استخراج معادلات حرکت ژیروسکوپ

Derivation of The Equations Of Gyroscopic Motion

استخراج معادلات حرکت ژیروسکوپ  

 by Robert M. Beal

(May 2003)

 

 

 

 ترجمه: عرفان کسرایی

[email protected]

 

 معادلاتی که در این نوشتار آمده اند از بخشهای مختلف کتاب درسی مکانیک مهندسی استاتیک و دینامیک ویرایش سوم  ISBN 0-02-354140-7  نوشته هایبلر برداشت شده است. اگر خواننده بخواهد موضوع را عمیق تر کاوش کند مقدمتاً لازم است که فصلهای 20 و21 مبحث دینامیک را به طور روشن درک کرده باشد.بدین منظور ما شما را به کتاب درس هایبلر ارجاع می دهیم. ما معادلات را با اصلاحات جزئی و با نظر شخصی خود یکجا گردآوری نموده ایم. به امید آنکه استنتاج روان و سلیسی از معادلات حرکت ژیروسکوپ بر پایه  F = ma معادله اصلی دینامیک فراهم آورده و این مطلب را به طور پیوسته و هدفمند بیان کرده باشیم.

 کار را با معادله مشهور بین نیرو جرم وشتاب نیوتن برای یک ذره  آغاز می کنیم که یک کمیت برداری را نشان می دهد.

F = ma سیگما

این معادله بیان می دارد که برآیند نیروهای خارجی وارد بر یک ذره برابر است با حاصلضرب جرم در شتاب آن.

در حقیقت فرمولاسیون اصلی نیوتن نیروهای خارجی وارد بر ذره را به گشتاور خطی آن مرتبط می سازد.

  'mv  = سیگماF

Vدر اینجا بیانگر سرعت   

  dv/dt نیز بیانگر نرخ تغییر سرعت در واحد زمان یا بعبارتی همان 'v

'mv نیز نرخ تغییرات گشتاور خطی نسبت به زمان می باشد.

 اگر r  را بعنوان بردار موقعیت ذره در نظر بگیریم و O را بعنوان مبدا مختصات  با در نظر گرفتن مبدا مختصات گشتاور زاویه ای    میتوانیم H_o   ذره را با ضرب خارجی هر دو سمت این معادله در  r  بدست آوریم

'r x SF = r x mv

  ( SM_o) یا بعبارتی  r x SF برابر با مجموع گشتاور نیروهایی که حول نقطه مبدا اثر می کنند خواهد بود پس میتوان نوشت:

   'SM_o = r x mv

 

H_o = r x mv با داشتن مومنتوم (گشتاور) زاویه ای ذره

 مشتقH_o را نسبت زمان بدست می آوریم 

d(H_o)/dt = d(r x mv)/dt

بر اساس 'v = dr/dt = r

 خواهیم داشت:

  'H'_o = r' x mr' + r x mv

 

از آنجایی که حاصلضرب خارجی دو بردار معادل صفر خواهد بود

 r' x mr' = m(r' x r') = 0

 بنابر این:

     'H'_o = r x mv

 با جایگذاری معادله در جمع گشتاورها داریم:

 از این رو مجموع و برآیند گشتاورهای یک ذره متحرک حول نقطه مبداء برابر با نرخ تغییرات گشتاور زاویه ای نسبت به زمان خواهد بود. برای سیستم ذرات می بایست برآیند گشتاور تمام نیروهای موثر بر ذرات را محاسبه نمود.

در معادله زیر :

Sf  برآیند  همه ذرات موجود در سیستم می باشد بر اثرنیروهای داخلی موثر بر ذره  iام از نیروهای داخلی صرف نظر می شود از این رو که دقیقاً معادل با یکدیگر منتهی در دو سوی مخالف عمل می کنند

 بنابراین S_i(r x Sf)_i = 0

 و معادله ای که تا اینجا برای سیستم ذرات استنتاج می شود به همان فرم و شکل معادله ای است که برای یک ذره به کار میرود:

 S_i[r x SF]_i = S_i[H'_o]_i

بعبارت دیگر بیان می دارد که مجموع گشتاورها حول نقطه مبداء بر اثر وجود نیروهای خارجی بر سیستم ذرات برابر است با نرخ تغییرات گشتاور زاویه ای سیستم ذرات حول همان نقطه مبداء. به وضوح در می یابیم که این معادله برای هر سیستم پیکره جامد ذرات صادق است و از این رو می توانیم این معادله را در تحلیل ژیروسکوپ نیز به کار ببندیم.

