سوال در مورد عدد به توان صفر

[amishtain]

سلام
فکر کنم این راه حلی که من الان برات توضیح میدم قانع کننده باشه
ببین یک عدد رو انتخاب کن مثلا" 2 بعد این عدد رو به یک توان برسون مثلا" 4
1 2 3 4
2 4 8 16
بعد از عدد 16 شروع کن تقسیم بر 2 بکن (چون هر عدد ضرب در 2 میشه) با هر تقسیم یکی ار توان ها کم کن و وقتی رسیدی به عدد 2 توان شما یک میشه
بعد 2 رو تقسیم بر 2 کن میبینی که وقتی توان 0 میشه جواب شما 1 در میاد و توان -1 هم جواب شما رو 1/2 میکنه
امیدوارم قانع کننده بوده باشه توضیحاتم.......
در مورد عدد به توان یک هم این قضیه صدق میکنه.......

موضوع سر اثبات نیست
موضوع اینه که عدد به توان یک تعریفی نداره
توان رسوندن عملی برای راحت نوشتن ضرب مثل رابطه ی جمع و ضرب میمونه
وقتی میگیم k به توان n ،یعنی k رو n بار در خودش ضرب کن
اونوقت به نظر شما K رو میشه یه بار در خودش ضرب کرد؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
یا میتونی اینو تعرف کنی K رو صفر بار در خودش ضرب کن؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
بالایی راست میگه
اون چیزی که ما در این اعمال نیاز داریم محاسبه هستش نه تعریف
و اون چیزی که شما گفتید محاسبه هستش نه تعریف

کاملا درسته حرف شما......
خوب ما هم به محاسبه کار داریم و فهمیدن تعریف 1 یه توان 1 و 1 به توان 0 تغییری در زندگی ما ایجاد نمیکنه و اون محاسبه هست که نقش کلیدی داره و ما هم با محاسبه این اعداد کنار اومدیم
اما بایک چیز کنار نیومدیم ولی مهمه (نمیخوام بحثو عوض کنم) اونم اینه که مخرج صفر نه جواب داره و نه تعریفی داره....اگر بشه براش جواب پیدا کرد دیگه همه چیز تغییر میکنه....
البته اینم بگم که خیلی چیزا مثل این هست....

[CO2]

ای بابا
ببین بحث رو کجا کشوندین! اصلا کی میتونه ثابت کنه که قرارداد گذاشتن کار درستیه؟ من که میگم: همه چیز یه اثباتی داره و قرارداد یه چیز الکی.

[Parmenides]

عدد غير صفر به توان صفر ميشه ١، اين قرارداده (سيلورمن ص١٦)
صفر به توان صفر تعريف نشده توي رياضيات مقدماتي (همان)
صفر به توان صفر رو توي رياضيات يه مقدار بيشرفته تر هم تعريف نميكنن به خاطر اينكه ‏ln0‏ رو تعريف نكرده اند، و تابع تواني كلي رو هم به كمك تابع ‏ln‏ تعريف ميكنند: ‏x^a=e^alnx‏، به خاطر همين هم لازمه توي تعريف تابع تواني قيد بشه كه ‏x‏ مثبت باشه.
لازم هم نيست صفر به توان صفر تعريف بشه كه مايه دردسر بشه، به خاطر همين من ميتونم ادعا كنم صفر به توان صفر تو كل سيستمهاي رياضي كه تدريس ميشه تعريف نميشه، ولي هر كس دلش بخواد ميتونه يه تئوري درست كنه و توش هر جي بخواد تعريف كنه.

[aalireza]

عدد غير صفر به توان صفر ميشه ١، اين قرارداده (سيلورمن ص١٦)
صفر به توان صفر تعريف نشده توي رياضيات مقدماتي (همان)
صفر به توان صفر رو توي رياضيات يه مقدار بيشرفته تر هم تعريف نميكنن به خاطر اينكه ‏ln0‏ رو تعريف نكرده اند، و تابع تواني كلي رو هم به كمك تابع ‏ln‏ تعريف ميكنند: ‏x^a=e^alnx‏، به خاطر همين هم لازمه توي تعريف تابع تواني قيد بشه كه ‏x‏ مثبت باشه.
لازم هم نيست صفر به توان صفر تعريف بشه كه مايه دردسر بشه، به خاطر همين من ميتونم ادعا كنم صفر به توان صفر تو كل سيستمهاي رياضي كه تدريس ميشه تعريف نميشه، ولي هر كس دلش بخواد ميتونه يه تئوري درست كنه و توش هر جي بخواد تعريف كنه.

