ماتریس و محور دوران
-
عضویت : پنجشنبه ۱۳۹۱/۴/۱۵ - ۲۰:۲۷
پست: 495-
سپاس: 565
ماتریس و محور دوران
سلام بچه ها،
یک تیپ سوال زیبا با ایده ای بدرد بخور پیدا کرد، گفتم بزارم برای بحث.
این تیپ سوال ِساده و سر راست، به این صورت هست:
دستگاه مختصات (کارتزین) رو ابتدا حول محور
به اندازه ی
رادیان،
و سپس حول محور
(در مختصات جدید)، به اندازه ی
رادیان دوران می دهیم.
الف) ماتریس دوران کلی را با استدلال ارائه بدید.
ب) محوری رو که دوران حول اون انجام شده رو پیدا کنید.
یک تیپ سوال زیبا با ایده ای بدرد بخور پیدا کرد، گفتم بزارم برای بحث.
این تیپ سوال ِساده و سر راست، به این صورت هست:
دستگاه مختصات (کارتزین) رو ابتدا حول محور
به اندازه ی
رادیان،
و سپس حول محور
(در مختصات جدید)، به اندازه ی
رادیان دوران می دهیم.
الف) ماتریس دوران کلی را با استدلال ارائه بدید.
ب) محوری رو که دوران حول اون انجام شده رو پیدا کنید.
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
- Goriz bivaghfe
محل اقامت: تهران
عضویت : پنجشنبه ۱۳۹۲/۳/۳۰ - ۰۰:۴۸
پست: 89-
سپاس: 41
- جنسیت:
تماس:
Re: ماتریس و محور دوران
X=xcos(a)+ycos(b)+zcos(c) که aو b و c به ترتیب زوایای محور X با محور z,y,x (محورهای ثابت)هستند
Y=xcos(d)+ycos(e)+zcos(f) که dوeوf به ترتیب زاویه محور Y با z,y,x هست
Z=xcos(m)+ycos(n)+zcos(p)که .................................. Z با z,y,x هستند.
این که نوشتم حالت کلیشه.
اونیم که شما گفتید مثله همینه.که با ماتریس هم بیان میشه.
Y=xcos(d)+ycos(e)+zcos(f) که dوeوf به ترتیب زاویه محور Y با z,y,x هست
Z=xcos(m)+ycos(n)+zcos(p)که .................................. Z با z,y,x هستند.
این که نوشتم حالت کلیشه.
اونیم که شما گفتید مثله همینه.که با ماتریس هم بیان میشه.
Re: ماتریس و محور دوران
برای قسمت اول سوالتون که ماتریس دوران چیه :آقای سیدیان نوشته شده:سلام بچه ها،
یک تیپ سوال زیبا با ایده ای بدرد بخور پیدا کرد، گفتم بزارم برای بحث.
این تیپ سوال ِساده و سر راست، به این صورت هست:
دستگاه مختصات (کارتزین) رو ابتدا حول محور
به اندازه ی
رادیان،
و سپس حول محور
(در مختصات جدید)، به اندازه ی
رادیان دوران می دهیم.
الف) ماتریس دوران کلی را با استدلال ارائه بدید.
ب) محوری رو که دوران حول اون انجام شده رو پیدا کنید.
و با توجه به رابطه ماتریسها در دستگاه قدیم و جدید :
در نتیجه ماتریس دوران به طور کلی برابر است با:
و برای قسمت دوم سوال منظورتون اینه که همین دوران را میشه حول محوری دیگه با زاویه دیگه انجام داد ؟ و حالا اون محورو پیدا کنیم؟
-
عضویت : پنجشنبه ۱۳۹۱/۴/۱۵ - ۲۰:۲۷
پست: 495-
سپاس: 565
Re: ماتریس و محور دوران
راهی که ارائه دادید به طور کلی درست هست ولی عملی نیست!Goriz bivaghfe نوشته شده:X=xcos(a)+ycos(b)+zcos(c) که aو b و c به ترتیب زوایای محور X با محور z,y,x (محورهای ثابت)هستند
Y=xcos(d)+ycos(e)+zcos(f)) که dوeوf به ترتیب زاویه محور Y با z,y,x هست
Z=xcos(m)+ycos(n)+zcos(p)که .................................. Z با z,y,x هستند.