چیزی که اکنون برای توضیح و بیان گشتاور زاویه ای  H_o  لازم است این است که ما می توانیم مقادیر فیزیکی نظیر جرم شعاع و سرعت زاویه ای و شتاب  زاویه ای  و مشتق زمانی آن H'_oرا اندازه بگیریم.

و سرعت زاویه ای Dm  اگر در نظر بگیریم که یک ذره در پیکره  دارای جرم اضافی  نسبت به مبداء و چارچوب مرجع میباشد:w

با دانستن اینکه

v = w x r

می توان نوشت:

      [DH_o]_i = r x Dm_iv_i
[DH_o]_i = [r x (w x r)]_iDm_i

با جمع همه گشتاورهای زاویه ای برای تمامی ذرات پیکره داریم:

 اگر دلتا را حول مبداء بگیریم آنگاه

Dm_i و    D [H_o]_i

_{مقادیر فوق دیفرانسیلی خواهند شد و می توانیم سیگما را با انتگرال جایگزین نماییم .}

_{ما در اینجا} z را جای به کار بردن علامت معمولی انتگرال به کار برده ایم.   _{چرا که علامت معمولی انتگرال را در دسترس نداشتیم.}

 

z_HodH_o = z_mr x (w x r) dm
H_o = z_mr x (w x r) dm

 

   آنگاه می توانیم xyz را حول مرجع و مبداء در نظر بگیریم اگر سه محور k و   j   و  i

و سرعت زاویه ای امگا را در مولفه های r  و شعاع  H_o

مطابق زیر بیان نماییم:

 H_o = H_x i + H_y j + H_z k
r = x i + y j + z k
w = w_x i + w_y j + w_z k

  

 با جایگذاری برای  H_o   در انتگرال مذکور خواهیم داشت:

 H_x i + H_y j + H_z k =
z_m(x i + y j + z k) x [(w_x i + w_y j + w_z k ) x (x i + y j + z k)]dm

با محاسبه ضرب خارجی و ترکیب عبارتهای فوق خواهیم داشت:

H_x i + H_y j + H_z k =
[w_xz_m(y²+z²)dm - w_yz_mxy dm - w_zz_mxz dm] i
+ [- w_xz_mxy dm + w_yz_m(x²+z²)dm - w_zz_myz dm] j
+ [- w_xz_mzx dm - w_yz_myz dm + w_zz_m(x²+y²)dm] k

بنابر این با محاسبه انتگرال گشتاورها ی اینرسی و ضرب اینرسی ها می توانیم معادله را به فرم زیر بازنویسی کنیم:

اگر سیستم مختصات دو بعدی یا سه بعدی را انتخاب نماییم و تحلیل پیکره را با محور مختصات سه بعدی انجام دهیم

آنگاه حاصل همه ضربهای محورهای متعامد  برابر با صفر خواهند شد و معادله به صورت زیر مختصر می شود:

 

زمانیکه محورها به شکلی که توضیح داده شد انتخاب شوند این مقادیر اصل محورهای اینرسی نامیده می شوند.

 را در اختیار داریم و سرعت زاویه ای امگا نیز می تواند اندازه گیری شود.H_o اکنون ما گشتاور زاویه ای

که  به جرم و ابعاد پیکره بستگی دارد که می توان در جدول یافت یا به صورت دستی محاسبه نمود.

 

 

 

 

تحلیلی که از ژیروسکوپ ارائه دادیم در صورتی که سیستم مختصات دست کم دو یا سه بعدی را برای ژیروسکوپ انتخاب نماییم به مراتب ساده تر خواهد شد. اگر سیستم انتخاب شده بدین منظور لحاظ شده باشد آنگاه تمامی حاصلضربهای اینرسی برابر با صفر خواهند شد و ما تنها می بایست گشتاورهای اینرسی را محاسبه نماییم.برای انجام چنین کاری ما از سیستم مختصات چرخان استفاده خواهیم کرد که مبداء آن نقطه ء پایین و تکیه گاه چرخش می باشد. سیستم مختصات چرخان از حرکت محوری چرخش پیروی می کند و با چرخش خود انحراف زاویه ای از محور نخواهد داشت.

سرعت زاویه ای مختصات چرخان را از این پس با امگای بزرگ نشان خواهیم داد.

  'W = nutation + precession = q' + f

و مختصات چرخان را با محور مختصات سه بعدی کارتزین نشان گذاری می کنیم.از این رو یک مرجع ثابت سیستم مختصات خواهیم داشت که نقطه اتکایی اصلی آن نقطه چرخش خواهد بود که از این پس  نام می گیرند.محورهای ABC سرعت زاویه ای چرخش بر اساس محور مذکور مطابق با شکلهای 2 و 3 به شکل زیر  خواهد بود:

  'w = nutation + precession + spin = q' + f' + y

 زوایای qو  f, و y پس از ریاضیدان سوئیسی لئونارد اویلر بعنوان زوایای اویلر نامیده می شوند

زمانیکه محورهای چرخان روی محور ABC چرخیدندثابت لازم است که

H'_o را بر اساس بردارهای یکه اش محاسبه نماییم که از زمانیکه امتدادشان تغییر یافته است دیگر ثابت نیستند.

_{پس خواهیم داشت:}

(H'_o)_ABC = H'_x i + H'_y j + H'_z k + H_x(di/dt) + H_y(dj/dt) + H_z(dk/dt)

_{جایی که} H'_o مشتق گشتاور زاویه ای نسبت به زمان روی محور _ABC

 واقع است مشتق زمانی بردارهای یکه را می توان بصورت زیر بیان نمود:ABC

di/dt = W x i
dj/dt = W x j
dk/dt = W x k

  

مجموع گشتاور گشتاورها می تواند یه شکل زیر نوشته شود:

SM_o = H'_x i + H'_y j + H'_z k + W x H_o

SM_x i + SM_y j + SM_z k = H'_x i + H'_y j + H'_z k + W x H_o

جدولی به منظور پیدا کردن گشتاورهای اینرسی برای اشکال مختلف هندسی به صورت I_xx, I_yy, و I_zz لیست شده است.

وقتی مرکز گرانش در چرخ طیار فلایویل چرخش ما به شعاع R

 از مبداء مختصات محوری که در نظر گرفته ایم.

محور هایx  و y محورهای اصلی اینرسی نیستند. بلکه موازی با محور اینرسی فلایویل می باشند 

بنابراین می توانیم از قضیه محورهای موازی برای مرتبط کردن

 گشتاور اینرسی xو y مولفه های I_xx و I_yy

 که در زیر نشان داده شده اند استفاده نماییم.

 مسئله ای ایجاد نمی نماید چراکه محور  I_z   مولفه

از مرکز جرم فلایویل عبور می کند. z

I_x = I_xx + mR²
I_y = I_yy + mR²
I_z = I_zz

 

 I_x, I_y, I_z و رابطه میانI_xx,I_yy, I_zz  را بخاطر داشته باشید.

 ما حال می توانیم گشتاور زاویه ای چرخش را به صورت زیر نمایش دهیم:

H_x = I_xw_x
H_y = I_yw_y
H_z = I_zw_z

 

با جایگذاری عبارات بالا در جمع معادلات مومنتوم (گشتاور) و با داشتن مشتق نسبت به زمان عبارات زیر حاصل خواهند شد:

SM_x i + SM_y j + SM_z k =

(I_xw'_xi + I_yw'_yj + I_zw'_zk) + [( W_xi + W_yj + W_zk) x (I_xw_xi + I_yw_yj + I_zw_zk)]

 

 با محاسبه ضربهای خارجی و تلفیق عبارات معادلات زیر به دست خواهند آمد:

SM_x = I_xw'_x - I_yW_zw_y + I_zW_yw_z
SM_y = I_yw'_y - I_zW_xw_z + I_xW_zw_x
SM_z = I_zw'_z - I_xW_yw_x + I_yW_xw_y

 

می توانیم مولفه های سرعت زاویه ای محورهای چرخان xyz مطابق با شکل 2 را با سرعت زاویه ایW توضیح دهیم. wژیروسکوپ