شرمنده، من نسخه‌ای که دارم فارسی نیست. می‌شه آدرسِ دقیق‌تر بدی کجاش گفته «عدد غیرِ صفر به‌توانِ صفر می‌شه یک و این قراردادیه»؟ آخه تازه راجع به exp تو صفحه‌ی ۱۵۹ شروع می‌کنه به‌صحبت کردن (!) و راستشم بخوایی من با دقّت نخوندمش قبلاً. پس اگه غیرصفر به‌توانِ صفر قراردادی باشه من در اشتباهم (هرچند که درک نمی‌کنم چرا باید قرار دادی باشه). من فکر می‌کردم عدد به‌توانِ صفر می‌شه یک به‌صورتِ قراردادی چرا که صفر به‌توانِ صفر تعریف نمی‌شه و قراردادی مقدارش رو می‌کنن یک تا ازش استفاده کنن.

[Parmenides]

ص ١٦، يه جا دوتا فرمول به عنوان تعريف نوشته،زيرشون نوشته در اين فرمول ها ‏a‏ مخالف صفر فرض شده، در ادامه هم تعريفي از صفر به توان صفر نداده، برو به قسمت "توان ها و ريشه ها". من نقل قول مستقيم نكرده بودم فقط ارجاع داده بودم.
"صفر به توان صفر=١" كجا ميتونه كاربرد داشته باشه؟

[aalireza]

ص ١٦، يه جا دوتا فرمول به عنوان تعريف نوشته،زيرشون نوشته در اين فرمول ها ‏a‏ مخالف صفر فرض شده، در ادامه هم تعريفي از صفر به توان صفر نداده، برو به قسمت "توان ها و ريشه ها". من نقل قول مستقيم نكرده بودم فقط ارجاع داده بودم.
"صفر به توان صفر=١" كجا ميتونه كاربرد داشته باشه؟

صفحه‌ی ۱۶یِ من یه‌فرمول بیشتر نداره که اونم فاصله‌ی بینِ دو نقطه رویِ محورِ اعدادِ حقیقیه و اصلاً اسمِ فصل «توان‌ها و ریشه‌ها» نیست و اسمِ فصل باید پیش‌زمینه‌های ریاضی ترجمه بشه (Mathematical background نوشته). تنها یه‌جا من چنین مشخصاتی که گفتی رو دیدم تو صفحه‌ی ۱۶۲ که چند تا فرمول نوشته (من جمله 1=a^0=e^0 ) که این‌ها رو از فرمولِ قبلی نتیجه گرفته و به‌عنوانِ تعریف نیاورده (بازم می‌گم، وقتی می‌شه به‌درستی نتیجه‌ش گرفت نمی‌فهمم چرا باید تعریف بشه یا قرارداد ببنده!)
+ کتابِ تو هم قاعدتاً باید ترجمه‌ی «Essential Calculus with Applications» باشه، اگه بتونی آدرسِ دقیق‌تر بهم بدی بازم ممنونت می‌شم!
++ من نسخه‌یِ فارسیِ کتابِ توماس مالِ همین نشرِ دانشگاهی رو هم دارم و از صفحه‌ی ۳۵۴ به‌بعد که راجع به توابعِ نمایی گفته (تو صفحه‌ی ۳۶۲ هم قوانین رو گفته a^n رو تعریف کرده) چیزی از این تعریف یا قراردادی که می‌گی نیاورده. تویِ جایی مثلِ ویکی‌پدیا (https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation) هم تحتِ نامِ تعریف نیاوردش و نتیجه‌ش گرفته.
---

اون قسمت که گفتی «صفر به‌توانِ صفر=۱» کجا می‌تونه کاربرد داشته باشه هم یکی از کاربردهاش رو قبلاً بهش اشاره کرده بودم خب! بسطِ دوجمله‌ای مثلاً یکیشونه. اگه یکی از جملات صفر باشه (آره می‌تونن صفر باشن، می‌تونن هر عددِ مختلطی باشند) اون‌وقت یه‌جا شما صفر به‌توانِ صفر به‌دست میاری، که این رو می‌گیرن یک و جوابِ درست رو به‌دست میارن.

[Parmenides]

Calculus with Analytic Geometry

من به اين ارجاع دادم، اون بخش توان ها و ريشه ها مال فصل اوله، يه قسمتيه از فصل اول كتاب.
اينم يه جمله صريحتر تو همون صفحه:
‏"همجنين تاكيد ميكنيم كه عدد صفر نبايد به تواني نامثبت برسد."
صفر به توان صفر=١ اشكال ايجاد ميكنه برا تابع تواني كه توضيح دادم.
يه مثال بزن در مورد بسط دوجمله اي كه ادعاتو ثابت كنه.

[aalireza]

Calculus with - geometry

من به اين ارجاع دادم نه اون كه تو اسم بردي.
اينم يه جمله صريحتر تو همون صفحه:
‏"همجنين تاكيد ميكنيم كه عدد صفر نبايد به تواني نامثبت برسد."
صفر به توان صفر=١ اشكال ايجاد ميكنه برا تابع تواني كه توضيح دادم.
يه مثال بزن كه در مورد بسط دوجمله اي كه ادعاتو ثابت كنه.

خب من این کتاب رو ندارم و تو اینترنت تو Google books هم Modern Calculus and Analytic Geometry هستش (http://books.google.ch/books?id=s3BYKJO ... &q&f=false) که بازم چنین چیزی که می‌گی رو نداره. این‌طوری رفتن فایده نداره. من می‌گم کتاب رو بیارن واسم، هرچند که تکرار می‌کنم تویِ توماس حرفی نزده بود و تویِ ویکی‌پدیا هم نتیجه‌ش گرفته بود و قراردادش نکرده بود.

معلومه که مشکل ایجاد می‌کنه برای تابعِ توانی (همون‌طور که خودت گفتی ln 0 تعریف نشده‌ست) و دقیقاً به‌همین خاطره که «قرارداد»ش می‌کنند چون تعریف نمی‌شه. مثلِ صفر فاکتوریل، مثلِ زمانی که زیرِ سیگما بزرگ‌تر از بالاش باشه (empty sum) و مواردِ دیگه...
مثال هم که چیزی که گفتم مثال بود خب!! من صورتش رو نوشتم واست. اون جمله‌ی آخری صفر به‌توانِ صفر به‌دست میاد که اگه بگیریش یک جواب رو بدونِ مشکل به‌دست میاری.

بعدنوشت: چه‌باحال ! نمی‌شه به‌انگلیسی نوشت «تحلیلی» تو هوپا.

[Parmenides]

قبل نوشت: من با موبايلم عكسا رو نميبينم ببخشيد بعد مثالتو ميبينم.

يه سوال، تو كه فكر نميكني اينايي كه از سيلورمن باصفحه برات فكت اوردم صرفا زاييده تخيلات يه ذهن خلاق بوده؟

[aalireza]

قبل نوشت: من با موبايلم عكسا رو نميبينم ببخشيد بعد مثالتو ميبينم.

اگه لاتک می‌تونی بخونی ایناهاشش که دیگه نخوایی عکس رو دانلود کنی، اگه هم نه که چاره‌ای نیست بعداً ببین:

کد: انتخاب همه

(0+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}0^{n-k}y^{k}=\binom{n}{0}0^{n}y^{0}+\binom{n}{1}0^{n-1}y^{1}+...+\binom{n}{n-1}0^{1}y^{n-1}+\binom{n}{n}0^{0}y^{n}

يه سوال، تو كه فكر نميكني اينايي كه از سيلورمن باصفحه برات فكت اوردم صرفا زاييده تخيلات يه ذهن خلاق بوده؟

شرمنده، متوجه منظورت نشدم!

[Parmenides]

در هم بر همه، بعد ميبينم، اكه مثالت درست باشه قبول دارم كه اعتبار حرفات بالا ميره، ولي هم جواب سيلورمن رو بايد بدي، هم جواب اين نقد رو كه: نيازي نيست توي تئوري مختلط يا هر جاي ديكه عددي رو با صفر جمع كنيم بعد به توان برسونيم"، هم اينكه مشكلات جدي تري كه ايجاد ميشه رو بايد توجيه كني.


