از سویی این شرط لازم نیست*. به نظر میرسد که هرکدام از پارامترهای x-tetta نیز میتواند مستقلا تغییر کند. با هر جفت tetta-x ، یک r مشخص است و هر نقطه را میتوان با یک جفت tetta-x مشخص کرد. آیا نکته ای را نادیده گرفته ام؟ دقیقا چه چیز میتواند مانع از معرفی چنین دستگاهی یا تعریفهایی باشد؟ بنده در این مورد هنوز تناقضی ندیده ام.

بله، میتوان در مسائل گوناگون چنین دستگاه هایی را تعریف کرد و در بسیاری موارد هم کاراست. اما همانطور که گفتم، در تعریف مشتق جزئی این چنین است که باید [tex]\hat{e}_{q_1}.\hat{e}_{q_2}[/tex] صفر شود. صحبت از آن نیست که می توان یا نمی توان. تعریف این چنین است، اگر بنابر توان ِ ما باشد، میتوان کلن جور دیگری تعریف کرد.
پين نوشته شده:دیگر، تکیه بر هندسه است. گمان من آن است که استفاده از تعبیر هندسی برای ورود به هر بحث، مفید و الهام بخش (یا حتی لازم) است اما مشخص است که تمام تکیه را نمیتوان بر آن گذاشت. در ساده ترین حالت، هندسه شهودی ما را تا سه بعد یاری خواهد داد اما برای درک توابعی با متغیر های بیشتر (4،5،...) و مفاهیمش، تنها میتوان به تعاریف و ابزار حسابان اطمینان کرد.

صد در صد چنین است که میفرمایید. اما لازم میدانم بار دیگر منظورم را از صحبت های قبلی ام بیان کنم. شاید بد توضیح دادم که چنین برداشتی شده. هندسه همیشه الهام بخش است، وقتی شما مشتق را مطابق معمول تعریف میکنید، میتوانید در هندسه، آن را شیب خط بگیرید و از آن الهام بگیرید. اما اگر تعریف شما از مشتق، فرق کند، بدیهیست که نمیتوانید از شیب خط الهام بگیرید؛ شاید باید از موجود هندسی دیگری الهام بگیرید و یا اصلن شاید، تعریف شما، هیچ موجود هندسی را فعلن (با علم امروز) نشان ندهد.
دوای درد عاشق را کسی کو سهل پندارد

ز فکر آنان که در تدبیر درمانند در مانند

پين

محل اقامت: تهران

عضویت : جمعه ۱۳۸۶/۱۰/۷ - ۰۱:۱۶


پست: 974

سپاس: 611

جنسیت:

Re: تصویر های دانشیک

پست توسط پين »

Cartouche عزیز، متوجه مقصودتان هستم. اتفاقا به نظرم شما کار بسیار درستی کردید که بحث پایه ها را به میان آوردید. در اینجا (چنانکه میفرمایید) تعریف هایی وجود دارد. بطور کلی در هر مبحثی، تعاریفی میشود (آنها را تعاریف A نام میگذاریم) و بر مبنای آن تعاریف، خواصی یافته میشود و نتایجی حاصل میشود (آنها را نتایج A نام میگذاریم). نتایج A بر پایه تعاریف A قرار دارد. اکنون:
چنانچه فردی در محاسبه ای بخواهد از نتایج A بهره ببرد، ملزم است که در چارچوب تعاریف A حرکت کند. در غیر اینصورت، بر او ایرادی نیست اگر چنین نکند.

از دید من، تمام سخن آن است که: تابعی چند بعدی (چند متغیره) در اختیار داریم. می خواهیم تغییرات یکی از پارامترهای آن (هرکدام که بخواهیم) را نسبت به تغییرات پارامتر دیگری (هرکدامشان، حتی پارامتر نخست) و تحت یک شرط معین (هر شرطی که بخواهیم) محاسبه کنیم. به گمان من هیچ قانونی در ریاضیات (یا حتی نیرویی در آسمان ;-) ) نمیتواند ما را از این کار -به لحاظ منطقی- باز دارد.
اما اینکه آیا نتیجه حاصله، مطابق انتظار/حدسمان میشود یا نه (که این محل آغاز تناقض های ظاهریست) و اینکه آیا اصولا پاسخی برای آن کار (تحت آن انتخابهای دلخواه) وجود دارد یا نه (یا اگر وجود دارد، آیا تعبیر هندسی دارد یا نه)، بحثهای دیگریست اما همواره، هر تغییری را تحت هر شرطی میتوان مورد مطالعه قرار داد.

در پرسش مورد بحث نیز، تغییرات بر پایه دو شرط مختلف محاسبه و دو نتیجه مختلف را حاصل آورده. اگر بخواهیم این دو نتیجه را با هم مساوی بدانیم، مسلما دچار تناقض میشویم. به دید من، این تناقض بخاطر روش نادرست در محاسبه آن نتایج (یا یکی از آنها) نیست. آن نتایج و مقادیر در جای خود میتوانند صحیح باشند، زادگاه تناقض آنجاست که انتظار/حدس ما برای مساوی شدن آن دو، نابجا بوده و آن دو مقدار، از ابتدا الزمی به مساوی بودن نداشته اند(مفاهیمی جداگانه بوده اند).

در نهایت، پاسخ من به پرسش نخست (که: کدام درست است؟ چرا چنین شد؟) این است که:
این دو نتیجه، بر پایه دو شرط متفاوت میتواند حاصل شود. که با احتساب آن شرط ها،
هریک صحیحند. و اگر شرطهای یکسانی بر هردوی آنها اعمال میشد، آنگاه پاسخهای
یکسانی نیز از هر دو معادله حاصل می آمد.


و آنچه بیش از هرچیز در این مبحث مهم به نظر می آید (دست کم از دید من) آن است که
مفاهیمی در بحث مشتقات پاره ای وجود دارد (امکان وجود شرط های دلخواه) که نوتاسیون
استاندارد، عمومی و پذیرفته شده ای برایشان در نظر گرفته نشده. آن مفاهیم را (تنها با تکیه
بر تعریفشان) میتوان محاسبه کرد اما در نگارش، بسیار احتمال دارد که بحث برانگیز بنمایند.
و همین موضوع سبب بروز بسیاری از ابهامات در روابط میان مشتق های پاره ای میگردد. یکی از
ابهامات بسیار شایع، "ضرب سه گانه" است (و این ابهام که پاسخش 1 است یا 1- ). خوشبختانه
در صفحه ویکی پدیای انگلیسی، در این مورد بخاطر رفع این ابهام (که فی المثل چرا مشتقات
پاره ای با هم ساده نمیشوند)، "پارامتر ثابت" را صریحا ذکر کرده است:
http://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product_rule

نمایه کاربر
Cartouche

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۸۹/۷/۲۹ - ۱۹:۳۶


پست: 1197

سپاس: 957

Re: تصویر های دانشیک

پست توسط Cartouche »

پين نوشته شده:Cartouche عزیز، متوجه مقصودتان هستم. اتفاقا به نظرم شما کار بسیار درستی کردید که بحث پایه ها را به میان آوردید. در اینجا (چنانکه میفرمایید) تعریف هایی وجود دارد. بطور کلی در هر مبحثی، تعاریفی میشود (آنها را تعاریف A نام میگذاریم) و بر مبنای آن تعاریف، خواصی یافته میشود و نتایجی حاصل میشود (آنها را نتایج A نام میگذاریم). نتایج A بر پایه تعاریف A قرار دارد. اکنون:
چنانچه فردی در محاسبه ای بخواهد از نتایج A بهره ببرد، ملزم است که در چارچوب تعاریف A حرکت کند. در غیر اینصورت، بر او ایرادی نیست اگر چنین نکند.

از دید من، تمام سخن آن است که: تابعی چند بعدی (چند متغیره) در اختیار داریم. می خواهیم تغییرات یکی از پارامترهای آن (هرکدام که بخواهیم) را نسبت به تغییرات پارامتر دیگری (هرکدامشان، حتی پارامتر نخست) و تحت یک شرط معین (هر شرطی که بخواهیم) محاسبه کنیم. به گمان من هیچ قانونی در ریاضیات (یا حتی نیرویی در آسمان ;-) ) نمیتواند ما را از این کار -به لحاظ منطقی- باز دارد.
اما اینکه آیا نتیجه حاصله، مطابق انتظار/حدسمان میشود یا نه (که این محل آغاز تناقض های ظاهریست) و اینکه آیا اصولا پاسخی برای آن کار (تحت آن انتخابهای دلخواه) وجود دارد یا نه (یا اگر وجود دارد، آیا تعبیر هندسی دارد یا نه)، بحثهای دیگریست اما همواره، هر تغییری را تحت هر شرطی میتوان مورد مطالعه قرار داد.


دقیقن چنین هست که میفرمایید. تنها میخواستم ریشه ی بحث و تفاوت ِ عقیده ِ دوستان با شما را روشن کنم و بگویم که دلیل این تفاوت این نیست که یکی از شما اشتباه میگوید. بلکه تفاوت از جای دیگری ( آن هم تعریف مشتق پاره ای) نشئت میگیرد.
به هر حال فکر میکنم این بحث، فارغ از این که کدام یک از ما درست میگوییم (در عین حال که همانطور که چندین بار در این جستار عرض کردم، معتقدم هم من و هم شما چیز ِ اشتباهی نمیگوییم) برای دوستانی که این مبحث را دنبال کردند، پُر از فایده بود. همانطور که برای من بود.
با تشکر مجدد ِ از اینکه چنین بحثی راه انداختید. لطفن بیشتر از این گونه ها راه بیاندازید. :wink:
دوای درد عاشق را کسی کو سهل پندارد

ز فکر آنان که در تدبیر درمانند در مانند

ارسال پست