سوال در مورد عدد به توان صفر

[Parmenides]

علیرضا، طولانی ترین پستت رو تو این تاپیک در جواب پستی دادی که هیچ حرف جدیدی نداشت؟

اصلا حالا که ظاهرا اساتید با هم اختلاف نظر دارن، باید خودمون به نتیجه برسیم، پس دیگه کاری به سیلورمن و دیگران نداریم.

در مورد ایراد اول گفتم که حق با توئه، ولی "لازم نیست" اولی با "لازم نیست" دومی خیلی فرق میکنه. من میگم تو ریاضی لازم نیست چیزی رو تعریف یا قرارداد (راستی تعریف با قرارداد چه فرقی داره؟) کنیم که هیچ کاربردی در ادامه نداشته باشه (مثلا توی تئوری مختلط لازم نیست یهو بیایم هویج رو تعریف کنیم. مثال بود فقط)، و تازه مجبورمون کنه در ادامه ی ساختن دستگاه تبصره ای هم به خاطر اون قرار داد بزنیم یا استثنایی ذکر کنیم. تا اینجا که بحثی نیست؟
"لازم نیست" اول به خاطر این غلط بود که این بسط دو جمله ای رو از کلیتش می انداخت، مجبورمون میکرد موقع بیان قضیه شرط بذاریم x , y صفر نیستن، ولی لازم نیست دومی منطقی و سودمند بود چون میگفت میشه قضیه رو بدون اینکه کلیتش به خطر بیفته جوری بیان کنیم که نیازی به اوردن x^0 و y^0 نباشه، کافیه به جای اینا 1 بذاریم، یعنی این رو نمیشه یه کاربرد برای تعریف 0^0 در نظر گرفت. (این حرف جدید اساسی پست قبلم بود).
پس حالا موضع من اینه که از دستگاهی دفاع کنم که توش 0^0 تعریف نشده، و تو از دستگاهی دفاع میکنی که توش 0^0 تعریف شده، تو باید در مقام دفاع باید نشان دهی که قضیه ای وجود داره یا رابطه ای هست که ما رو ملزم میکنه از قبل 0^0 رو تعریف کرده باشیم، و اون قضیه و رابطه رو به هیچ طریق دیگه ای نمیشه بیان کرد.
دقت کن هدف پایه گذاری یه دستگاه عاری از تناقض و تا حد امکان عاری از گزاره های زائده.

ممکنه دیر جواب بدم.

[aalireza]

علیرضا، طولانی ترین پستت رو تو این تاپیک در جواب پستی دادی که هیچ حرف جدیدی نداشت؟

Touché رفیق! ، البته خب قسمتِ اعظمش واسه منابع بود!!

اصلا حالا که ظاهرا اساتید با هم اختلاف نظر دارن، باید خودمون به نتیجه برسیم، پس دیگه کاری به سیلورمن و دیگران نداریم.

در مورد ایراد اول گفتم که حق با توئه، ولی "لازم نیست" اولی با "لازم نیست" دومی خیلی فرق میکنه. من میگم تو ریاضی لازم نیست چیزی رو تعریف یا قرارداد (راستی تعریف با قرارداد چه فرقی داره؟) کنیم که هیچ کاربردی در ادامه نداشته باشه (مثلا توی تئوری مختلط لازم نیست یهو بیایم هویج رو تعریف کنیم. مثال بود فقط)، و تازه مجبورمون کنه در ادامه ی ساختن دستگاه تبصره ای هم به خاطر اون قرار داد بزنیم یا استثنایی ذکر کنیم. تا اینجا که بحثی نیست؟
"لازم نیست" اول به خاطر این غلط بود که این بسط دو جمله ای رو از کلیتش می انداخت، مجبورمون میکرد موقع بیان قضیه شرط بذاریم x , y صفر نیستن، ولی لازم نیست دومی منطقی و سودمند بود چون میگفت میشه قضیه رو بدون اینکه کلیتش به خطر بیفته جوری بیان کنیم که نیازی به اوردن x^0 و y^0 نباشه، کافیه به جای اینا 1 بذاریم، یعنی این رو نمیشه یه کاربرد برای تعریف 0^0 در نظر گرفت. (این حرف جدید اساسی پست قبلم بود).
پس حالا موضع من اینه که از دستگاهی دفاع کنم که توش 0^0 تعریف نشده، و تو از دستگاهی دفاع میکنی که توش 0^0 تعریف شده، تو باید در مقام دفاع باید نشان دهی که قضیه ای وجود داره یا رابطه ای هست که ما رو ملزم میکنه از قبل 0^0 رو تعریف کرده باشیم، و اون قضیه و رابطه رو به هیچ طریق دیگه ای نمیشه بیان کرد.
دقت کن هدف پایه گذاری یه دستگاه عاری از تناقض و تا حد امکان عاری از گزاره های زائده.

ممکنه دیر جواب بدم.

البته من هنوز اختلافِ نظرشون رو ندیدم‌ها ، ولی باشه بهشون کار نداریم.
ببین عزیز، همین تفاوتِ «تعریف (definition)» و «قرارداد (convention)» خودش پاسخ می‌ده به این مسئله و مسائلِ مشابهِ قبلی رو که مطرح کردی. من با مثال توضیح می‌دم البته خب کامل نیست و تو کتابایِ فلسفه‌ی علم یا فلسفه‌یِ ریاضیِ مقدماتی می‌تونی تفاوتشون رو کامل ببینی (البته اخطار می‌کنم که تو همه کتابا هم به‌این تفاوت توجه نمی‌شه و به‌غلط فقط از لغتِ «تعریف» استفاده می‌کنن). خواهشاً با دقت بخون چون با درک و متعاقباً توافق سرِ این دیگه بحثمون به‌نتیجه می‌رسه!





تعریف به‌این بالایی می‌گن (تعریفِ غیرِ بازگشتیِ فاکتوریل هست)، یعنی هر جا شما دیدی از این ابزاری که تعریف شده (در مثالِ ما فاکتوریل هست) استفاده شده برای بررسیِ مشخصاتش به «تعریف»ش رجوع می‌کنی... امّا بعضی شرایط هست که شما به‌جایی برخورد می‌کنی که تو تعریف نیست ولی شما واسه جواب گرفتن بهش نیازمندی، حالا یا باید تعریفت رو عوض کنی و یا باید به‌تعریفت یه «قرارداد» اضافه کنی. تو این مثال صفر فاکتوریل یه قرارداده، چون تو تعریف نیست ولی برای گرفتنِ جوابِ درست می‌خواییمش.
مثالِ صفر به‌توانِ صفر دقیقاً عینِ این مثال نیست (چون توان خیلی گسترده‌تر از فاکتوریل تو ریاضی استفاده شده) اما هدفِ نهایی همینه. من از دستگاهی استفاده نمی‌کنم که توش صفر به‌توانِ صفر مساوی با یک «تعریف» شده باشه (مثلِ خودت)، منتهی من - واگه قبول کنی ریاضیاتِ بعد از اویلر!!- از دستگاهی طرف‌داری می‌کنه که صفر به‌توانِ صفر مساویِ با یک رو «قرارداد» کرده، یعنی نمی‌دونه چیه (همون‌طور که نمی‌دونه صفر فاکتوریل چیه) و از کجا اومده که بخواد از قبل وجودش رو پیش‌بینی کنه و این که اصلاً چه‌معنی داره و الخ، امّا می‌دونه اگه نگه یک بعضی از چیزا رو که تا الان قبولشون کرده به‌تناقض می‌رسند. حالا می‌تونه بیاد مثلِ تو یه‌شرط به‌قضیه‌ی دوجمله‌ای اضافه کنه که x یا y صفر نشن و این رو برایِ تناقضاتِ دیگه هم استفاده کنه و خودش رو شرط بارون کنه و حواسش رو بیشتر جمع کنه که این شرط ها با هم متناقض نشن از اون ور و ... یا هم این مسئله رو قرارداد کنه!
الان توی هیچ کتابی، تکرار می‌کنم، هیچ کتاب و مرجعی و کلاً تویِ هیچ جایی که از ریاضی صحبت می‌شه شرطِ شما توش نیومده. دقت کن که این حکم کلّی هست و فقط یه‌مثالِ نقض می‌تونه قضیه رو به‌باد بده... چیزی که تو می‌گی اینه که «حالا فقط یه‌مورد پیدا شده که قضیه به‌مشکل بر می‌خوره و کلیّتش هنوز سالمه مثلاً جاش یک بزار»!
موردِ آخر هم این که «صفر به‌توانِ صفر» مثلِ «صفر تقسیم بر صفر» نیست. صفر تقسیم بر صفر هم تناقض ایجاد می‌کنه تو تعریف (همون‌طور که صفر به توانِ صفر تو تعریف تناقض ایجاد می‌کنه (ln 0 تعریف نمی‌شه) و همون‌طور که صفر فاکتوریل تناقض ایجاد می‌کنه تو تعریف (k از یک شروع می‌شه نه از صفر)) امّا صفر تقسیم بر صفر تویِ روابط هم تناقض ایجاد می‌کنه و می‌تونی برسی به عباراتِ مسخره‌ای چون ۲=۳ و اگه مقدارشم قراردادی کنی بازم به‌تناقض می‌رسی تو روابط، امّا چنین چیزی در موردِ صفر به‌توانِ صفر صادق نیست و جوابِ صحیح می‌گیری اگه مقدارش رو بکنی یک. (البته دوباره یادآوری می‌کنم که ما قرارداد رو از قبل نمی‌بندیم بلکه وقتی رسیدیم به‌جایی که برای جواب گرفتن بهش نیاز داشته باشیم قرار داد می‌بندیم)
+ البته هر دو هم تویِ ساختارهایِ جبریِ دیگه (wheel) معنی پیدا می‌کنن و «تعریف» می‌شن که موردِ بحثِ ما نیستند و بحثِ ما رویِ ساختارِ جبری خودمونه که هیچ‌کدوم تعریف نمی‌شن.