منظورم اين بود كه اون ارجاعاتي كه به سيلورمن دادم زاييده تخيل من نيستن، واقعا توي اون كتاب وجود دارن!

[aalireza]

در هم بر همه، بعد ميبينم، اكه مثالت درست باشه قبول دارم كه اعتبار حرفات بالا ميره، ولي هم جواب سيلورمن رو بايد بدي، هم جواب اين نقد رو كه: نيازي نيست توي تئوري مختلط يا هر جاي ديكه عددي رو با صفر جمع كنيم بعد به توان برسونيم"، هم اينكه مشكلات جدي تري كه ايجاد ميشه رو بايد توجيه كني.

خب عزیز، اون نسخه از سیلورمن رو که ندارم و ندیدم که بخوام جوابش رو بدم و اگه هم واقعاً درج کرده باشه عددِ غیرِ صفر به‌توانِ صفر به‌صورتِ «قراردادی» و بی‌دلیل می‌شه یک اون وقت تجدیدنظر و شکِ کلّی می‌کنم تو چیزایی که می‌گم؛ این نقدِ دومی مسخره‌ست و اصلاً نقد نیست! نیازی نیست یعنی چی برادرِ من؟! اصلاً مختلط رو بزار کنار. تو داری (x+y) به‌توانِ n، اون‌وقت اگه x=0 بشه داری (y+0) به‌توانِ n، حالا وقتی که تو در حالتِ کلّی می‌تونی فرمول بنویسی و پاسخش رو می‌تونی بدی، حالتِ جزئی‌ش رو هم مجازی با همون فرمول بری، نمیایی پاسخ بدی صرفاً چون «نیازی نیست»؟ چی‌کار به‌نیازش داریم خب! مشکلاتِ جدی‌تر هم که شما هنوز بهشون اشاره نکردی من بخوام توجیه کنم!
البته یادآوری می‌کنم که صفر به‌توانِ صفر مساویِ یک ادعایِ بنده نیست و چیزیه که از مابهتران و اساتید دارند می‌گن و تدریسش می‌کنن... یعنی چیزِ جدیدی نیست و تویِ این تاپیکِ هوپا واسه اوّلین بار مطرح نشده.

منظورم اين بود كه اون ارجاعاتي كه به سيلورمن دادم زاييده تخيل من نيستن، واقعا وجود دارن!

آهان، خب اگه فکر می‌کردم مثلِ بعضیا داری از خودت در میاری که چیزایی که می‌گفتی رو جدی نمی‌گرفتم!

[CO2]

من که میگم واسه هر چیزی (مخصوصا ریاضیات)یه اثباتی وجود داره و قرارداد هم یه چیز الکیه!

[Parmenides]

خب عزیز، اون نسخه از سیلورمن رو که ندارم و ندیدم که بخوام جوابش رو بدم و اگه هم واقعاً درج کرده باشه عددِ غیرِ صفر به‌توانِ صفر به‌صورتِ «قراردادی» و بی‌دلیل می‌شه یک اون وقت تجدیدنظر و شکِ کلّی می‌کنم تو چیزایی که می‌گم؛ این نقدِ دومی مسخره‌ست و اصلاً نقد نیست! نیازی نیست یعنی چی برادرِ من؟! اصلاً مختلط رو بزار کنار. تو داری (x+y) به‌توانِ n، اون‌وقت اگه x=0 بشه داری (y+0) به‌توانِ n، حالا وقتی که تو در حالتِ کلّی می‌تونی فرمول بنویسی و پاسخش رو می‌تونی بدی، حالتِ جزئی‌ش رو هم مجازی با همون فرمول بری، نمیایی پاسخ بدی صرفاً چون «نیازی نیست»؟ چی‌کار به‌نیازش داریم خب! مشکلاتِ جدی‌تر هم که شما هنوز بهشون اشاره نکردی من بخوام توجیه کنم!
البته یادآوری می‌کنم که صفر به‌توانِ صفر مساویِ یک ادعایِ بنده نیست و چیزیه که از مابهتران و اساتید دارند می‌گن و تدریسش می‌کنن... یعنی چیزِ جدیدی نیست و تویِ این تاپیکِ هوپا واسه اوّلین بار مطرح نشده.

