اگر یک مطلق به توان بینهایت وجود داشته باشد، به این معنی است که اگر 1 عدد صحیح باشد، در آن صورت فقط 1 به توان بی نهایت برابر با 1 خواهد بودمی توان با جدیت ثابت کرد که یک حد وجود دارد، که یک عدد غیر منطقی است$e=\sum_{k=0}^\infty \frac1{k!}.$
در زمینه اعداد حقیقی و مختلط،$1^\infty$ تعریف نشده است، صرفاً به این دلیل که توان یک عدد نیست. میتوان محدودیتهایی از شکل $x^y$ داشت که مقدار آن بستگی به این دارد که x چگونه به 1 برود زیرا y به طور دلخواه بزرگ میشود.اینکه $1^\infty$ چیست یا نیست، صرفاً یک موضوع تعریف است. به طور معمول، $a^b$ را فقط برای دسته خاصی از جفت های a،b - مثلا b - عدد صحیح مثبت، a - عدد واقعی تعریف می کنیم.
هنگامی که تعریف توان را به جفت های کلی تر بسط می دهیم، نکته کلیدی که ما در نظر داریم این است که ویژگی های مختلف خوب حفظ می شوند. به عنوان مثال، برای b - عدد صحیح مثبت، شما می خواهید $a^{-b} = \frac{1}{a^b}$را قرار دهید تا قاعده $a^ba^c = a^{b+c}$ حفظ شود.
ممکن است در برخی زمینهها منطقی باشد که از بینهایتها در چارچوب محدودیتها صحبت کنیم، اما این معمولاً بیشتر یک قانون سرانگشتی است تا ریاضیات دقیق. این ممکن است به عنوان گسترش این قاعده در نظر گرفته شود که $(a,b) \mapsto a^b$پیوسته است (یعنی اگر$\lim_n a_n = a$و $\lim_n b_n = b$، سپس $\lim_n a_n^{b_n} = a^b$ تا اجازه $b_n \to \infty$ را بدهد. به عنوان مثال، ممکن است این خطر را داشته باشید که بگویید:
$\lim_{n} (2+\frac{1}{n})^n = 2^{\infty} = \infty$
اگر موافق استفاده از این نوع قوانین هستید، ممکن است وسوسه شوید که بگویید:
$\lim_{n} (1+\frac{1}{n})^n = 1^{\infty} = 1$
اما این شما را گمراه می کند، زیرا در واقعیت:
$\lim_{n} (1+\frac{1}{n})^n = e \neq 1$و $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e$و همچنین $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{\sqrt n}=0\;,$و همچنین $\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac xn\Bigr)^n=e^x.$
بنابراین،اجازه بدین که من$1^\infty$ را تعریف نشده رها کنم دقت کنید از تعریف های $\lim_{x \to \infty}a^x=\infty, \lim_{x \to -\infty}a^x=0$ اگر $a \gt 1$و $\lim_{x \to +\infty}a^x=0, \lim_{x \to -\infty}a^x=\infty$اگر $0 \lt a \lt 1$
دقت کنید این نیست: $\lim_{n\to\infty}1^n=1$، دقیقاً همانطور که شما پیشنهاد می کنید. با این حال، اگر f و g توابعی هستند که $\lim_{n\to\infty}f(n)=1$و $\lim_{n\to\infty}g(n)=\infty$، لزوما درست نیست که
$\lim_{n\to\infty}f(n)^{g(n)}=1\;.\tag{1}$مثلا،
$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e\approx2.718281828459045\;.$به طور کلی،
$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{an}=e^a\;,$و به عنوان محدوده ای روی همه اعداد حقیقی، $e^a$ روی همه اعداد حقیقی مثبت قرار می گیرد. سرانجام،
$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n^2}=\infty\;,$و
$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{\sqrt n}=0\;,$بنابراین حدی از معادله فرم 1 همیشه باید بر اساس ارزش خود ارزیابی شود. حدود f و g به خودی خود مقدار آن را تعیین نمی کند.I hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا