هوپا، انجمن علم ایران

چرا؟؟؟؟؟چرا 1+1/n به توان n وقتی n به سمت بینهایت میره میشه e؟؟؟؟؟؟؟چرا؟؟؟؟؟

واضح تر بنویس ! تو خوندن مشکل دارم

اين سواليه كه من 4 ماهه دارم بهش فكر ميكنم جوابش تو كتاباي رياضي1 دانشگاهي هست با استفاده از مشتقexp حل ميشه ولي من ميخوام خودم حل كنم اما نميتونم

تو تایپ مشکل دارم...
سوال من اینه که چرا یک به توان بینهایت تعریف نشده یا مبهم هست...یا اینکه چرا(یک به اضافه یک به روی n )به توان n وقتی nبه سمت بی نهایت میل میکنه میشه e(امیدوارم واضح شده باشه )
مشتق چی؟؟؟؟نمیشه یه توضیحی در حد دبیرستان بدین؟من فعلا ریاضیات دانشگاهی رو نخوندم!!!

واضح شد .
نمیدونم

سلام
اول برو یک ماشین حساب بردارشروع کن عدد دادن از 10 شروع کن بعد بهn عدد1000بعد10000و10000000بده خواهی دید که با یک تابع کراندار سروکار داری.این از لحاظ شهودی.
ولی از لحاظ منطقی دقت کن عبارت یک باضافه یک انم با رشد nهر لحظه به یک نزدیک تر می شه ازطرفی ما می دونیم اعداد بزرگتر از یک به توان بینهایت برابر بینهایت می شوند.(واعداد کوچکتر هم صفر)وخود یک هم به توان بینهایت برابر یک خواهد شد(خود یک نه اعداد نزدیک به یک به قول معروف یک مطلق نه یک حدی)حالا اگرعددی بزرگتر از یک ولی بسیار نزدیک به آن باشد قضیه فرق میکند.شاید بخواهی بگویی به هر حال عبارت بزرگ تر از یک که هست پس تا می توانیم توان را بزرگ انتخاب می کنیم تاحاصل بینهایت شود ولی از این نکته غافل مباش که که هر چه توان را بزرگتر انتخاب کنی عبارت حاصل هم به یک نزدیک تر می شود.امیدوارم قانع شده باشی اگر هم نشده باشی وقتی تابع expرا در دانشگاه یاد گرفتی همه چی حل خواحد شد.
اما اگر می خواهی بدانی چرا eبایدبه توبگویم چرا برای محاسبه محیط دایره از ثابت پی استفاده می کنی؟پاسخ روشن است چون وقتی محیط دایره را بر 2برابر شعاع تقسیم کنندجواب ثابثی مثل پی میشود در مورد eهم همین طور این ثابت به مراتب بیشتر از پی در طبیعت تکرا می شوذ.
موفق باشی

http://en.wikipedia.org/wiki/2.71828
در لینک بالا پاسخ خود را خواهید یافت و با تابع exp نیز و ویژگی های آن و کاربرد e در ریاضیات تا حدودی آشنا خواهید شد .
خواندن قسمت Discussion آن هم خالی از لطف نیست .

ali.reza نوشته شده:سلام
.امیدوارم قانع شده باشی اگر هم نشده باشی وقتی تابع expرا در دانشگاه یاد گرفتی همه چی حل خواحد شد.
اما اگر می خواهی بدانی چرا eبایدبه توبگویم چرا برای محاسبه محیط دایره از ثابت پی استفاده می کنی؟پاسخ روشن است چون وقتی محیط دایره را بر 2برابر شعاع تقسیم کنندجواب ثابثی مثل پی میشود در مورد eهم همین طور این ثابت به مراتب بیشتر از پی در طبیعت تکرا می شوذ.
موفق باشی

ممنون...البته من قانع نشدم...دایره رو میشه شهودی حساب کرد ولی e....

eهم شهودی حساب می شه مساحت زیر نمودار x/1را از x=1تاعددی که به آن eمی گویند که برابر 1واحد مربع شود .این هم از شهود.

ali.reza نوشته شده:eهم شهودی حساب می شه مساحت زیر نمودار x/1را از x=1تاعددی که به آن eمی گویند که برابر 1واحد مربع شود .این هم از شهود.