اولا من سیلورمن جلومه و دارم میبینم که تاکید میکنه که صفر رو نباید به توان صفر رسوند.
ثانیا حالا دارم فرمولتو میبینم، ببین توی بسط دو جمله ای لازم نیست صورت قضیه رو جوری بنویسی که توش از توانهای صفر استفاده بشه، من جایی هم همچین چیزی ندیدم، پس این کاربرد نیست چون صورت قضیه رو بدون اینکه کلیتش رو از دست بده میشه بدون استفاده از توان های صفر نوشت. در مورد نقد قبلی حق با توئه.
ثالثا اشکالش رو توی تابع log و ln و توانی نشون میده. تا اینجا هم دلیل قانع کننده ای برای تعریف صفر به توان صفر نیوردی تا حالا.

این از ما بهتران و اساتیدی که یهویی اوردی وسط، کتاب مرجعی توی ریاضی نوشتن مثل سیلورمن؟ سندی برای حرفت داری؟
مزخرفات زیادی توی هوپا، ده ها بار مطرح شده، انکار که نمی کنی؟ همین پست بالایی رو ببین! پس تکرار شدن توی هوپا ملاک نیست!

[aalireza]

اولا من سیلورمن جلومه و دارم میبینم که تاکید میکنه که صفر رو نباید به توان صفر رسوند.

جلویِ شماست نه جلویِ من و کتابِ من چنین چیزی ننوشته. قرار نیست الان من بگم اشتباه کنم چون شما هیچ دلیلی نیاوردی و صرفاً فرمودی تو سیلورمنت نوشته پس درست می‌گی.

ثانیا حالا دارم فرمولتو میبینم، ببین توی بسط دو جمله ای لازم نیست صورت قضیه رو جوری بنویسی که توش از توانهای صفر استفاده بشه، من جایی هم همچین چیزی ندیدم، پس این کاربرد نیست چون صورت قضیه رو بدون اینکه کلیتش رو از دست بده میشه بدون استفاده از توان های صفر نوشت.

ببین عزیز، تکرارِ حرف هیچ‌جا خوب نیست. این‌چیزی شما جایی ندیدی پس غلطه روندِ یه استنتاجِ منطقی نیست. این‌جایی که گفتی «لازم نیست» هم قبلاً هم گفته بودی و بهت جواب دادم؛ وقتی که از نظرِ ریاضیاتی مجاز هستی پس از پاسخ دادن طفره نمی‌ری چون فقط «لازم نیست». هیچ جایی نمی‌شه صورتِ قضیه رو طوری نوشت که توانِ صفر نداشته باشه و تویِ قضیه «توان‌ها» دو جا صفر می‌شن یکی واسه x و یکی واسه y و این تویِ دومِ دبیرستان تدریس می‌شه نیازی به سیلورمنم نداره. فرمولش رو پایین آوردم. حالا شما مجازی جایِ x و y هر عددی من‌جمله صفر بزاری، حالا اگه جایِ یکیشون صفر بگذاری و صفر به‌توانِ صفر رو نگی یک جوابی به‌دست نمیاری.
+ اگه هم جایِ مرجع می‌خوایی که گفته باشه می‌تونی یکیشون رو صفر کنی بفرما کتابِ متغیرهایِ مختلط چرچیل صفحه‌ی هفت.

ثالثا اشکالش رو توی تابع log و ln و توانی نشون میده. تا اینجا هم دلیل قانع کننده ای برای تعریف صفر به توان صفر نیوردی تا حالا.

این رو هم دارم تکرار می‌کنم:

معلومه که مشکل ایجاد می‌کنه برای تابعِ توانی (همون‌طور که خودت گفتی ln 0 تعریف نشده‌ست) و دقیقاً به‌همین خاطره که «قرارداد»ش می‌کنند چون تعریف نمی‌شه. مثلِ صفر فاکتوریل، مثلِ زمانی که زیرِ سیگما بزرگ‌تر از بالاش باشه (empty sum) و مواردِ دیگه...

چیزایی که می‌نویسم رو می‌خونی دیگه؟ برادر! «تعریف» نمی‌شه، صفر به‌توانِ صفر «تعریف» نمی‌شه و مقدارش «قراردادی» هست.