این که نوشتم حالت کلیشه.
اونیم که شما گفتید مثله همینه.که با ماتریس هم بیان میشه.
توجه داشته باشید من به طور مشخص زوایای دوران رو، هر بار معین کردم،
ولی الآن با این راه شما، به ضرایب a و b و c و ... و p رسیدیم!
همونطور که خودتون اشاره کردید،
اینها (ضرایب a و b و ...) همون کسینوس های ِهادی ِ محور های جدید، تحت دستگاه قدیم اند.
در اینجا اگر صرفاً بخوام کمی جمع و جور تر حرف شما رو بنویسیم باید یه تعریف بکنیم:
در بالا، کسینوس های ِهادی ِمحور i-ام (دستگاه جدید)، نسبت به دستگاه قدیم (محور های j-ام) را تعریف کردیم.
حالا رابطه ای رو که شما در اول نوشتید رو، اگه بخوام به صورت جمع و جور، و با استفاده از اون تعریف بنویسیم، می شه:
توجه کنید که پیدا کردن کسینوس های هادی با روش ِ درست ِ شما، به این سادگی ها نیست!
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
-
عضویت : پنجشنبه ۱۳۹۱/۴/۱۵ - ۲۰:۲۷
پست: 495-
سپاس: 565
Re: ماتریس و محور دوران
خُب تا اینجا رو قبول دارم.koorosh kabir نوشته شده:برای قسمت اول سوالتون که ماتریس دوران چیه :
ولی می شه توضیح بدید که چه طور این پایینی رو استنتاج کردید؟
و در این مورد:koorosh kabir نوشته شده:و با توجه به رابطه ماتریسها در دستگاه قدیم و جدید :
بله، دقیقاًkoorosh kabir نوشته شده:و برای قسمت دوم سوال منظورتون اینه که همین دوران را میشه حول محوری دیگه با زاویه دیگه انجام داد ؟ و حالا اون محورو پیدا کنیم؟
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
Re: ماتریس و محور دوران
این یک رابطه بین ماتریسها در دستگاه چرخیده(
) و دستگاه اولیه(
) می باشد و برابر است با:
که R ماتریس دوران می باشد.
برای اثبات فرض کنید دو بردار A و B و ماتریس D در دستگاه اولیه داریم که با رابطه زیر به هم مربوط هستند:
حالا داریم:
که
نمایش ماتریس D در مختصات دوران یافته می دانیم.
) و دستگاه اولیه(
) می باشد و برابر است با:
برای اثبات فرض کنید دو بردار A و B و ماتریس D در دستگاه اولیه داریم که با رابطه زیر به هم مربوط هستند:
D.A=B
می دانیم که بردارها در دستگاه اولیه و چرخیده توسط ماتریس دوران R چنین رابطه ای دارند:نمایش ماتریس D در مختصات دوران یافته می دانیم.
- ehsan.helli1
نام: احسان
محل اقامت: تهران
عضویت : جمعه ۱۳۹۰/۱۰/۳۰ - ۲۱:۳۰
پست: 1688-
سپاس: 624
- جنسیت:
تماس:
-
عضویت : پنجشنبه ۱۳۹۱/۴/۱۵ - ۲۰:۲۷
پست: 495-
سپاس: 565
Re: ماتریس و محور دوران
بله، بله ...koorosh kabir نوشته شده:این یک رابطه بین ماتریسها در دستگاه چرخیده(
) و دستگاه اولیه(
) می باشد و برابر است با:
که R ماتریس دوران می باشد.
برای اثبات فرض کنید دو بردار A و B و ماتریس D در دستگاه اولیه داریم که با رابطه زیر به هم مربوط هستند:
D.A=Bمی دانیم که بردارها در دستگاه اولیه و چرخیده توسط ماتریس دوران R چنین رابطه ای دارند:
حالا داریم:
که
نمایش ماتریس D در مختصات دوران یافته می دانیم.
ولی من الآن متوجه شدم که اون فرض اولیه ی ما،
(
)، به طور کلی اشتباه بوده.
چرا که ما این رابطه رو اثبات نکردیم! اصلاً از کجا این رابطه یکدفعه در اومد؟
من تلاش می کنم که ثابت کنم که رابطه ی فوق نادرست هست.
