انحنای گرادیان Curvature of the gradient

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesamiرهام حسامی

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1607

سپاس: 3160

جنسیت:

تماس:

انحنای گرادیان Curvature of the gradient

پست توسط rohamjpl »

گرادیان انحنا چیست؟
گرادیان در حالت عمومی در تحلیل برداری، یک عملگر برداری است که با نماد ∇ نمایش داده می‌شود.ت. محاسبه گرادیان یک تابع حقیقی و اسکالر f، با اعمال عملگر دل روی آن تعریف می‌شود. این تابع با استفاده از نماد زیر نشان داده می‌شود$\large \bigtriangledown f = grad (f)$در حالت کلی، گرادیان تابع دلخواه در سه راستا در «مختصات خمیده خط» (Curvilinear coordinates) به شکل زیر قابل نمایش است.$\large \bigtriangledown \phi = { 1 \over h_1 } { \partial \phi \over \partial u_1 } {\widehat{u}_1} + { 1 \over h_2 } { \partial \phi \over \partial u_2 } {\widehat{u}_2} + { 1 \over h_3 } { \partial \phi \over \partial u_3 } {\widehat{u}_3}$در صورتی که j ،i و k بردارهای یکه در جهت y ،x و z محور مختصات در نظر گرفته شوند، گرادیان در مختصات کارتزین به شکل زیر نمایش داده می‌شود.$\large \bigtriangledown f = { \partial f \over \partial x } { i } + { \partial f \over \partial y } { j } + { \partial f \over \partial z } { k }$بردار گرادیان همیشه جهت بزرگترین افزایش تابع F را نشان می‌دهد و طول آن، نرخ افزایش تابع را در این جهت مشخص می‌کند.ضرب اسکالر یا ضرب داخلی بردار ∇ و میدان برداری V به عنوان دیورژانس بردار V شناخته می‌شود:$\large { \nabla \cdot \mathbf { V } = \text {div} \, \mathbf { V } } = { \frac { { \partial { V _ x } } } { { \partial x } } + \frac { { \partial { V _ y } } } { { \partial y } } + \frac { { \partial { V _ z } } } { { \partial z } } . }$ضرب برداری دو بردار ∇ و V، کرل بردار V را نتیجه می‌دهد:$\large { \nabla \times \mathbf { V } = \text {rot} \, \mathbf { V } }
= { \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }
\mathbf { i } & \mathbf { j } & \mathbf { k } \\
{ \frac { \partial } { { \partial x } } } & { \frac { \partial } { { \partial y } } } & { \frac { \partial } { { \partial z } } } \\
{ { V _ x } } & { { V _ y } } & { { V _ z } }
\end{array} } \right | . }$ضرب نقطه‌ای $\nabla \cdot \nabla = {\nabla ^2}$، متناظر با یک عملگر دیفرانسیلی اسکالر است که عملگر لاپلاس یا لاپلاسین نامیده شده و با نماد Δ نشان داده می‌شود:$\large { \Delta = { \nabla ^ 2 } } = { \frac { { { \partial ^ 2 } } } { { \partial { x ^ 2 } } } + \frac { { { \partial ^ 2 } } }{ { \partial { y ^ 2 } } } + \frac { { { \partial ^ 2 } } } { { \partial { z ^ 2 } } } . }$بنابراین هر تابعی که بعد از عملگر «نابلا» (∇) یا دِل بیاید، مولفه‌هایی از ترکیب مشتقات جزئی تابع دارد. کرل یک تابع، حاصلِ ضرب خارجی ∇ و تابع ‌F است. پس:
$curl \, \hat F=\nabla \times \hat F = \Large
\begin{vmatrix}
\hat i & \hat j & \hat k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P&Q&R
\end{vmatrix}$ میدان برداری به حوزه‌ای از بردار گفته می‌شود. به عنوان یک مثال کاربردی می‌توان فرض کرد که بردار F، جریان یک سیال مانند مایع یا گاز باشد. می‌خواهیم مفهوم کرل را با استفاده از جریان سیال بررسی کنیم.کرل یک میدان برداری به این مسئله می‌پردازد که آیا جریان در سیال می‌تواند گردش داشته باشد یا خیر
گرادیان در یک نقطه از یک منحنی به عنوان گرادیان مماس بر منحنی در آن نقطه تعریف می شود. ... گرادیان منحنی را که با y = f(x) در نقطه P (یعنی گرادیان خط مماس AB) تعریف شده در نظر بگیرید.گرادیان یک سطح چقدر است؟
