نقاط لاگرانژی و مسله ی 3 جسم مقید

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
massina

عضویت : شنبه ۱۳۹۲/۵/۱۲ - ۱۳:۴۶


پست: 3



نقاط لاگرانژی و مسله ی 3 جسم مقید

پست توسط massina »

در مورد سه جسم مقید . هم چنین نقاط لاگرانژی و اثبات وجود این نقاط،اگر مطلبی،مقاله ای،کتابی،میشناسید معرفی کنید لطفا! smile027
ترجیحم اینه که فارسی باشه اما حتی اگر انگیلیسی بود هم رو ممنون میشم معرفی کنید! smile072 smile072 smile072 smile072

نمایه کاربر
Cartouche

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۸۹/۷/۲۹ - ۱۹:۳۶


پست: 1197

سپاس: 954

Re: نقاط لاگرانژی و مسله ی 3 جسم مقید

پست توسط Cartouche »

نقاط لاگرانژی
روشن تورانی
لینک دریافت
------------------------
فکر میکنم مسئله سه جسم، موضوع جالبی باشه.
دوستان میتونند در همین تاپیک در این مورد بحث کنند.
دوای درد عاشق را کسی کو سهل پندارد

ز فکر آنان که در تدبیر درمانند در مانند

massina

عضویت : شنبه ۱۳۹۲/۵/۱۲ - ۱۳:۴۶


پست: 3



Re: نقاط لاگرانژی و مسله ی 3 جسم مقید

پست توسط massina »

smile072 smile124 متشکرم دوست عزیز!

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami

محل اقامت: City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1016

سپاس: 677

جنسیت:

تماس:

Re: نقاط لاگرانژی و مسله ی 3 جسم مقید

پست توسط rohamjpl »