ببینید، همونطور که می دونیم، دوران یک تبدیل خطی هست.
وقتی که یک بردار (محور) در یک دستگاه دوران پیدا می کنه،
معادله ی تبدیل به صورت ضرب ماتریس دوران، در مختصات نقطه ی قدیم ظاهر می شه.
پس معادله ی دوران اول (حول x) به این شکل در می آد:
) حول محور y که می شه:
همونطور که مشاهده می کنیم، می بینیم که غلط بودن ِاولین معادله ای که نوشتیم، منجر شده که به جواب نادرست برسیم.
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
- ehsan.helli1
نام: احسان
محل اقامت: تهران
عضویت : جمعه ۱۳۹۰/۱۰/۳۰ - ۲۱:۳۰
پست: 1688-
سپاس: 624
- جنسیت:
تماس:
-
عضویت : پنجشنبه ۱۳۹۱/۴/۱۵ - ۲۰:۲۷
پست: 495-
سپاس: 565
Re: ماتریس و محور دوران
من هم ابتدا همین فکر می کردم، ولی در این صورت استدلال بالایی که کردم بی پاسخ می ماند.koorosh kabir نوشته شده:رابطه :
درست و منطقی هستش و تو ریاضیات ازش استفاده میشه.
در ثانی چرا باید این رابطه درست باشه؟
من با استدلال، فرم ماتریس دوران رو ثابت کردم.
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
Re: ماتریس و محور دوران
در استدلال شما دوران دوم حول محور y دستگاه اولیه است ولی در سوال گفته شده که دوران حول محور y در دستگاه چرخیده می باشد یعنی :آقای سیدیان نوشته شده:من هم ابتدا همین فکر می کردم، ولی در این صورت استدلال بالایی که کردم بی پاسخ می ماند.koorosh kabir نوشته شده:رابطه :
درست و منطقی هستش و تو ریاضیات ازش استفاده میشه.
در ثانی چرا باید این رابطه درست باشه؟
من با استدلال، فرم ماتریس دوران رو ثابت کردم.
-
عضویت : پنجشنبه ۱۳۹۱/۴/۱۵ - ۲۰:۲۷
پست: 495-
سپاس: 565
Re: ماتریس و محور دوران
من اینطوری نگفتم.koorosh kabir نوشته شده:در استدلال شما دوران دوم حول محور y دستگاه اولیه است ولی در سوال گفته شده که دوران حول محور y در دستگاه چرخیده می باشد یعنی :آقای سیدیان نوشته شده:من هم ابتدا همین فکر می کردم، ولی در این صورت استدلال بالایی که کردم بی پاسخ می ماند.koorosh kabir نوشته شده:رابطه :
درست و منطقی هستش و تو ریاضیات ازش استفاده میشه.
در ثانی چرا باید این رابطه درست باشه؟
من با استدلال، فرم ماتریس دوران رو ثابت کردم.
که در مرحله بعد می توان ماتریس فوق را به ماتریس در دستگاه اولیه مربوط کرد.
کم کم دارم فکر می کنم که شما اثبات من رو دقیق نخوندید، پس دوباره بیان می کنم.
عرض کردم:
در اینجا من دوران دوم رو حول محور y جدید گرفتم.ابتدا یک دوران حول x داریم:حالا برای دستگاه جدید، یک دوران حول y داریم:از ترکیب دو معادله داریم:
به هر حال این روش ترتیب درست ضرب ماتریس ها رو بهمون نشون می ده:
البته نظرمن نسبت به معادله ای که اول نوشتید عوض شده، چرا که همین الآن اثباتش کردیم!!!
اگر دقت کنیم می بینیم که این اثبات من دقیقاً منجر به همون معادله ای شده که نوشتید.اینطور نیست؟
من در اینجا، برای جلوگیری از هر گونه ابهام قصد دارم تا ماتریس دوران حول (مثلاً) x رو بنویسم:
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
Re: ماتریس و محور دوران
با توجه به اثباتی که نوشتم اومدم ماتریس دوران را برحسب ماتریسها در دستگاه اولیه نوشتم.آقای سیدیان نوشته شده:منتها حالا می مونه روشن کردن معنی آخرین معادله، از اولین پست شما
- Goriz bivaghfe
محل اقامت: تهران
عضویت : پنجشنبه ۱۳۹۲/۳/۳۰ - ۰۰:۴۸
پست: 89-
سپاس: 41
- جنسیت:
تماس:
Re: ماتریس و محور دوران
[quote="آقای سیدیان"][quote="Goriz bivaghfe"]X=xcos(a)+ycos(b)+zcos(c) که aو b و c به ترتیب زوایای محور X با محور z,y,x (محورهای ثابت)هستند
Y=xcos(d)+ycos(e)+zcos(f)) که dوeوf به ترتیب زاویه محور Y با z,y,x هست
Z=xcos(m)+ycos(n)+zcos(p)که .................................. Z با z,y,x هستند.