برای یک سطح در یک میدان اسکالر، گرادیان سطح به صورت تعریف و علامت گذاری می شود. جایی که. یک واحد نرمال به سطح است. بررسی تعریف نشان می‌دهد که گرادیان سطح، گرادیان (معمولی) است که جزء نرمال نسبت به سطح حذف شده (کاهش) است، بنابراین این گرادیان مماس بر سطح است.در حساب برداری، گرادیان سطح یک عملگر دیفرانسیل برداری است که مشابه گرادیان معمولی است. تمایز این است که گرادیان سطح در امتداد یک سطح تأثیر می گذارد.
برای یک سطح S در یک میدان اسکالر u، گرادیان سطح تعریف شده و به صورت علامت گذاری می شود.${\displaystyle \nabla _{S}u=\nabla u-\mathbf {\hat {n}} (\mathbf {\hat {n}} \cdot \nabla u)}$چگونه انحنا را با استفاده از گرادیان معمولی یک تابع ارزیابی کنیم؟گرادیان تابع ϕ به صورت زیر است:
$\nabla\phi =(\frac{\partial\phi}{\partial x},\frac{\partial\phi}{\partial y},\frac{\partial\phi}{\partial z})$
و واحد نرمال این است:
$\vec{N}=\frac{\nabla\phi}{|\nabla\phi|}$
در حالی که انحنا را می توان به صورت تعریف کرد:
$\kappa =\nabla\cdot\vec{N}=\nabla\cdot(\frac{\nabla\phi}{|\nabla\phi|})$
کتاب به این صورت پاسخ می دهد$\kappa =\nabla\cdot(\frac{\nabla\phi}{|\nabla\phi|})
\\=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})\cdot \frac{(\frac{\partial\phi}{\partial x},\frac{\partial\phi}{\partial y},\frac{\partial\phi}{\partial z})}{\sqrt{(\frac{\partial\phi}{\partial x})^2+(\frac{\partial\phi}{\partial y})^2+(\frac{\partial\phi}{\partial z})^2}}
\\=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})\cdot ( \frac{\frac{\partial\phi}{\partial x}}{\sqrt{(\frac{\partial\phi}{\partial x})^2+(\frac{\partial\phi}{\partial y})^2+(\frac{\partial\phi}{\partial z})^2}},...,...)
\\=\frac{\partial}{\partial x}( \frac{\frac{\partial\phi}{\partial x}}{\sqrt{(\frac{\partial\phi}{\partial x})^2+(\frac{\partial\phi}{\partial y})^2+(\frac{\partial\phi}{\partial z})^2}})+\frac{\partial}{\partial y}(...)+...
\\\\= \frac{\sqrt{(\frac{\partial\phi}{\partial x})^2+(\frac{\partial\phi}{\partial y})^2+(\frac{\partial\phi}{\partial z})^2}\cdot\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}-\frac{\partial\phi}{\partial x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{(\frac{\partial\phi}{\partial x})^2+(\frac{\partial\phi}{\partial y})^2+(\frac{\partial\phi}{\partial z})^2}}\cdot(2\phi_x\phi_{xx}+2\phi_y\phi_{yx}+2\phi_z\phi_{zx})}{(\sqrt{(\frac{\partial\phi}{\partial x})^2+(\frac{\partial\phi}{\partial y})^2+(\frac{\partial\phi}{\partial z})^2})^2}+\frac{\partial}{\partial y}(...)+...
\\= \frac{|\nabla\phi|\cdot\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}-\frac{\partial\phi}{\partial x}\cdot \frac{1}{2|\nabla\phi|}\cdot(2\phi_x\phi_{xx}+2\phi_y\phi_{yx}+2\phi_z\phi_{zx})}{|\nabla\phi|^2}+\frac{\partial}{\partial y}(...)+...
\\= \frac{|\nabla\phi|^2\cdot\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}-\frac{\partial\phi}{\partial x}\cdot (\phi_x\phi_{xx}+\phi_y\phi_{yx}+\phi_z\phi_{zx})}{|\nabla\phi|^3}+\frac{\partial}{\partial y}(...)+...
\\= \frac{(\phi_x^2+\phi_y^2+\phi_z^2)\cdot\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}-\frac{\partial\phi}{\partial x}\cdot (\phi_x\phi_{xx}+\phi_y\phi_{yx}+\phi_z\phi_{zx})}{|\nabla\phi|^3}+\frac{\partial}{\partial y}(...)+...$hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضاتصویر
تصویر

ارسال پست