اشکال نداره، منتظرم.
چاکریم.


بعدنوشت:
می‌دونم که قبول کردم دیگه به منابع مراجعه نکنم، ولی الان هم یادِ این افتادم. کتابِ دیفرانسیل و انتگرالِ توماس، جلدِ اوّل(۲) صفحه‌ی ۶۳۵ جایی که سری‌هایِ مک‌لورنِ پرکاربرد رو گفته هم نگاه کنی بد نیست.

[Parmenides]

خیلی ببخشید به خاطر تاخیر 1ماهه.

البته من هنوز اختلافِ نظرشون رو ندیدم‌ها

اختلاف نظر اینجاست که سیلورمن تعریفش نمیکنه، ولی این آقا طبق گفته ی خودت با تعریف نکردنش مخالفه:

Some textbooks leave the quantity 0^0 undefined, because the functions
x^0 and 0^0 have different limiting values when x decreases to 0. But this is a
mistake...

من که سیلورمن رو دیدم (راستی بالاخره گیرش اوردی؟)، و این رو هم میبینم، "اختلاف نظر" رو هم به طور واضح میبینم.

در ضمن همین نقل قول میگه که "تعریف نشده" رها کردن 0^0 به خاطر اون دلیل به گفته ی ایشون اشتباه (ای کاش بقیشم می اوردی که من ببینم چرا اشتباهه)، کار درستی نیست، که این نتیجه میده که " 0^0 رو میشه تعریف کرد". این تمایزگذاری تو بین تعریف و قرارداد نه تنها بسیار غیر دقیق و همچنان از نظر من کاملا اشتباهه، بلکه یه دعوای لفظی صرفه و هیچ اثری توی نتیجه گیری ما نمیتونه داشته باشه. من میگم توی ریاضی نباید حرف اضافه بزنیم، حالا فرق نمیکنه که این حرف اضافه ی ما "تعریف کردن" باشه یا "قرارداد کردن". این که توی ریاضیات بعد از اویلر چی شده و چی میگن یا توی همه ی کتابها چی اومده یا چی نیومده رو قرار شد بذاریم کنار. مسئله اینه که تو هیچ دلیلی برای لزوم تعریف یا قرارداد کردن 0^0 نیوردی، چرا حواست نیست؟
من میگم میشه قضیه رو جوری بیان کنیم که نخوایم حرف اضافه زده باشیم، مثال نقض چیه دیگه؟ وقتی قضیه رو طوری بیان کردی که توش از x^0 و y^0 استفاده نشده باشه نه کلیتش از بین میره و نه دیگه "مثال نقضی" برای "زدن" باقی میمونه. توجه کن که تنها چیزی که تو داری روش مانور میدی همین بسط دو جمله ایه که میبینی حتی همین رو هم نمیشه توجیهی برای تعریف کردن (یا به قول تو قرارداد کردن) 0^0 دونست.

مخلصیم

[behasht]

سلام علیکم
بر فرض که این قضیه بخواد اثبات بشه یه مشکلی پیش می یاد در بحث حد ها به این توان نیاز دارند
در حد های بی نهایت و صفر مطلق و صفر حدی این بحث بسیار پیش می یاد که از اونجا که این مطلب یک قرار داد است شکر خدا ما هم می سوزیم و می سازیم چون من خودم بارها و بارها در باره نقضش صحبت کردم اما همه می گن چی....؟ قرار داده چی بگیم دیگه هر وقت کم می یارن می گن قرر داده
اگر این قرار داد ها نبود ریاضی یات خیلی مشکل داشت خدا رو شکر ولش کن ما آتش خودمونو هم می زنیم

[sens]

سلام.بسیاری از چیزهایی که ما در ریاضیات میخونیم قراردادی هستن و هیچ کس نمی تونه اثبات بکنه.
مثلا در رشته برق بسیاری از استادان جریان وارد به یک شاخه را مثبت و بسیاری جریان وارده را منفی در نظر می گیرند.
اینکه چرا صفر فاکتوریل یک است.چرا عدد به توان صفر یک است.چرا عدد تقسیم بر صفر بی نهایت است.چرا هر عدد به توان بی نهایت صفراست.چرا هر عدد ضربدر صفر صفر است.همه قراردادی هستن