این که نوشتم حالت کلیشه.
اونیم که شما گفتید مثله همینه.که با ماتریس هم بیان میشه.[/quote]
راهی که ارائه دادید به طور کلی درست هست ولی عملی نیست!
توجه داشته باشید من به طور مشخص زوایای دوران رو، هر بار معین کردم،
ولی الآن با این راه شما، به ضرایب a و b و c و ... و p رسیدیم!
همونطور که خودتون اشاره کردید،
اینها (ضرایب a و b و ...) همون کسینوس های ِهادی ِ محور های جدید، تحت دستگاه قدیم اند.
در اینجا اگر صرفاً بخوام کمی جمع و جور تر حرف شما رو بنویسیم باید یه تعریف بکنیم:
[center][tex]\lambda_{i,j} \equiv \cos~(\acute{x}_{i} ,x_{j} )[/tex][/center]
در بالا، کسینوس های ِهادی ِمحور i-ام (دستگاه جدید)، نسبت به دستگاه قدیم (محور های j-ام) را تعریف کردیم.
حالا رابطه ای رو که شما در اول نوشتید رو، اگه بخوام به صورت جمع و جور، و با استفاده از اون تعریف بنویسیم، می شه:
[center][tex]\acute{x}_{i}=\sum_{j=1}^{3}\lambda_{i,j}~x_{j}[/tex][/center]
باز هم جواب مساله همچنان مجهول هست!
توجه کنید که پیدا کردن کسینوس های هادی با روش ِ درست ِ شما، به این سادگی ها نیست![/quote]
a,b,c,d... این زوایایی که گفتم براحتی بر حسب اون زوایایی که گفتید قابل تشخیص هستند.فکر نکم مشکل باشه.
Y=xcos(d)+ycos(e)+zcos(f)) که dوeوf به ترتیب زاویه محور Y با z,y,x هست
Z=xcos(m)+ycos(n)+zcos(p)که .................................. Z با z,y,x هستند.
این که نوشتم حالت کلیشه.
اونیم که شما گفتید مثله همینه.که با ماتریس هم بیان میشه.[/quote]
راهی که ارائه دادید به طور کلی درست هست ولی عملی نیست!
توجه داشته باشید من به طور مشخص زوایای دوران رو، هر بار معین کردم،
ولی الآن با این راه شما، به ضرایب a و b و c و ... و p رسیدیم!
همونطور که خودتون اشاره کردید،
اینها (ضرایب a و b و ...) همون کسینوس های ِهادی ِ محور های جدید، تحت دستگاه قدیم اند.
در اینجا اگر صرفاً بخوام کمی جمع و جور تر حرف شما رو بنویسیم باید یه تعریف بکنیم:
[center][tex]\lambda_{i,j} \equiv \cos~(\acute{x}_{i} ,x_{j} )[/tex][/center]
در بالا، کسینوس های ِهادی ِمحور i-ام (دستگاه جدید)، نسبت به دستگاه قدیم (محور های j-ام) را تعریف کردیم.
حالا رابطه ای رو که شما در اول نوشتید رو، اگه بخوام به صورت جمع و جور، و با استفاده از اون تعریف بنویسیم، می شه:
[center][tex]\acute{x}_{i}=\sum_{j=1}^{3}\lambda_{i,j}~x_{j}[/tex][/center]
باز هم جواب مساله همچنان مجهول هست!
توجه کنید که پیدا کردن کسینوس های هادی با روش ِ درست ِ شما، به این سادگی ها نیست![/quote]
a,b,c,d... این زوایایی که گفتم براحتی بر حسب اون زوایایی که گفتید قابل تشخیص هستند.فکر نکم مشکل باشه.