 'W = q' + f
W = W_x i + W_y j + W_z k
W = q' i + (f'sinq) j + (f'cosq) k

w = q' + f' + y'
w = w_x i + w_y j+ w_z k
w = q' i + (f'sinq) j + (f'cosq + y' ) k

در روابط بالا خواهیم داشت:W و w با جایگذاری مولفه های

 'SM_x = I_xq" - I_y(f')²cosqsinq + I_zf'sinq(f'cosq + y)
SM_y = I_y(f'q'cosq + f"sinq) - I_zq'(f'cosq + y') + I_xf'q'cosq
SM_z = I_z(- f'q'sinq + f"cosq + y") - I_xf'q'sinq + I_yf'q'sinq

به طور کلی یافتن جوابی که معادلات فوق را ارضا کند بسیار دشوار خواهد بود هرچند در مورد خیلی خاص اگر انحراف    زاویه ای 'fثابت باشد 'y چرخش به دور خود نیز ثابت خواهد ماندو مانند آنچه درشکل 3 نشان داده شده  زاویه چرخش محوری 90 درجه باشد حل این معادلات به وضوح ساده خواهند شد.

 

دراین مورد خواهیم داشت:

q' = 0
f" = 0
y" = 0
cos(90⁰) = 0
sin(90⁰) = 1

 

در اینصورت معادله گشتاورها به صورت زیر ساده خواهد شد:

 'SM_x = I_zf'y
SM_y = 0
SM_z = 0

 

گشتاور مرتبط با محور x هادر این حالت تنها گشتاوری که در معادله باقی می ماند خواهد بود.

در اینجا هیچ علامت منفی در معادله ظاهر نشده است چراکه ما برای بیان مقدار تمامی بردارها از قانون دست راست استفاده کرده ایم.

 بنابراین تمامی بردارها (مجموع گشتاورها حول محور xها )

(SM_x)

و تمامی چرخشهای محوری در جهت مثبت خواهند بود. حول محورz

('y)و گردش ( 'fتقدم زاویه ای)خواهند داشت.

تحلیل ما درباره حرکت ژیروسکوپ در زاویه 90 درجه به نتایج مهم زیر خواهد انجامید:

    'SM_x = I_zf'y

 

تنها در نتیجه وزن فلایویل باشد ( می توانیم از وزن شفت صرف نظر کنیم)x اگر تنها گشتاور حول محور و اگر فلایویل در فاصله Rاز پاشنه (پایه) چرخش باشد از این پس می توان نوشت: I_z = I_zz

   'mgR = I_zzf'y

 

که در اینجا m جرم فلایویل وgشتاب گرانش زمین می باشد

 این معادله به ما می گوید اگر فلایویل در زاویه 90 درجه و در فاصله R از پاشنه چرخش قرار داشته باشدو فلایویل با سرعت زاویه ای ثابت 'y بچرخدانتظار می رود که از چرخش باز نایستد این قضیه راجع به ثابت بودن سرعت زاویه ای حول محور

 y نیز صدق می کند.( 'f)

I_zz = 1/2mr² برای دیسک جامدی که در حال چرخش است

وقتی که شعاع دیسک r باشد در صورتی که  بیشتر جرم در لبه های بیرونی متمرکز است خواهیم داشت:

I_zz = mr²

دیسک دوار جامد: 'mgR = 1/2mr²f'y
رینگ نازک دوار:  'mgR = mr²f'y

با در نظر گرفتن اینکه هم دیسک دوار و هم رینگ نازک دارای یک جرم هستند و شعاع یکسانی دارند محاسبهmgR چرخش که در دیسک دوار مانند فلایویل استفاده می شود دو برابر سریعتر از چرخش رینگ دوار نازک می باشد.

مترجم : عرفان کسرایی

استفاده از این مقاله با ذکر نام نویسنده و مترجم و منابع اصلی و نقل از هوپا مجاز می باشد.

 

منابع و ماخذ :

 Engineering Mechanics - Statics and Dynamics, Third Edition, by R. C. Hibbeler (ISBN 0-02-354140-7)

Engineering Mechanics - Dynamics by Anthony Bedford and Wallace Fowler (ISBN 0-201-58197-3)