این از ما بهتران و اساتیدی که یهویی اوردی وسط، کتاب مرجعی توی ریاضی نوشتن مثل سیلورمن؟ سندی برای حرفت داری؟
مزخرفات زیادی توی هوپا، ده ها بار مطرح شده، انکار که نمی کنی؟ همین پست بالایی رو ببین! پس تکرار شدن توی هوپا ملاک نیست!

یهویی آوردم وسط؟ قبول دارم که تو هوپا چرند زیاد گفته می‌شه و به همین خاطر من از همون اوّلی که شروع کردم به‌حرف زدن گفتم که من نمی‌گم و لینک دادم. اگه تاریخِ ریاضی هم بخونی می‌بینی اویلر کلّی چیز گفته در این زمینه. حتی این مثال هم مالِ من نیست و از «Concrete Mathematics» از کنوث هست که تویِ اکثرِ دانشکده‌های ریاضیات و علومِ کامپیوتر تدریس می‌شه. صفحه‌ی ۱۶۲:

Some textbooks leave the quantity 0^0 undefined, because the functions
x^0 and 0^0 have different limiting values when x decreases to 0. But this is a
mistake...

و در ادامه هم همین مثالم رو آورده.
می‌تونی تویِ وبسایت‌های اینترنتی هم بگردی و مثلاً این بابا Associate Professor دانشگاه واترلو هست و این‌جا راجع بهش صحبت کرده:
http://www.cs.uwaterloo.ca/~alopez-o/ma ... ode14.html
(البته اونم مثل من از کنوث نقل قول کرده یه‌قسمتی از متنش رو)
تو اینترنت منابعِ دیگه هم می‌تونی پیدا کنی که اکثراً مقاله هستند:

کد: انتخاب همه

Knuth. Two notes on notation. (AMM 99 no. 5 (May 1992), 403-422).

H. E. Vaughan. The expression ' 0^0 '. Mathematics Teacher 63 (1970), pp.111-112.

Louis M. Rotando and Henry Korn. The Indeterminate Form 0^0 . Mathematics Magazine, Vol. 50, No. 1 (January 1977), pp. 41-42.

L. J. Paige. A note on indeterminate forms. American Mathematical Monthly, 61 (1954), 189-190; reprinted in the Mathematical Association of America's 1969 volume, Selected Papers on Calculus, pp. 210-211.

Baxley & Hayashi. A note on indeterminate forms. American Mathematical Monthly, 85 (1978), pp. 484-486.

Robert S. Fouch. On the definability of zero to the power zero. School Science and Mathematics 53, No. 9 (December 1953), pp. 693-696. 

البته اخطار می‌کنم که من نخوندم مقالات بالا رو.
می‌تونی تو گوگل هم جست و جو (گوگل ماشین حساب هم داره). برو تو گوگل 0^0 رو جست و جو کن ببین چی جوابت می‌ده.


ضمناً: جسارتاً انتظار دارم نکته‌ی جدیدی تو حرف‌هات باشه و مثلِ پستِ قبل تکرارِ محض نباشه. قبلاً چاکریم.


بعدنوشت: این قسمت متنت رو تازه خوندم:

این از ما بهتران و اساتیدی که یهویی اوردی وسط، کتاب مرجعی توی ریاضی نوشتن مثل سیلورمن؟

این راه رو واسه‌ی مغالطه‌ی «اسکاتلندیِ واقعی» باز می‌کنه که بعداً شما بگی اعتبار هیچ کدوم مثلِ سیلورمن نیست و الخ، هرچند که من کنوث رو واست آوردم که اونم کتاب مرجع نوشته (منتهی نه برای دانشجویان کارشناسی!) ولی این دلیل اعتبار نمی‌شه. اویلر هم همین رو گفته ولی کتابِ مرجع ننوشته! کتابِ مرجع نوشتن اونم واسه کارشناسی این حدّی از اعتبار که بخوایی روش مانور بدی رو نمیاره... مثلاً اندرو وایلز یا ترنس تائو کتابِ مرجع نوشتن؟ گریگوری پرلمان کتابِ مرجع نوشته؟ تانیاما و شیمورا کتابِ مرجع نوشته بودن واسه حدسشون؟ یا حالا مثلاً رودین که سطحِ کتابِ مرجعش خیلی بالاتر از سیلورمنه اعتبارش بالاتره؟! ... و قس‌علی‌هذا.