دراين مقاله مي كوشيم تا نقش رياضيات را از رهگذر مفاهيم فيزيك جديد، در دنياي زيبا و چندنظمي نانو نشان دهيم.
اغلب اشياء در جهان -از كوچكترين تا بزرگترين- از مجموعه از المانها تشكيل شده است كه هر يك داراي درجه‌اي از آزادي هستند. قوانين پايه‌اي فيزيك اين ويژگيها را توضيح مي‌دهند. اكنون فرض كنيد كه مي‌خواهيد معادلة نيوتن يا شرودينگر را براي 10²³ اتم حل كنيد؟ و فرض كنيد كه قويترين رايانه ها را نيز در اختيار داريد، آيا اين امر مقدور است؟ از ديدگاه اتمي پاسخ اين سؤال به نظر منفي مي‌رسد.
حل مسأله با در نظر گرفته 10²³ اتم زمان زيادي مي‌گيرد و نتايج براي تفسير كاملاً پيچيده مي‌شود (هيچ فضاي ديسك سختي قادر به ذخيره‌سازي موقعيت 10²³ اتم نمي‌باشد)
علاوه بر اين، براي هر ماده، هر تركيب شيميايي و ساختار شبكه‌اي مجبور به بارها و بارها محاسبه هستيم. علاوه بر اين با زمينه‌هاي منحصر به فردي از رفتار مواد در فازهاي انتقالي جامد، مايع، گاز، پلاسما، فرومغناطيس و ضدفرومغناطيس، ابررسانائي، ابر سيالي و .... مواجهيم. خواص مكانيكي ماده در هر فاز، از فازي به فازي ديگر، متفاوت است. زيرا اتمها داراي درجه آزادي هستند و بعلاوه، پارامترهايي نظير دما، فشار، نيروي خارجي از فازي به فاز ديگر به شدت تغيير مي‌كند. اما سؤال اساسي اينجاست كه چگونه رفتار آنها در گذر فاز مي‌توان ارتباط داد؟ اگر رفتار مواد را تحت شرايط آزمايشگاهي، در گسترة وسيعي از حالات بررسي كنيم، پارامترهاي متعددي را در خواهيم يافت كه قادرند شكل مسأله را عوض كنند. اما از سوي ديگر توانائي محاسباتي ما محدود است، بنابراين تقريب مقدور است اما پيشگوئي در چنين مواردي محدود است.
اما از سوي ديگر فيزيكدانان همواره به سوي تئوريهاي جهان شمول توجه دارند. رغبت در جهت پيشگوئي رفتار جهان شمول ماده، فيزيكدانان را به سوي« تئوري پديده‌هاي بحراني» سوق داد. «مؤلفه‌هاي بحراني» در يك كلاس جهاني مدلسازي قرار دارند. اين مؤلفه‌ها نمايشگر مدلي جهان شمول از رفتار ماده هستند و رفتار ماده را به تقارن ماده ( در ديدگاه ساختاري) و ابعاد فضاي ماده مرتبط مي‌كند. اين مقادير بحراني، با دقت مناسب بوسيله تئوري قابل محاسبه‌اند.
سيستم‌هاي بحراني در« جهان فركتال »قرار دارند.

تئوريهاي مبتني بر آناليز ابعادي، مقادير نسبي براي اين مؤلفه‌ها پيشگوئي مي‌كنند. براي آنكه پيچيدگي مسأله را درك كنيم، يك تصوير لحظه‌اي از «اسپين» را در يك ماده «فرومغناطيس» مجسم كنيد. اكنون به شكل «2» دقت كنيد. شكل «2» نمايشگر نتايج يك شبيه سازي براي يك Ising فرو مغناطيس است. بطوريكه، اسپين‌ها مي‌توانند دو حالت «بالا» (نمايش داده شده با رنگ مشكي) يا «پايين» باشد.
در حالت «فرومغناطيس»، (دما كمتر از دماي بحراني)، اغلب «اسپين‌ها» در حالت «بالا» قرار مي‌گيرند (شكل سمت چپ)، در حاليكه در حالت« پارامغناطيس» (دما بالاتر از دماي بحراني)، اسپين‌ها جهت‌گيري تصادفي مي‌كنند (شكل سمت راست، رنگ خاكستري).
در اينجا تنها خوشه‌هاي كوچكي از اسپين‌هاي هم تراز، از اندازة سيستم، كوچكترند در حاليكه، در موقعيت بحراني (شكل وسط)، كه دما به حد بحراني رسيده است، خوشه‌هاي نامحدودي از اسپين‌هاي حالت «بالا» پديدار شده‌اند (سيستم در مرز «نظم» قر ار گرفته است).
توجه كنيد كه خوشة نظم يافته شكل «فركتال»، با نوسان شكلي در همة مقياسها،به خودگرفته است. اين هندسة‌ فركتالي از خوشه‌هاي تشكيل يافته، به طرز عجيبي انعكاس مي‌يابند: مقاديري غيرمنطقي از مؤلفه‌هاي بحراني! و البته تئوريهاي ساده ساز، مشخصات اين فركتالها را نمي‌توانند تعيين كننند. از ديدگاه فيزيكي، نوسانات شكلي در همة مقياسها، متضمن ناپايداري سيستم در موقعيت بحراني است.

• اما آيا مي‌توانيم اميدوار به درك اين رفتار پيچيده باشيم؟
• مكانيك كلاسيك يا كوانتوم؟
• زماني كه به دنياي كوانتوم وارد مي‌شويم مي‌گوييم:

• مؤلفه‌هاي بحراني بصورت آزمايشگاهي چگونه تعيين مي‌شوند؟
• چه مؤلفه‌هايي جهاني هستند و كداميك نيستند؟ مرجع جهان شمول بودن مؤلفه‌هاي بحراني كدام است؟
• انتقال فاز اصلاح شده در سيستم‌هاي محدود (سازه‌هاي نانوئي) چگونه است؟
• رفتار بحراني چگونه محاسبه مي‌شود؟ آيا مي‌توانيم «هندسة فركتال» مؤلفه‌هاي بحراني را درك كنيم؟
• ارتباط ميان مؤلفه‌هاي بحراني، تقارن داخلي سيستم و ابعاد مسأله، چيست؟
• ارتباط ميان سؤالات فوق، براي هر مسأله، چهارچوبي در جهت مطالعة رفتار سازه‌هاي نانوئي بوجود مي‌آورد.