در مشکل سه جسمی محدود ، پنج نقطه لاگرانژی بر اساس پتانسیل موثر تعیین می شود$\frac{GM}{x^2}-\frac{Gm}{(R-x)^2}-w^2x=0.$جایی که M جرم زمین ، m جرم ماه ، x فاصله زمین تا ماهواره ، R فاصله تا ماه و $w$ سرعت زاویه ای ماه است.نقاط لاگرانژی پیدا میشه
$U(x,y,\mu)=\frac{(x^2 + y^2)}{2} +
\frac {\mu }{\sqrt {(x - 1 + \mu)^2 + y^2}} + \frac {(1 - \mu)}{\sqrt {(x + \mu)^2 + y^2}}$
μ جرم نسبی ماه ، 1 − μ جرم نسبی زمین است. ماه در $(x ، y) = (1 − μ ، 0)$ است. زمین در$ (x ، y) = ( - μ ، 0)$ است. نقاط آزادسازی مثلثی و خطی از سیستم معادلات $\nabla U=0$ تعیین می شود. برای سیستم زمین-ماه ، . $U_{eff}(x,y,\mu )= \frac {\mu r_1^2}{2} + \frac {(1 - \mu)r_2^2}{2}+
\frac{\mu}{r_1}+ \frac{(1 - \mu)}{r_2}$
$r_1= \sqrt {(x + 1 - \mu)^2 + y^2},
r_2= \sqrt {(x - \mu )^2 + y^2}$
در این حالت ماه در $(x,y)=(-1+\mu ,0)$ واقع شده است. زمین در $(x ، y) = (μ ، 0)$ است. نقاط آزادسازی مثلثی و خطی از سیستم معادلات $\nabla U_{eff}=0$ تعیین می شود. برای سیستم زمین-ماه ،
از پنج نقطه لاگرانژ ، سه نقطه ناپایدار و دو نقطه ثابت است. نقاط ناپایدار لاگرانژ - با برچسب L1 ، L2 و L3 - در امتداد خط اتصال دو توده بزرگ قرار دارند. نقاط پایدار لاگرانژ - با برچسب L4 و L5 - راس دو مثلث متساوی الاضلاع را تشکیل می دهند که جرمهای بزرگی در راس خود دارند.من سعی می کنم موقعیت نقطه لاگرانژ L1 را در منظومه زمین-ماه پیدا کنم. برای سهولت کار (من فکر کردم) من به تأثیر خورشید یا نیروهای دیگر اهمیتی نمی دهم جز نیروی گرانشی زمین و ماه. بنابراین باید به این شکل عمل کند:
$G\frac{mM_{E}}{D-d_M}=G\frac{mM_M}{d_M}$
جایی که D فاصله بین زمین و ماه و dM فاصله L1 از ماه است. بنابراین من باید dM را پیدا کنم و به این فرمول رسیدم:
$d_M=D+D\frac{M_M}{M_E}$که بدیهی است برای L1 آشغال است (زیرا dM با استفاده از این فرمول از ماه دورتر است). نقاط لاگرانژ چگونه تعیین می شوند؟اثبات طرح شده از تمام نقاط ممکن لاگرانژ:
ابتدا مشکل 2 توده را در نظر بگیرید. استنباط کنید که نقاط احتمالی لاگرانژ باید در سطح مداری قرار گیرند (زیرا یک کاوشگر همیشه به طور گرانشی به سمت سطح مداری جذب می شود). بنابراین از این پس توجه ما را به صفحه مداری محدود می کنیم ، که ما آن را با صفحه پیچیده C مشخص می کنیم.
برای سادگی ، مشکل 2 توده با مدارهای دایره ای را در نظر بگیرید. اجازه دهید R فاصله ثابت بین جرم 2 نقطه m1 و m2 باشد. به سیستم مختصات مرکز جرم دوار (CM) بروید ، جایی که جرم نقطه m1 و m2 در موقعیت ها ثابت هستند
$r_1~=~-\epsilon_2 R ~<~0\qquad\text{and}\qquad r_2~=~\epsilon_1 R~>~0 \tag{1}$در امتداد محور واقعی ، جایی که
$\begin{align}\epsilon_1~:=~\frac{m_1}{m_1+m_2}~>~0,\qquad &
\epsilon_2~:=~ \frac{m_2}{m_1+m_2}~>~0, \cr
\epsilon_1+\epsilon_2~=~&1.\end{align}\tag{2}$
1 شکل 1: موقعیت r1 و r2 جرم m1 و m2.تصویر
نیروی گرانشی بر m2 باید نیروی گریز از مرکز بر m2 را لغو کند:
$\frac{Gm_1m_2}{R^2} ~=~ m_2\Omega^2 r_2
\qquad\Rightarrow\qquad \Omega^2~=~\frac{G(m_1+m_2)}{R^3}.\tag{3}$
این امر سرعت زاویه ای $\Omega$سیستم مختصات را تعیین می کند.
در نظر بگیرید که یک جرم آزمایش در موقعیت $z\in\mathbb{C}$ شتاب را تجربه می کند
$\begin{align} a~=~& -\frac{Gm_1z_1}{|z_1|^3}
-\frac{Gm_2z_2}{|z_2|^3}+\Omega^2 z\cr
~\equiv~& -\frac{Gm_1}{|z_1|z^{\ast}_1}
-\frac{Gm_2}{|z_2|z^{\ast}_2}
+\Omega^2 z,\end{align}\tag{4}$
از گرانش و نیروی گریز از مرکز ، جایی که ما موقعیت های نسبی را تعریف کردیم
$z_1~:=~ z-r_1~\neq~0\qquad\text{and}\qquad
z_2~:=~ z-r_2~\neq~0.\tag{5}$
معنا کنید که معادله a = 0 برای نقاط لاگرانژ برابر است
$\frac{z}{R^3}
~=~\frac{\epsilon_1z_1}{|z_1|^3}
+\frac{\epsilon_2z_2}{|z_2|^3}
~\equiv~\frac{\epsilon_1}{|z_1|z^{\ast}_1}
+\frac{\epsilon_2}{|z_2|z^{\ast}_2},\tag{6}$
یا معادل آن ،
$z\underbrace{\left(\frac{\epsilon_1}{|z_1|^3}+ \frac{\epsilon_2}{|z_2|^3}-\frac{1}{R^3}\right)}_{\in~\mathbb{R}}
~\stackrel{(6)}{=}~ \underbrace{\epsilon_1\epsilon_2 \left(\frac{1}{|z_2|^3}-\frac{1}{|z_1|^3} \right)}_{\in~\mathbb{R}}. \tag{7}$
تنها راهی که در lhs z است. از معادله (7) می تواند یک عدد غیر واقعی باشد اگر دو پرانتز در معادل. (7) هر دو صفر هستند. این شرایطی است که 3 جسم مثلث متساوی الاضلاع را تشکیل می دهند
$|z_1|~=~R~=~|z_2|. \tag{8}$
معادل (8) دارای 2 راه حل است ، یعنی نقاط لاگرانژ L4 و L5:
$\begin{array}{rcccl}
z_1~&=&~R\exp\left\{\pm \frac{i\pi}{3} \right\}
~&=&~\frac{R}{2}\pm\frac{\sqrt{3}iR}{2}, \cr
z_2~&=&~-R\exp\left\{\mp \frac{i\pi}{3} \right\}
~&=&~-\frac{R}{2}\pm\frac{\sqrt{3}iR}{2} . \end{array}\tag{9}$
از این رو ممکن است (و خواهیم شد) که از این پس $z\in\mathbb{R}$ واقعی است ، یعنی سه بدن هم خطی هستند. سپس معادله (6) به یک معادله مرتبه 5 تبدیل می شود که ریشه های آن به طور کلی هیچ فرمول دقیق بسته ای ندارند. از آنجا که مشتق شده است
$\frac{da}{dz}~\stackrel{(4)}{=}~\frac{2Gm_1}{|z_1|^3}
+ \frac{2Gm_2}{|z_2|^3}+\Omega^2 ~>~0\tag{10}$
برای $z\in\mathbb{R}\backslash\{r_1,r_2\}$ مثبت است ، حداکثر یک ریشه در هر فواصل پیوسته وجود دارد
$]-\infty,r_1[, \qquad ]r_1,r_2[ \qquad\text{and}\qquad ]r_2,\infty[.\tag{11}$
بنابراین معادله a = 0 حداکثر 3 ریشه واقعی دارد. رفتار تابع a نزدیک به تکینگی ، r2 ، $z\in\{-\infty,r_1,r_2,\infty\}$ نشان می دهد که معادله a = 0 دقیقاً 3 ریشه واقعی دارد L1 ، L2 & L3 ، نک.
2 شکل 2: نمونه ای از شتاب a به عنوان تابع (4) موقعیت z. تابع a در موقعیت های $z\in\{-\infty,r_1,r_2,\infty\}$دارای ویژگی های منحصر به فرد است. شیب (10) در همه جا مثبت است. همیشه دقیقاً 3 ریشه واقعی L1 ، L2 و L3 وجود دارد.I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260 رهام حسامی ترم پنجم مهندسی هوافضا
:
تصویر

ارسال پست