ممنون!فکر میکنم باید تو زمینه مشتق و انتگرال بیشتر کار کنم!!!!

xphoenix نوشته شده: ↑

سه‌شنبه ۱۳۸۷/۷/۳۰ - ۱۲:۴۶

چرا؟؟؟؟؟چرا 1+1/n به توان n وقتی n به سمت بینهایت میره میشه e؟؟؟؟؟؟؟چرا؟؟؟؟؟

عزیزم بخاطر اینه که در این حالت 1 بر n برابر با 0 حدی (یه ذره کمتر یا یه ذره بیشتر از 0 میشه) و در مجموع چیزی که به توان بی نهایت (n که به سمت بینهایت میره) میرسه ; 1 مثبت یا 1 منفی ; مفهوم حدی داره و نه مطلق.

بخاطر اینکه 1 بتوان بینهایت در حد چنتا جواب مختلف داره مثلا :
1 تقسیم بر e
e
1
0
بینهایت

اگر یک مطلق به توان بینهایت وجود داشته باشد، به این معنی است که اگر 1 عدد صحیح باشد، در آن صورت فقط 1 به توان بی نهایت برابر با 1 خواهد بودمی توان با جدیت ثابت کرد که یک حد وجود دارد، که یک عدد غیر منطقی است$e=\sum_{k=0}^\infty \frac1{k!}.$
در زمینه اعداد حقیقی و مختلط،$1^\infty$ تعریف نشده است، صرفاً به این دلیل که توان یک عدد نیست. می‌توان محدودیت‌هایی از شکل $x^y$ داشت که مقدار آن بستگی به این دارد که x چگونه به 1 برود زیرا y به طور دلخواه بزرگ می‌شود.اینکه $1^\infty$ چیست یا نیست، صرفاً یک موضوع تعریف است. به طور معمول، $a^b$ را فقط برای دسته خاصی از جفت های a،b - مثلا b - عدد صحیح مثبت، a - عدد واقعی تعریف می کنیم.
هنگامی که تعریف توان را به جفت های کلی تر بسط می دهیم، نکته کلیدی که ما در نظر داریم این است که ویژگی های مختلف خوب حفظ می شوند. به عنوان مثال، برای b - عدد صحیح مثبت، شما می خواهید $a^{-b} = \frac{1}{a^b}$را قرار دهید تا قاعده $a^ba^c = a^{b+c}$ حفظ شود.
ممکن است در برخی زمینه‌ها منطقی باشد که از بی‌نهایت‌ها در چارچوب محدودیت‌ها صحبت کنیم، اما این معمولاً بیشتر یک قانون سرانگشتی است تا ریاضیات دقیق. این ممکن است به عنوان گسترش این قاعده در نظر گرفته شود که $(a,b) \mapsto a^b$پیوسته است (یعنی اگر$\lim_n a_n = a$و $\lim_n b_n = b$، سپس $\lim_n a_n^{b_n} = a^b$ تا اجازه $b_n \to \infty$ را بدهد. به عنوان مثال، ممکن است این خطر را داشته باشید که بگویید:
$\lim_{n} (2+\frac{1}{n})^n = 2^{\infty} = \infty$
اگر موافق استفاده از این نوع قوانین هستید، ممکن است وسوسه شوید که بگویید:
$\lim_{n} (1+\frac{1}{n})^n = 1^{\infty} = 1$
اما این شما را گمراه می کند، زیرا در واقعیت:
$\lim_{n} (1+\frac{1}{n})^n = e \neq 1$و $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e$و همچنین $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{\sqrt n}=0\;,$و همچنین $\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac xn\Bigr)^n=e^x.$
بنابراین،اجازه بدین که من$1^\infty$ را تعریف نشده رها کنم دقت کنید از تعریف های $\lim_{x \to \infty}a^x=\infty, \lim_{x \to -\infty}a^x=0$ اگر $a \gt 1$و $\lim_{x \to +\infty}a^x=0, \lim_{x \to -\infty}a^x=\infty$اگر $0 \lt a \lt 1$
دقت کنید این نیست: $\lim_{n\to\infty}1^n=1$، دقیقاً همانطور که شما پیشنهاد می کنید. با این حال، اگر f و g توابعی هستند که $\lim_{n\to\infty}f(n)=1$و $\lim_{n\to\infty}g(n)=\infty$، لزوما درست نیست که
$\lim_{n\to\infty}f(n)^{g(n)}=1\;.\tag{1}$مثلا،
$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e\approx2.718281828459045\;.$به طور کلی،
$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{an}=e^a\;,$و به عنوان محدوده ای روی همه اعداد حقیقی، $e^a$ روی همه اعداد حقیقی مثبت قرار می گیرد. سرانجام،
$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n^2}=\infty\;,$و
$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{\sqrt n}=0\;,$بنابراین حدی از معادله فرم 1 همیشه باید بر اساس ارزش خود ارزیابی شود. حدود f و g به خودی خود مقدار آن را تعیین نمی کند.I hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا